1.下列圖形中，是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是( )
A. 兩組對邊分別平行B. 對角線相等C. 對角線互相垂直D. 兩組對角分別相等
3.某中學(xué)為了解七年級名學(xué)生的睡眠情況，抽查了其中的名學(xué)生的睡眠時間進行統(tǒng)計，下面敘述正確的是( )
A. 以上調(diào)查屬于全面調(diào)查B. 總體是七年級名學(xué)生
C. 所抽取的名學(xué)生是總體的一個樣本D. 每名學(xué)生的睡眠時間是一個個體
4.在一個不透明的袋子中裝有個紅球，個白球，這些球除了顏色外都相同，從中隨機抽出個球，下列事件中，必然事件是( )
A. 至少有一個球是白球B. 至少有一個球是紅球
C. 至少有兩個球是紅球D. 至少有兩個球是白球
5.如圖，在中，點，點在對角線上．要使，可添加下列選項中的
( )
A. B.
C. D.
6.如圖，將長方形沿著折疊，點落在邊上的點處，已知，則的長為
( )
A. B. C. D.
7.如圖，在正方形中，，為邊上一點，點在邊上，且，將點繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，連接，則的長的最小值為
( )
A. B. C. D.
8.正方形的邊長為，將該正方形繞頂點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重疊部分的面積為
( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。
9.在平行四邊形中，如果，那么的度數(shù)是 度．
10.一個不透明袋子里裝有個白球和個黑球，這些球除顏色外都相同．從袋中隨機摸出個球，若兩個球中至少有一個球是白球是必然事件，則 ．
11.在期末體育體能考核中，成績分為優(yōu)秀、合格、不合格三個檔次，某班有名學(xué)生，達到優(yōu)秀的有人，合格的有人，則這次體育考核中不合格人數(shù)的頻率為 ．
12.如圖，已知點，，，，連接，將線段繞著某一點旋轉(zhuǎn)一定角度，使其與線段重合點與點重合，點與點重合，則這個旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為 ．
13.如圖，四邊形是菱形，，對角線，相交于點，于，連接，則 度．
14.如圖，在紙片中，，將紙片繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接，若的度數(shù)為，則的度數(shù)為 ．
15.如圖，平面內(nèi)三點、、，，，以為對角線作正方形，連接，則的最大值是 ．
16.如圖，在邊長為的正方形中，點為邊的中點，點為邊上的動點，以為一邊在的右上方作等邊三角形，當(dāng)最小時，的周長為 ．
三、解答題：本題共11小題，共88分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
已知：如圖，的對角線，相交于點，點、分別在，上，且，求證：．
18.本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點分別是，，．
將先左平移個單位、再向下平移個單位，請畫出平移后；
將繞著點旋轉(zhuǎn)，請畫出旋轉(zhuǎn)后
若與是中心對稱圖形，則對稱中心的坐標(biāo)為________．
在平面直角坐標(biāo)系中存在一點，使得以、、、四點為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點的坐標(biāo)是___________．
19.本小題分
如圖，是的角平分線，過點作交于點，交于點．

求證：四邊形為菱形；
如果，求的度數(shù)．
20.本小題分
為了了解年某地區(qū)萬名大、中、小學(xué)生分鐘跳繩成績情況，教育部門從這三類學(xué)生群體中各抽取了的學(xué)生進行檢測．整理樣本數(shù)據(jù)，并結(jié)合年抽樣結(jié)果，得到下列統(tǒng)計圖．
本次檢測抽取了大、中、小學(xué)生共______名，其中小學(xué)生______名；
根據(jù)抽樣的結(jié)果，估計年該地區(qū)萬名大、中、小學(xué)生，分鐘跳繩成績合格的中學(xué)生人數(shù)為______名；
比較年與年抽樣學(xué)生分鐘跳繩成績合格率情況，寫出一條正確的結(jié)論．
21.本小題分
在一只不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
上表中的________，________；
“摸到白球的”的概率的估計值是________精確到；
如果袋中有個白球，那么袋中除了白球外，還有多少個其它顏色的球？
22.本小題分
如圖，已知．
請在的右上方確定一點，使，且；要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡
在的條件下，若，，，求四邊形的面積．
23.本小題分
如圖：在中，點、分別在、上，且．

求證：、互相平分；
連接、，若平分，且，，則四邊形的面積為______．
24.本小題分
如圖，四邊形中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點的對應(yīng)點恰好與點重合，得到，與相交于點，與相交于點．

求證：；
若，試求的值．
25.本小題分
在四邊形中，，，，，點從出發(fā)以的速度向運動，點從點出發(fā)，以的速度向點運動，當(dāng)其中一點到達終點，而另一點也隨之停止，設(shè)運動時間為．

取何值時，四邊形為矩形？
是上一點，且，取何值時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？
26.本小題分
如圖，在正方形中，，點為射線上異于一點，連接，在的右側(cè)作，交射線于點，連接．

若，
填空： ；
求證：；
當(dāng)點在線段上運動時，的度數(shù)是否變化？若不變，求出的度數(shù)，若變化，說明理由；
若，求線段的長．
27.本小題分
如圖，已知正方形的邊長為，，，點為正方形邊上的動點，動點從點出發(fā)，沿著運動到點時停止，設(shè)點經(jīng)過的路程為，的面積為．
如圖，當(dāng)時，______；如圖，當(dāng)點在邊上運動時，______；
當(dāng)時，求的值；
若點是邊上一點且，連接．
在正方形的邊上是否存在一點，使得與全等？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
點在運動過程中，為等腰三角形，求出此時的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【詳解】本題主要考查了中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的定義判斷即可，解題的關(guān)鍵是正確理解中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案．
解：、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A不合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B不合題意；
C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C不合題意；
D、是中心對稱圖形，故D符合題意；
故選：．
2.【答案】
【解析】【分析】本題考查了菱形和矩形的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．菱形四邊相等；
菱形對角線相互垂直平分且平分一組對角；菱形的對邊平行、對角相等鄰角互補；菱形的面積等于兩對角線乘積的一半．根據(jù)矩形及菱形的性質(zhì)，逐一分析即可進
行解答．
【詳解】解：、菱形和矩形兩組對邊都分別平行，故A選項不符合題意；
B、菱形對角線不相等，故B選項不符合題意；
C、菱形對角線互相垂直，矩形對角線互相不垂直，故C選項符合題意；
D、菱形和矩形兩組對角都分別相等，故D選項不符合題意．
故選：．
3.【答案】
【解析】【分析】本題考查了總體、個體、樣本、樣本容量，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對象．總體是指考查的對象的全體，個體是總體中的每一個考查的對象，樣本是總體中所抽取的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數(shù)目．我們在區(qū)分總體、個體、樣本、樣本容量，這四個概念時，首先找出考查的對象．從而找出總體、個體．再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這一部分對象找出樣本，最后再根據(jù)樣本確定出樣本容量．
【詳解】解：以上調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，故A不符合題意；
B.總體是七年級名學(xué)生的睡眠情況，故B不符合題意；
C.所抽取的名學(xué)生的睡眠情況是總體的一個樣本，故C不符合題意；
D.每名學(xué)生的睡眠時間是一個個體，故D符合題意；
故選：．
4.【答案】
【解析】【分析】事件發(fā)生的可能性大小逐項判斷即可．
【詳解】解：、至少有一個球是白球，是隨機事件，故此選項不符合題意；
B、至少有一個球是紅球，是必然事件，故此選項符合題意；
C、至少有兩個球是紅球，是隨機事件，故此選項不符合題意；
D、至少有兩個球是白球，是隨機事件，故此選項不符合題意；
故選：．
5.【答案】
【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，則，進而逐項分析判斷，即可求解．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
A.添加條件，不能根據(jù)證明，故該選項不正確，不符合題意；
B.已知，不能證明，故該選項不正確，不符合題意；
C.添加條件，則，即，根據(jù)證明，故該選項正確，符合題意；
D.添加條件，不能證明，故該選項不正確，不符合題意；
故選：．
6.【答案】
【解析】【分析】本題考查了翻折變換折疊問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)及勾股定理．
【詳解】四邊形是矩形，
，
，
，
將長方形沿著折疊，點落在邊上的點處，
，
，
，
，
解得，
故選：．
7.【答案】
【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
過點作，垂足為，可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，然后利用同角的余角相等可得，從而可證，進而可得，最后可得點在與平行且與的距離為的直線上，從而可得當(dāng)點在邊上時，的值最小，進行計算即可解答．
【詳解】解：過點作，垂足為，
，
四邊形是正方形，
，
，
由旋轉(zhuǎn)得：，
，
，
，
，
點在與平行且與的距離為的直線上，
當(dāng)點在邊上時，最小且，
的最小值為，
故選：．
8.【答案】
【解析】【分析】設(shè)交于點，連，由旋轉(zhuǎn)得，，，可證明，得，在上截取，連接，可證明，則，所以，則，可求得，所以，于是得到問題的答案．
【詳解】解：設(shè)交于點，連，
四邊形是邊長為的正方形，
，，
由旋轉(zhuǎn)得，，，
，，，
在和中，
，
，
在上截取，連接，則，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．

9.【答案】
【解析】【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，由平行四邊形的對角相等，結(jié)合條件可求得答案．
【詳解】解：四邊形為平行四邊形，
，且，
，
，
故答案為：．
10.【答案】
【解析】【分析】從小到大假設(shè)黑球的個數(shù)，探討所有的等可能結(jié)果，做出判斷．
【詳解】若，根據(jù)實驗方法，摸出兩個球，則至少有一個白球；
若，根據(jù)實驗方法，摸出兩個球，則存在可能結(jié)果：摸出兩個黑球，不符合題意．
故答案為：．
11.【答案】
【解析】【分析】本題主要考查了頻數(shù)與頻率，解題的關(guān)鍵是明確頻率是指每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值或者百分比先求得不合格人數(shù)，再根據(jù)頻率的計算公式求得不合格人數(shù)的頻率即可．
【詳解】解：不合格人數(shù)為人，
這次體育考核中不合格人數(shù)的頻率為．
故答案為：．
12.【答案】
【解析】【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解對應(yīng)點相連的線段的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心．
【詳解】解：先連接，，
分別作線段，的垂直平分線，其相交于一點，即點
易知
設(shè)點的橫坐標(biāo)為，
則，
因為，
所以，
解得
則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．
故答案為：
13.【答案】
【解析】【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得，，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，進而得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，然后根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余得出答案．
【詳解】解：四邊形是菱形，
，．
，
，
．
又，
．
在中，，
在中，，
．
故答案為：．
14.【答案】
【解析】【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出，然后利用三角形外角性質(zhì)計算的度數(shù)．
【詳解】解：紙片繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，
，
，
，
．
故答案為：．
15.【答案】
【解析】【分析】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到由旋轉(zhuǎn)不變性可知：，．，推出是等腰直角三角形，推出，推出當(dāng)?shù)闹底畲髸r，的值最大，利用三角形的三邊關(guān)系求出的最大值即可解決問題．
【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得，如圖：

由旋轉(zhuǎn)不變性可得：，，
且，
是等腰直角三角形，
，
最大，只需最大，而在中，，
當(dāng)且僅當(dāng)、、在一條直線上，即不能構(gòu)成時，最大，且最大值為，
此時，
故答案為：．
16.【答案】
【解析】【分析】以為一邊在正方形內(nèi)作等邊，連接，過點作于點，過點作于點，先證四邊形為矩形，再證和全等得，再由得，由此可得出當(dāng)點與點重合時，為最小，即為最小，最小值為，然后再求出，即可得出當(dāng)最小時，的周長．
【詳解】解：以為一邊在正方形內(nèi)作等邊，連接，
過點作于點，過點作于點，

四邊形為正方形，且邊長為，
，，
點為的中點，
，
和均為等邊三角形，，
，，，，
，，，
四邊形為矩形，
，，
，
，
即：，
在和中，
，
，
，
，
當(dāng)點與點重合時，為最小，
即為最小，最小值為，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理的，
，
的周長為：．
即當(dāng)最小時，的周長為．
故答案為：．
17.【答案】證明：連接、，如圖所示：
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
．

【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．連接、，由平行四邊形的性質(zhì)得出，，由已知條件得出，證明四邊形是平行四邊形，得出對邊平行，即可得出結(jié)論．
18.【答案】


解：如圖所示：對稱中心為，
故答案為：．

解：因為點使得以、、、四點為頂點的四邊形為平行四邊形，
如圖所示：點的坐標(biāo)為、、．
故答案為：、、．

【解析】【分析】本題考查平移作圖，根據(jù)題干條件，先平移關(guān)鍵點，再依次連接關(guān)鍵點的對應(yīng)點即可．
本題考查旋轉(zhuǎn)作圖，作圖關(guān)鍵在于找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)方向，先旋轉(zhuǎn)關(guān)鍵點，再依次連接關(guān)鍵點的對應(yīng)點即可．
本題考查對稱中心的概念，對應(yīng)點連線的交點即是對稱中心．
本題考查平行四邊形的判定，根據(jù)判定即可解題．
19.【答案】證明：，，
四邊形是平行四邊形．
．
是的角平分線，
．
．
．
四邊形是菱形．
解：中，．
．

【解析】【分析】由對邊平行可證四邊形是平行四邊形，求證，于是，故四邊形是菱形．
由三角形內(nèi)角和定理，得，得．
20.【答案】解：本次檢測抽取了大、中、小學(xué)生人數(shù)為：名，
其中小學(xué)生人數(shù)為：名，
故答案為：；；
解：本次檢測抽取了中學(xué)生人數(shù)分別為人，
分鐘跳繩成績合格的中學(xué)生人數(shù)為名，
故答案為：；
比較年與年，年某地區(qū)中學(xué)生分鐘跳繩成績合格率上升，小學(xué)生上升．

【解析】【分析】根據(jù)題意和扇形圖提供的信息即可解答；
先計算出樣本中中學(xué)生人數(shù)，及條形圖中年中學(xué)生分鐘跳繩成績合格率，即可解答；
根據(jù)條形圖，寫出一條即可，答案不唯一．
21.【答案】解：，．
故答案為：，；
解：“摸到白球的”的概率的估計值是；
故答案為：；
解：個．
答：除白球外，還有大約個其它顏色的小球．

【解析】【分析】利用頻率頻數(shù)樣本容量直接求解即可；
根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，當(dāng)很大時，摸到白球的頻率接近；
根據(jù)利用頻率估計概率，可估計摸到白球的概率為，然后利用概率公式計算其它顏色的球的個數(shù)．
22.【答案】解：如圖，
點為所求點；
解：過點作垂直于，垂足為，
，，
，
，
，，
，
，
，四邊形是梯形，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形的面積為，
答：四邊形的面積為．

【解析】【分析】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)做垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求線段的長，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．
先作，再利用垂直平分線的性質(zhì)作，即可找出點；
由題意可知四邊形是梯形，利用直角三角形的性質(zhì)求出的長，求出梯形的面積即可．
23.【答案】證明：，
，
，
，
又，
四邊形為平行四邊形，
、互相平分；
，
，
平分，
，
，
，
四邊形為菱形，
四邊形的面積為．
故答案為：．

【解析】【分析】證明四邊形為平行四邊形，即可得證；
先證明四邊形為菱形，再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半，進行求解即可．
24.【答案】證明：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點的對應(yīng)點恰好與點重合，則，，
，
，
，，
，
即；
解：連，

，
．
，，
，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，得到，則，，
，
在中，，
在中，，
．

【解析】【分析】根據(jù)題意得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，從而得出結(jié)論；
連，根據(jù)題意得出，根據(jù)勾股定理求出的長，然后證明，根據(jù)勾股定理可得的長，則結(jié)果可得．
25.【答案】解：由題意可知，，則，，則，
，即，
當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，
又，
平行四邊形是矩形，
則有，解得，
答：時，四邊形為矩形；
解：，是上一點，即，
當(dāng)點在線段上，時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，
則有，解得，
當(dāng)在線段上，時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，
則有，解得，
綜上所述或時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，又由，平行四邊形是矩形，列出方程求解即可；
是動點，點在點的左邊和右邊所構(gòu)成的四邊形都可能是平行四邊形，分類討論列方程求解即可．
26.【答案】解：四邊形是正方形，
，
，，
，
，
故答案為：；
四邊形是正方形，
，
，
，
，
，即，
，
；
解：的度數(shù)不變，為定值，理由如下：
如圖所示，過點作于，則，
同理可證明，
又，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
的度數(shù)不變，為定值；

解：如圖，當(dāng)點在上時，
，
，
由可知，，
，
設(shè)，則，，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
；

如圖所示，當(dāng)點在延長線上時，
過點作交延長線于，
同理可證，
，，
同理可證，
，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
；
綜上所述，或．


【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，則由平行線的性質(zhì)可得，則由平角的定義可得答案；根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，再證明，得到，推出，即可證明，推出；
如圖所示，過點作于，則，先證明得到，，再證明，得到，即可得到；
分點在上和點在的延長線上，過點作交直線于，仿照通過證明兩次三角形全等推出，再在中，由勾股定理建立方程求解即可．
27.【答案】解：如圖所示，，
；
如圖所示，點在邊上運動，
；
故答案為：，；
解：由得：點在邊上運動時，面積，
只有當(dāng)點在邊或邊上運動時，，
當(dāng)點在邊上運動時，
，
，
解得，，
即；
當(dāng)點在邊上運動時，
，
，
解得：，
；
綜上所述，當(dāng)時，或；
解：當(dāng)點在邊或邊上運動時，存在一點，使得與全等．
如圖，當(dāng)點在上時，

假設(shè)，則有，
，即．
如圖，當(dāng)點在上時，，

，
，
綜上所述，或時，使得與全等．
，
，
如圖，當(dāng)點在上時，為等腰三角形，
，
，
；
如圖，當(dāng)點在上時，為等腰三角形，
，
，
；
如圖，當(dāng)點在上時，為等腰三角形，
，
在的垂直平分線上，
三線合一定理，平行線間間距相等，
；
綜上所述，為等腰三角形，此時的值為或或．

【解析】【分析】由，可得，然后由，求得答案；直接由，求得答案；
由已知得只有當(dāng)點在邊或邊上運動時，，然后分別求解即可求得答案；
分兩種情況，當(dāng)點在邊或邊上運動時，分別畫出圖形，由全等三角形的性質(zhì)列出關(guān)于的方程求解即可；分當(dāng)點在上時，為等腰三角形，當(dāng)點在上時，為等腰三角形，當(dāng)點在上時，為等腰三角形，三種情況利用等腰三角形的定義進行求解即可．
摸球的次數(shù)
摸到白球的次數(shù)
摸到白球的頻率

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