一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 已知點(diǎn)是法向量為的平面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列各點(diǎn)中，不在平面內(nèi)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平面內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成的向量與垂直來逐一判斷.
【詳解】假設(shè)選項(xiàng)中的點(diǎn)為點(diǎn)，
對于A：，此時(shí)，點(diǎn)在平面內(nèi)；
對于B：，此時(shí)，點(diǎn)不在平面內(nèi)；
對于C：，此時(shí)，點(diǎn)在平面內(nèi)；
對于D：，此時(shí)，點(diǎn)在平面內(nèi)；
故選：B.
2. 若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（ ）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可知不共面，由此分別判斷各選項(xiàng)中的向量是否共面，即得答案.
【詳解】由于構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故不共面，
對于A，與共面，不共面，故，，不共面，
否則，若，，共面，則共面，不符題意，A錯(cuò)誤；
對于B，假設(shè)，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，
即，則，方程組無解，
假設(shè)不成立，故，，不共面，B錯(cuò)誤；
對于C，，與共面，由于不共面，
故，與不共面，C錯(cuò)誤；
對于D，，故，，共面，
故選：D
3. 已知直線是正方體體對角線所在直線，為其對應(yīng)棱的中點(diǎn)，則下列正方體的圖形中滿足平面的是（ ）
A. （1）（2）B. （1）（3）
C. （1）（4）D. （2）（4）
【答案】B
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來判斷出正確答案.
【詳解】設(shè)正方體的邊長為2，
對于圖（1），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，直線的方向向量為，
，，
因?yàn)?，?br>所以，，，平面，
所以平面，故圖（1）正確；
對于圖（2），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，直線的方向向量為，
則，因?yàn)椋耘c不垂直，
所以與平面不垂直，故圖（2）錯(cuò)誤；
對于圖（3），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
直線的方向向量為，因?yàn)?，?br>所以，，，平面，
所以平面，故圖（3）正確；
對于圖（4），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
直線的方向向量為，因?yàn)椋?br>所以與不垂直，所以與平面不垂直，故圖（4）正確.
綜上，正確的有圖（1）（3）.
故選：B.
4. 如圖1，在四面體中，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，若，則的值為（ ）

A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的基底表示，再借助空間向量基本定理求解即得.
【詳解】在四面體中，由分別為線段的中點(diǎn)，
得，
而，由空間向量基本定理得：，
所以.
故選：A
5. 在正方體中，E為中點(diǎn)，，使得，則（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】正方體中存在三條互相垂直的直線，故我們可以建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】
如圖建系，設(shè)棱長為6，則
，解之：
故選：C
6. 如圖，在平行四邊形中，，現(xiàn)將沿對角線折起，使與成角，則之間的距離的平方為（ ）
A. B. 或C. 2D. 2或
【答案】B
【解析】
【分析】確定，，或，利用計(jì)算得到答案.
【詳解】，故，則，，
與成角，故或．
當(dāng)時(shí)：
，故；
當(dāng)時(shí)：
，．
綜上所述：之間距離的平方為或.
故選：B
7. 在長方體中，，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，是平面內(nèi)一動點(diǎn)，若直線與平面平行，則的最小值為（ ）
A. B. 9C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得正確答案.
【詳解】如圖，分別以、、方向、、軸建立空間直角坐標(biāo)系可得：
，，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量，則，得，
故可設(shè)，，，即.
由于直線與平面平行，則，
得：，即：，，.
，
，
可知，由于，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
故選：C
8. 在棱長為正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)．設(shè)在上的投影向量為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合投影向量的定義可求得的值.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
，，
由題意可知，，
所以，.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多頂符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對一個(gè)得2分）
9. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 向量關(guān)于平面的對稱向量的坐標(biāo)為
B. 若，則
C. 若，則
D. 若且，則，
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)向量的對稱可判斷A;根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷B; 根據(jù)空間向量模長的坐標(biāo)表示可判斷C;結(jié)合題意聯(lián)立，,計(jì)算即可判斷D.
【詳解】對于選項(xiàng)A:根據(jù)題意可知向量關(guān)于平面的對稱向量的坐標(biāo)為,故A正確；
對于選項(xiàng)B:若，則，即，故B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C:若，則，故C正確；
對于選項(xiàng)D:若且，或，故D錯(cuò)誤．
故選：AC.
10. 如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）

A. ，，，四點(diǎn)共面B.
C. 直線與所成角的余弦值為D. 點(diǎn)到直線的距離為1
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)直線的位置關(guān)系可判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明方法可判斷B；根據(jù)空間角的向量求法可判斷C；根據(jù)空間距離的向量求法可判讀D.
【詳解】對于A，連接，則平面，平面，
平面平面，故不相交；
又，,平面，
故不平行，否則重合，不合題意，
即為異面直線，故，，，四點(diǎn)不共面，A錯(cuò)誤；
對于B，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，則，
則，即，故，B正確；
對于C，，則,
故，
而直線與所成角的范圍為，故直線與所成角的余弦值為，C錯(cuò)誤；
對于D，，
則點(diǎn)到直線的距離為，D正確，
故選：BD
11. 如圖，在棱長為6的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的有（ ）
A. 存在點(diǎn)，使得
B. 存在點(diǎn)，使得
C. 面積的最小值是
D. 若，則三棱錐體積的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用線面垂直推理判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算判斷BC；求出點(diǎn)的軌跡求解判斷D.
【詳解】對于A，假定存在點(diǎn)，使得，連接，由平面，平面，

得，而平面，
于是平面，又平面，因此，
而點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動，顯然不存在這樣的點(diǎn)，A錯(cuò)誤；
對于BC，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

令，則，
，假定存在點(diǎn)，使得，
則，整理得，而，
解得，因此存在點(diǎn)，使得，B正確；
顯然點(diǎn)在直線上的投影為點(diǎn)，
則點(diǎn)到直線的距離，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此面積的最小值是，C正確；
在中，，則，即，
在平面內(nèi)以直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

有，于是，整理得，
因此以點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓在正方形及內(nèi)部的圓弧即為點(diǎn)的軌跡，
當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到底面的距離最大，最大距離為，
所以三棱錐體積的最大值為，D正確.
故選：BCD
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.）最值
12. 已知點(diǎn)(3，1，3)，B(1，5，0)，則線段AB的長度為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式直接求解即可.
【詳解】由已知得：.
所以線段的長度為.
故答案為：.
13. 如圖，在棱長為4的正方體中， E為棱BC的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)的一點(diǎn)（包含邊界），且，則線段的長度的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)的軌跡方程，再代入兩點(diǎn)間的距離公式，求線段長度的取值范圍.
【詳解】以D為原點(diǎn)，以DA，DC，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，，
設(shè)，則，
，又，所以，
即，則．
當(dāng)時(shí)，，設(shè)，所以點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的軌跡為一條線段AF，
所以，，
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以線段的長度的取值范圍是．
故答案為：
14. 如圖，在三棱錐中，，，平面平面，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，與所成角的余弦值為________．

【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到，時(shí)，三棱錐的體積最大，取的中點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量，，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，
在三棱錐中，平面平面，
所以，
又因?yàn)椋?br>考慮圓的一條弦對的圓周角相等，當(dāng)兩邊相等時(shí)頂點(diǎn)到底邊距離最大，
可得，當(dāng)，時(shí)，三棱錐的體積最大，
此時(shí)，與是等邊三角形，
取的中點(diǎn)為，連接，，則，
又由平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可得，，兩兩互相垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，因?yàn)?，則，，，，
可得，，
所以；
所以異面與所成角的余弦值為.
故答案為：

四、解答題：（本題共5小題，共計(jì)77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 已知空間三點(diǎn)，設(shè)．
（1）若，，求；
（2）求與夾角的余弦值；
（3）若與互相垂直，求k．
【答案】（1）或
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量共線設(shè)出向量的坐標(biāo)，由模長公式列出方程，求解即可；
（2）利用向量的坐標(biāo)公式和向量的夾角公式即可得出；
（3）根據(jù)向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，結(jié)合向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到k．
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，又因?yàn)椋?br>所以，又因?yàn)椋?br>所以，
因此或；
【小問2詳解】
因?yàn)?br>所以與的夾角的余弦值為；
【小問3詳解】
因?yàn)榕c互相垂直，
所以
或.
16. 已知，四棱錐，底面是正方形，M為棱的中點(diǎn)，平面平面．
（1）求證：平面;
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，得到平面的法向量，從而求出面面角的余弦值.
【小問1詳解】
∵平面平面，平面平面平面，
平面．
【小問2詳解】
由題意和（1）知，兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則．
所以．
易知平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，得，則．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
17. 從①AB⊥BC；②直線SC與平面ABCD所成的角為60°；③△ACD為銳角三角形且三棱錐S﹣ACD的體積為2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成解答．
如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點(diǎn)．
（1）求證：直線EF∥平面SAD；
（2）若，AD＝2，_______，求平面SBC與平面SCD所成銳二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）答案不唯一，具體見解析.
【解析】
【分析】（1）取SD的中點(diǎn)M，連接MF，AM，結(jié)合中位線與菱形的性質(zhì)，可證四邊形AEFM為平行四邊形，從而有EF∥AM，再由線面平行的判定定理，得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
取SD的中點(diǎn)M，連接MF，AM，
∵F為SC的中點(diǎn)
∴MF∥CD，MF＝CD，
∵四邊形ABCD是菱形，E為AB的中點(diǎn)，
∴AE∥CD，AE＝CD，
∴MF∥AE，MF＝AE，
∴四邊形AEFM為平行四邊形，
∴EF∥AM，
∵EF?平面SAD，AM?平面SAD，
∴EF∥平面SAD．
【小問2詳解】
選擇條件①：
∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥AB，SA⊥AD，因?yàn)椋?br>所以AB⊥AD，
故以A為原點(diǎn)，AB，AD，AS所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，），
∴＝（0，2，0），＝（2，2，﹣2），＝（﹣2，0，0），
設(shè)平面SBC的法向量為，
，
同理可得，平面SCD的法向量為，
，
故平面SBC與平面SCD所成銳二面角的余弦值為．
選擇條件②：
連接AC，
∵SA⊥平面ABCD，
∴∠SCA為直線SC與平面ABCD所成的角，即∠SCA＝60°，
∵，∴AC＝2，
∴△ABC為等邊三角形，
取BC的中點(diǎn)N，連接AN，
以A為原點(diǎn)，AN，AD，AS所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），S（0，0，），
∴＝（0，2，0），＝（，1，﹣2），＝（﹣，1，0），
設(shè)平面SBC的法向量為，
，
同理可得，平面SCD的法向量為，
故平面SBC與平面SCD所成銳二面角的余弦值為．
選擇條件③：
∵VS﹣ACD＝SA?S△ACD＝SA?＝×＝2，
∴sin∠ADC＝，
∵∠ADC∈（0，），∴∠ADC＝，
∴AC＝2，
∴△ABC為等邊三角形，
取BC的中點(diǎn)N，連接AN，
以A為原點(diǎn)，AN，AD，AS所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），S（0，0，），
∴＝（0，2，0），＝（，1，﹣2），＝（﹣，1，0），
設(shè)平面SBC的法向量為，
，
同理可得，平面SCD的法向量為，
故平面SBC與平面SCD所成銳二面角的余弦值為．
18. 如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點(diǎn)在底面圓上，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)

（1）證明：平面；
（2）若直線與圓柱底面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)為，通過證明，得證平面；
（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離.
【小問1詳解】
證明：取中點(diǎn)，連接，如圖所示，

為中點(diǎn)，則，又，得，
由，，得，
所以四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，所以平面.
【小問2詳解】
，易知，又，得.
由平面，且直線與圓柱底面所成角為，即，則有.
如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則有，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，有，得，
，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
.
19. 已知平行四邊形如圖甲，，，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，且，連接得三棱錐，如圖乙.
（1）證明：平面平面；
（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，且
【解析】
【分析】（1）推導(dǎo)出，證明出平面，可得出， 利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，結(jié)合求出的值，即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
證明：翻折前，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，，則，
因?yàn)?，則，，
由余弦定理可得，
所以，，則，同理可證，
翻折后，則有，，
因?yàn)?，，、平面?br>所以，平面，
因?yàn)槠矫?，則，
因?yàn)椋?、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，故平面平?
【小問2詳解】
解：因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
設(shè)，其中，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，，
所以，，
易知平面的一個(gè)法向量為，
則，整理可得，
因?yàn)?，解得?br>因此，線段上存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，且.

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2020-2021學(xué)年江蘇省徐州市銅山區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2020-2021學(xué)年江蘇省徐州市銅山區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
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