一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 如圖，在三棱柱中，，分別是，的中點，，則（ ）
A. 1B. C. 0.5D.
2. 已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，且不共面，若，則（ ）
A. B. C. 8D. 13
4. 用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)共有（ ）個
A. 150個B. 156個C. 144個D. 300個
5. 如圖，四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，，點在棱上，且，則平面與平面的夾角的余弦值為
A. B. C. D.
6. 菱形的邊長為4，，E為AB的中點（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點F為的中點，則F到直線BC的距離為（ ）

A. B. C. D.
7. 小明在某一天中有七個課間休息時段，為準備“小歌手”比賽他想要選出至少一個課間休息時段來練習唱歌，但他希望任意兩個練習時間段之間都有至少兩個課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（ ）種練習的方案.
A. 31B. 18C. 21D. 33
8. 如圖，正方體中，E是棱的中點，F(xiàn)是側(cè)面上的動點，且平面，則與平面所成角的正切值t構(gòu)成的集合是（ ）
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．
9. 關(guān)于空間向量，以下說法正確是（ ）
A. 兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間一個基底，則這兩個向量共線
B. 已知向量，若，則鈍角．
C. 若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線l與平面α所成的角為
D. 若直線的方向向量為，平面α的法向量為，則直線
10. （多選題）如圖，點是正方體棱的中點，點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 直線與直線始終是異面直線
B. 存在點，使得
C. 四面體的體積為定值
D. 當時，平面平面
11. 布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）．把三片這樣的達芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體，若圖3中每個正方體的棱長為1，則（ ）

A. B. 若M為線段上的一個動點，則的最大值為2
C. 點P到直線的距離是D. 異面直線與所成角的正切值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 不等式，其中的解集為__________；
13. 如圖，平行六面體，其中，以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是，則異面直線與所成角的正切值為__________．
14. 現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名學生分別擔任語文、數(shù)學、英語、物理、化學學科的科代表，要求甲不當語文科代表，乙不當數(shù)學科代表，若丙當物理科代表則丁必須當化學科代表，則不同的選法共有_____種
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知空間中三點，，.
（1）若四邊形ABCD是平行四邊形，求點D坐標；
（2）若，且，求向量；
（3）若點在平面內(nèi)，求的值.
16. 某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數(shù)學、物理、體育、英語共6節(jié)課．
（1）如果數(shù)學和語文必須排在一起，則有多少種不同的排法？
（2）語文必須排第一課，物理和數(shù)學不能排一起，則不同的排法有多少種？
（3）如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，那么共有多少種不同的排法？
（4）如果數(shù)學必須比語文先上，語文比英語先上（三課不一定連續(xù)上），則共有多少種不同的排法？
（5）原定的6節(jié)課已經(jīng)排好，學校臨時通知要增加生物、化學、地理3節(jié)課，若將這3節(jié)課插入原課表中且原來的6節(jié)課相對順序不變，那么共有多少種不同的排法？
（答題要求：寫上必要的文字說明，先列式，后計算）
17. 如圖，在三棱錐中，平面平面，，，分別為?的中點，，.
（1）求點到直線的距離
（2）求平面與平面夾角的余弦值
（3）已知是平面內(nèi)一點，點為中點，且平面，求線段的長.
18. 如圖，在三棱柱中，，側(cè)面是正方形，二面角的大小是．
（1）求到平面的距離．
（2）線段上是否存在一個點D，使直線與平面所成角為？若存在，求出的長；若不存在說明理由．
19. 如圖，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓O的內(nèi)接正三角形，點E在母線上，且，.
（1）求證：平面平面；
（2）若點M為線段上的動點，當直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時點到平面的距離.
江蘇省靖江高級中學2023-2024學年第二學期階段考試
高二數(shù)學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 如圖，在三棱柱中，，分別是，的中點，，則（ ）
A. 1B. C. 0.5D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的基本定理求解即可.
【詳解】如圖，連接.
因為，分別是，的中點，
，
所以，，，
則.
故選：B.
2. 已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.
【詳解】依題意，向量在向量方向上的投影向量為：，
故選：D
3. 已知，且不共面，若，則（ ）
A. B. C. 8D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)共線定理和空間向量基本定理求解即可.
【詳解】因為，
所以，
又不共面，
所以，解得，
所以.
故選：B
4. 用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)共有（ ）個
A. 150個B. 156個C. 144個D. 300個
【答案】B
【解析】
【分析】當末位是數(shù)字0時，可以組成個數(shù)字；當末位不是0時，共有種結(jié)果，根據(jù)計數(shù)原理得到結(jié)果.
【詳解】本題需要分兩類來解，
當末位是數(shù)字0時，可以組成個四位偶數(shù)，
當末位不是0時，末位可以是2、4，有兩種選法，
首位有4種選法，中間兩位可以從余下的4個數(shù)字中選兩個，共有種結(jié)果，
根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種結(jié)果.
故選：B.
5. 如圖，四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，，點在棱上，且，則平面與平面的夾角的余弦值為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】
以B為坐標原點,分別以BC、BA、BP所在直線為x、y、z軸,
建立空間直角坐標系，
則，
∴
設平面BED的一個法向量為，
則，
取z=1,得，
平面ABE的法向量為，
∴.
∴平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為.
故選B.
點睛：用向量法求二面角大小的兩種方法：
（1）分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小即為二面角的大??；
（2）分別求出二面角的兩個半平面的法向量，然后通過兩個法向量的夾角得到二面角大小，解題時要注意結(jié)合圖形判斷出所求的二面角是銳角還是鈍角.
6. 菱形的邊長為4，，E為AB的中點（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點F為的中點，則F到直線BC的距離為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可證得 平面，平面，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.
【詳解】連接，因為四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，
因為 E為AB的中點，所以，所以，
因為，平面，所以 平面，
因為菱形的邊長為4，所以，
所以直角梯形的面積為，
設四棱錐的高為，則，得，
所以，所以平面，
所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則
，
所以，
所以
所以，
所以F到直線BC的距離為，
故選：A

7. 小明在某一天中有七個課間休息時段，為準備“小歌手”比賽他想要選出至少一個課間休息時段來練習唱歌，但他希望任意兩個練習的時間段之間都有至少兩個課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（ ）種練習的方案.
A. 31B. 18C. 21D. 33
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)練習唱歌的課間個數(shù)進行分類討論，利用列舉法來求得正確答案.
【詳解】七個課間編號為，
如果僅有一個課間練習，則每個課間都可以，有7種方案，
若有兩個課間練習，選法有，
共種方案，
三個課間練習，選法為，共種，
故總數(shù)為種.
故選：B
8. 如圖，正方體中，E是棱的中點，F(xiàn)是側(cè)面上的動點，且平面，則與平面所成角的正切值t構(gòu)成的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】記的中點分別為，先證平面平面，從而可知點F在線段GH上，然后作出所求角即可求解.
【詳解】記的中點分別為，連接，
設，由正方體性質(zhì)可知，，
又分別為的中點，所以，所以，
又平面，平面，所以平面，
由正方體性質(zhì)知，，且，
所以四邊形為平行四邊形，則，
又平面，平面，所以平面，
因為，平面，
所以平面平面，
因為平面，所以點F在線段GH上，
由正方體性質(zhì)可知，平面，
所以即為與平面所成角，，
易知，當F為的中點時，取得最小值，
當F與（或）重合時，取得最大值，即，
所以.
故選：D
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．
9. 關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A. 兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線
B. 已知向量，若，則為鈍角．
C. 若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線l與平面α所成的角為
D. 若直線的方向向量為，平面α的法向量為，則直線
【答案】AC
【解析】
【分析】A. 由空間向量基底的判斷；B.由時，向量共線且反向判斷；C.由l與平面α所成的角為判斷；D.由和直線與平面的位置關(guān)系判斷.
【詳解】A. 由空間向量基底的概念知：兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線，故A正確；
B.當時，向量共線且反向，但不是鈍角．故B錯誤；
C.由題意直線l與平面α所成的角為，故C正確；
D.直線的方向向量為，平面α的法向量為，且，則直線或，故D錯誤；
故選：AC
10. （多選題）如圖，點是正方體的棱的中點，點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 直線與直線始終是異面直線
B. 存在點，使得
C. 四面體的體積為定值
D. 當時，平面平面
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A選項，當位于中點時，與共面；對于選項B和D可采用空間向量計算，對于C選項，連接,交于 ，此時//，易證所以四面體的體積為定值.
【詳解】解：

對于A選項，連接交與，當點在點時，直線與直線相交，故A選項不正確；
對于C.選項，連接,交于 ，此時//，故線段到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值，故C選項正確；
以為坐標原點，建立如圖的坐標系，設正方體的邊長為，則，，，， ，，
對于B選項， 存在點，使得，
則， ，，所以，得，故當滿足時，，
故B選項正確；
對于D選項，當滿足時，，
， ，故平面的法向量可求得為：，
，，故平面的法向量可求得為：，
所以，即平面平面，故D選項.
故選：BCD.
【點睛】本題考查空間直線與直線的位置關(guān)系判斷，考查空間平面與平面的位置關(guān)系判斷，以及幾何體的體積計算等，難度一般.
11. 布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）．把三片這樣的達芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體，若圖3中每個正方體的棱長為1，則（ ）

A. B. 若M為線段上的一個動點，則的最大值為2
C. 點P到直線的距離是D. 異面直線與所成角的正切值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)坐標運算可判斷A；利用坐標表示出，即可判斷B；根據(jù)點到直線的向量公式可判斷C；利用向量夾角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解，可判斷D.
【詳解】如圖建立空間直角坐標系，
則，
故，
，
所以，A錯誤；
記，則，
所以，
當時，取得最大值2，B正確；
記同向的單位向量為，
則點P到直線的距離，C正確；
記異面直線與所成角為，
則，
所以，所以，D正確.
故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 不等式，其中的解集為__________；
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式化簡，即可求解.
【詳解】由題知，，且，
又，
即，
解得，故或，
所以，原不等式的解集為.
故答案為：
13. 如圖，平行六面體，其中，以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是，則異面直線與所成角的正切值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】記，以為基底表示出，然后利用數(shù)量積性質(zhì)求出，由夾角公式求出，然后可得.
【詳解】記，
則，，
因為，
所以，
，
，
記異面直線與所成角為，
則，
所以，所以.
故答案為：
14. 現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名學生分別擔任語文、數(shù)學、英語、物理、化學學科的科代表，要求甲不當語文科代表，乙不當數(shù)學科代表，若丙當物理科代表則丁必須當化學科代表，則不同的選法共有_____種
【答案】67
【解析】
【分析】根據(jù)特殊元素特殊處理的原則，以丙進行分類，排完丙后，由甲不當語文科代表，乙不當數(shù)學科代表，還要進行分類，根據(jù)分類計數(shù)原理可得.
【詳解】因為丙當物理課代表則丁必須當化學課代表，以丙進行分類：
第一類，當丙當物理課代表時，丁必須當化學課代表，再根據(jù)甲當數(shù)學課代表，乙戊可以當英語和語文中的任一課，有種，當甲不當數(shù)學課代表，甲只能當英語課代表，乙只能當語文課代表，戊當數(shù)學課代表，有種，
共計種；
第二類，當丙不當物理課代表時，分四類：
①丙為語文課代表時，乙只能從英語、物理和化學中選擇一課，剩下的甲丁戊任意排給剩下的三課，有種種，
②丙為數(shù)學課代表時，甲只能從英語、物理和化學中選擇一課，剩下的乙丁戊任意排給剩下的三課，有種，
③丙為英語課代表時，繼續(xù)分類，甲當數(shù)學課代表時，其他三位同學任意當有種，當甲不當數(shù)學課代表，甲只能從物理和化學課中選一課,乙只能從語文和甲選完后的剰下的一課中選一課，丁和戊做剰下的兩課，有種，共計種，
④丙為化學課代表時，同③的選法一樣有種，
根據(jù)分類計數(shù)原理得，不同的選法共有種.
故答案為：67.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知空間中三點，，.
（1）若四邊形ABCD是平行四邊形，求點D坐標；
（2）若，且，求向量；
（3）若點在平面內(nèi)，求的值.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，再代入坐標，即可求解；
（2）根據(jù)向量平行的定理可知，，再代入向量模的公式，即可求解；
（3）利用空間向量共面可知，，再代入坐標運算，即可求解.
【小問1詳解】
設點，
由題意可知，，所以，
得，
所以點的坐標為；
【小問2詳解】
，因為，
所以，
因為，所以，得，
所以向量或；
【小問3詳解】
因為點在平面上，故存在實數(shù)使得，
又，,
所以，解得.
故.
16. 某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數(shù)學、物理、體育、英語共6節(jié)課．
（1）如果數(shù)學和語文必須排在一起，則有多少種不同的排法？
（2）語文必須排第一課，物理和數(shù)學不能排一起，則不同的排法有多少種？
（3）如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，那么共有多少種不同的排法？
（4）如果數(shù)學必須比語文先上，語文比英語先上（三課不一定連續(xù)上），則共有多少種不同的排法？
（5）原定的6節(jié)課已經(jīng)排好，學校臨時通知要增加生物、化學、地理3節(jié)課，若將這3節(jié)課插入原課表中且原來的6節(jié)課相對順序不變，那么共有多少種不同的排法？
（答題要求：寫上必要的文字說明，先列式，后計算）
【答案】16. 240；
17 72； 18. 484；
19. 120； 20. 504.
【解析】
【分析】（1）利用捆綁法可解；
（2）利用插空法可解；
（3）對數(shù)學是否排在第一節(jié)分類討論即可；
（4）定序問題利用除法可得；
（5）分步將3科插入空位可解.
小問1詳解】
第一步，先將數(shù)學和語文排在一起，有種排法；
第二步，將數(shù)學和語文看成一個整體，與歷史、物理、體育、英語一起全排，有種排法，
所以，數(shù)學和語文必須排在一起共有種排法.
【小問2詳解】
第一步，先排語文，有1種排法；
第二步，將歷史、體育、英語排成一排，有種排法；
第三步，在第二步產(chǎn)生的4個空位中插入物理和數(shù)學，有種排法.
所以，總的排法有種排法.
【小問3詳解】
第一類，第一節(jié)排數(shù)學，其余五節(jié)任意排，有種排法；
第二類，第1步，從歷史、語文、物理、英語中選一科排在第一節(jié)，有4種排法，
第2步，再從剩下的4個學科（不包括數(shù)學）中選一科排在最后一節(jié)，有4種排法，
第3步，中間4節(jié)任意排，有種排法，
所以，總排法有.
綜上，滿足條件的排法有種.
【小問4詳解】
數(shù)學、語文、英語的上課順序共有種，滿足條件的順序只有1種，
故滿足條件的排法有種.
【小問5詳解】
第一步，先在7個空位中選擇一個空位排生物，有7種；
第二步，在排入生物之后產(chǎn)生的8個空位選擇一個空位排化學，有8種；
第三步，在排入化學之后產(chǎn)生的9個空位選擇一個空位排地理，有9種.
所以，總的排法有種.
17. 如圖，在三棱錐中，平面平面，，，分別為?的中點，，.
（1）求點到直線的距離
（2）求平面與平面夾角的余弦值
（3）已知是平面內(nèi)一點，點為中點，且平面，求線段的長.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）通過題中關(guān)系可推出△為等邊三角形，進而可得解；
（2）通過證明，，可得即為所求，進而可得解；
（3）建立空間直角坐標系，設，利用可得坐標，進而得距離.
【小問1詳解】
（1）,為中點，所以，
平面平面，平面平面，所以平面，
因為，所以，
，所以,
連接，則，所以，
所以△為等邊三角形，所以點到直線的距離為；
【小問2詳解】
平面平面，，平面平面，
所以平面，所以
易知，滿足，所以，
又，平面，所以平面，
平面，所以.
所以即為平面與平面夾角，
，所以；
【小問3詳解】
如圖建立空間直角坐標系，是平面內(nèi)一點，設，
，點為中點，，
，，
由平面，可得，
解得.所以，.
所以
18. 如圖，在三棱柱中，，側(cè)面是正方形，二面角的大小是．
（1）求到平面的距離．
（2）線段上是否存在一個點D，使直線與平面所成角為？若存在，求出的長；若不存在說明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）記的中點分別為，作于點，先證平面平面，然后計算可得；
（2）以的方向分別為x，y軸的正方向，過點F作垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.
【小問1詳解】
記的中點分別為，
由是正方形可知，
又，所以，
因為二面角的大小是，所以，
由三棱柱性質(zhì)可知，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
因為平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
作于點，
因為，平面平面，平面，
所以平面，所以即為所求，
所以.
【小問2詳解】
以的方向分別為x，y軸的正方向，過點F作垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
易知，，
則，
則，
設，
則，
設為平面的法向量，
則，取，得，
記直線與平面所成角為，
則
，
當，即時，取得最小值4，
故，
所以，當時，直線與平面所成角為.
此時，
所以.
19. 如圖，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓O的內(nèi)接正三角形，點E在母線上，且，.
（1）求證：平面平面；
（2）若點M為線段上的動點，當直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時點到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理與勾股定理推得，再利用線面垂直與面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得證；
（2）建立空間直角坐標系，利用線面角向量表示得到關(guān)于的表達式，從而求得的值，進而利用點面距離公式即可得解.
【小問1詳解】
如圖，設交于點，連接，由圓錐的性質(zhì)可知底面，

因為平面，所以，
又因為是底面圓的內(nèi)接正三角形，由，可得，，
解得，又，，
所以，即，，
所以在中，，
在中，由余弦定理：
，
所以，故.
因為底面，面，所以平面平面，
又面，面面，，故面，
又平面，所以平面平面；
【小問2詳解】
易知，以點為坐標原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，
所以，，，，
設平面的法向量為，則，
令，則，
設，可得，
設直線與平面所成的角為，則，
即，
令，，
則
當且僅當，即時，等號成立，
所以當時，有最大值4，
即當時，的最大值為1，此時點，
所以，
所以點M到平面的距離，
故當直線與平面所成角的正弦值最大時，點到平面的距離為.

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