時量：120分鐘 分值：150分
命題人：李昌達 審題人：黃知清、鄧佩君
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．
1．集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知，若，則（ ）
A．1B．4C．D．
3．已知拋物線上一點的橫坐標為4，則點到焦點的距離為（ ）
A．4B．2C．6D．8
4．若復數(shù)，則下列說法錯誤的是（ ）
A．的實部為B．的虛部為
C．D．對應的點在復平面第四象限
5．（教材原題）已知與是兩個事件，，則（ ）
A．0.18B．0.3C．0.5D．0.6
6．從4個男生和4個女生中挑選3個人組成小組參加歌唱比賽，要求至少2個女生參與，則不同的小組組成方式有（ ）種
A．20B．28C．36D．44
7．截角四面體可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟嵌玫剑鐖D所示為一個正四面體，作平行于各個面的截面截角得到一個所有棱長均為2的截角四面體，則該截角四面體的體積為（ ）
A．B．C．D．
8．（作業(yè)原題）設函數(shù)，若對于都有成立，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知一組不全相等的樣本數(shù)據(jù)，由生成一組新的樣本數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)中可能相等的量有（ ）
A．極差B．平均數(shù)C．中位數(shù)D．標準差
10．連擲一枚均勻骰子兩次，第一、二次所得向上的點數(shù)分別為，記，事件為“”，事件為“”，下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．事件與事件互為獨立事件
11．（作業(yè)原題改編）對于式子，以下判斷正確的有（ ）
A．存在，使得展開式中沒有常數(shù)項B．對任意，展開式中有常數(shù)項
C．存在，使得展開式中有的一次項D．對任意，展開式中沒有的一次項
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．
12．已知正項等差數(shù)列的前項和為，則_________。
13．（作業(yè)原題）如圖是一組數(shù)據(jù)的散點圖，經(jīng)最小二乘估計公式計算，與之間的經(jīng)驗回歸方程為，則_________*。
14．已知圓，圓，過上一點作的切線與交于不同兩點，，點的坐標為，則的取值范圍為_________。
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
已知函數(shù)，曲線在點處的切線平行于直線．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的極值．
16．（15分）
在中，角所對的邊分別為，記的面積為，已知．
（1）求角的大??；
（2）若，求的最大值．
17．（15分）
為促進物資流通，改善出行條件，駐某縣扶貧工作組引入資金新建了一條從該縣到市區(qū)的快速道路．該縣脫貧后，工作組為了解該快速道路的交通通行狀況，調(diào)查了行經(jīng)該道路的各種類別的機動車共1000輛，對行車速度進行統(tǒng)計后，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）試根據(jù)頻率分布直方圖，求的值以及樣本中的這1000輛機動車的平均車速（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；
（2）設該公路上機動車的行車速度服從正態(tài)分布，其中分別取自該調(diào)查樣本中機動車的平均車速和車速的方差（經(jīng)計算）．
（i）請估計該公路上10000輛機動車中車速不低于85千米/時的車輛數(shù)（精確到個位）；
（ii）現(xiàn)從經(jīng)過該公路的機動車中隨機抽取10輛，設車速低于85千米/時的車輛數(shù)為，求的數(shù)學期望．
附注：若，則，．
18．（17分）
已知橢圓經(jīng)過四個點中的三個．
（1）求橢圓的方程與離心率；
（2）過點的直線與線段（不含端點）交于點，與橢圓交于點，
（i）若，求直線的斜率；
（ii）若，求直線的斜率．
19．（17分）
某商城進行促銷活動，購買某產(chǎn)品的顧客可以參加一次游戲：在一個不透明箱子中放入紅、藍、黃三種顏色的小球各1個，顧客從中有放回地取出小球，直到取出的小球集齊了三種顏色則停止取球．設顧客停止取球時，取過的小球次數(shù)為，
（1）求；
（2）設，數(shù)列，求的通項公式；
（3）顧客停止取球時，取過的小球次數(shù)為，顧客可以獲得對應的元獎金，其中，求證：．
高二數(shù)學第一次月考答案
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．
1．B 2．D 3．A 4．B
5．【答案】C
【解析】
6．【答案】B
【解析】情況1，2女1男，有種；情況2，3女，有種，共28種．
7．【答案】D
【解析】大正四面體的體積為，小正四面體的體積為，則截角四面體的體積為
8．【答案】C
【解析】法一：直接求導法
，令得，
時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；
時，單調(diào)遞增；故或，只需
法二：分離參數(shù)法
，令
時，；時，，所以．
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分
9．【答案】BC
【解析】不妨設，則的極差為的極差為，因為不全相等，所以錯誤；
設的平均數(shù)為，則的平均數(shù)為，當時，，B正確；時，取為為，他們的中位數(shù)相等，C正確；
設的標準差為，則的標準差為，因為不全相等，所以，D錯誤．
10．【答案】ABD
【解析】，
所以，A正確；，B正確；，C錯誤；，D正確．
11．【答案】BD
【解析】展開式通項為其中，當時，存在常數(shù)項，A錯誤，B正確，為偶數(shù)，不存在一次項，C錯誤，D正確．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．
12．【答案】
【解析】法一：特值法，令，易知法二：基本量法，
13．【答案】1
【解析】，帶入經(jīng)驗回歸方程得
14．【答案】
【解析】如圖，不妨設，中點為，則，又，所以，所以，在中，由余弦定理有
因為，所以，所以
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15．【解析】（1），由題意有；
（2）由（1）可得，令得或，列表如下：
極大值為，極小值為．
16．【解析】（1）因為，所以，可得，因為，所以．
（2）由余弦定理可知，即，
因為，所以，所以，可得，
當且僅當時，等號成立，所以的最大值為24．
17．【解析】（1）
千米時．
（2）由（1）及題設知：，則，
（i），
輛機動車中車速不低于85千米/時的車輛數(shù)輛．
（ii）由（2）知：車速低于85千米/時的概率為，故，．
18．【解析】（1）易知橢圓過三點，方程為，離心率為；
（2）（i）易知，設，
或或
所以直線的斜率為或
（ii）即，
與橢圓聯(lián)立得，解得
或（舍）
所以直線的斜率為
19．【解析】（1）；
（2）不妨設第次首次取到紅球，則前次中每次都取到藍球或黃球中的一種，但不能全取藍球，也不能全取黃球，；
（3）
下面證明：
，顯然成立
故
1
3
+
0
-
0
+
極大值
極小值

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