時(shí)量：120分鐘 滿分：150分
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分別求出集合，再根據(jù)并集的運(yùn)算求解．
【詳解】∵集合，
，
∴．
故選:B．
2. 已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算求得，根據(jù)虛部定義求得結(jié)果.
【詳解】 ，∴z的虛部為：2
故選：A
3. 已知向量，，則“，的夾角為銳角”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.
【詳解】若，的夾角為銳角，則且，不同向，可得且，
故“，的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件．
故選：A
4. 已知a，b為兩條不同的直線，α為平面，則下列命題正確的是（ ）
A. 若a⊥α，a⊥b，則b//αB. 若a//α，a⊥b，則b⊥α
C. 若a//α，b//α，則a//bD. 若a⊥α，a//b，則b⊥α
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線線，線面的位置關(guān)系，定義以及判斷定理，性質(zhì)定理，即可求解.
【詳解】對(duì)于A，若a⊥α，a⊥b，則b//α或b?α，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若a//α，a⊥b，則b//α或b?α，或b與α相交，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若a//α，b//α，則a與b相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若a⊥α，a//b，則由直線與平面垂直的判定定理知b⊥α，故D正確．
故選：D．
5. 在中，，M是邊的中點(diǎn)，O為的外心，則（ ）
A. 8B. C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化到向量上去，再代入數(shù)據(jù)即可計(jì)算得出結(jié)論.
【詳解】由題意，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：

易知，；
可得，
又，同理；
所以
故選：B
6. 已知?jiǎng)t（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)，則，則化簡(jiǎn)，由余弦的二倍角公式可得答案.
【詳解】設(shè)，則，
從而.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)中知值求值的問題，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)，然后可得，屬于中檔題.
7. 在平面中，過定點(diǎn)作一直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)直線的截距式，再根據(jù)面積公式結(jié)合基本不等式求解最小值即可
【詳解】易得直線不經(jīng)過原點(diǎn)，故設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，
故，所以，故.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
故
故選：C
8. 已知函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，函數(shù)滿足，對(duì)于，均有，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)可知是以6為周期的函數(shù)，則，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可得.由可得.
結(jié)合、計(jì)算求出和即可.
詳解】，
兩式相減，得，所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期，
有.
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
將的圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大3倍，縱坐標(biāo)不變，得，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
再向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得，圖象關(guān)于對(duì)稱，
有.
又，令，則，即.
當(dāng)時(shí)，，
則①，，
所以，即②，
由①②，得，解得，所以，
又，所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法定睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，不選或有錯(cuò)選的得0分.
9. 一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 事件A與事件B互斥
C. 事件A與事件B相互獨(dú)立D.
【答案】CD
【解析】
【分析】A.利用古典概型的概率求解判斷；B.利用互斥事件的定義判斷；C.利用獨(dú)立事件的概率求解判斷；D.利用并事件的概率求解判斷.
【詳解】解：依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個(gè)基本事件，
則，A不正確：
事件B含有的基本事件有8個(gè)：，，，，，，，，
其中事件，，，發(fā)生時(shí)，事件A也發(fā)生，即事件A，B可以同時(shí)發(fā)生，B不正確；
拋擲正四面體木塊兩次的所有基本事件有16個(gè)，，，即事件A與事件B相互獨(dú)立，C正確；
，D正確.
故選：CD.
10. 如圖（1）是一段依據(jù)正弦曲線設(shè)計(jì)安裝的過山車軌道.建立平面直角坐標(biāo)系如圖（2），（單位：m）表示在時(shí)間（單位：s）時(shí).過山車（看作質(zhì)點(diǎn)）離地平面的高度.軌道最高點(diǎn)距離地平面50m.最低點(diǎn)距離地平面10m.入口處距離地平面20m.當(dāng)時(shí)，過山車到達(dá)最高點(diǎn)，時(shí)，過山車到達(dá)最低點(diǎn).設(shè)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為12
B.
C. 時(shí)，過山車距離地平面40m
D. 一個(gè)周期內(nèi)過山車距離地平面低于20m的時(shí)間是4s
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意抽象出函數(shù)最值，列式求，根據(jù)周期求，最后根據(jù)求，再根據(jù)函數(shù)的解析式判斷CD.
【詳解】由題意可知，周期滿足，得，
所以，得，又，解得，.
所以，又，即，得，因?yàn)椋?，所?
對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，由，得，即，，，解得，，
所以一個(gè)周期內(nèi)過山車距離底面低于20m的時(shí)間是，D正確.
故選：ACD.
11. 已知圓和圓相交于、兩點(diǎn)，下列說法正確的為（ ）
A. 兩圓有兩條公切線B. 直線的方程為
C. 線段的長(zhǎng)為D. 圓上點(diǎn)，圓上點(diǎn)，的最大值為
【答案】AD
【解析】
【分析】
由圓與圓相交可判斷A；兩圓方程作差可判斷B；利用垂徑定理可判斷C；轉(zhuǎn)化為圓心間的距離可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閮蓤A相交，所以兩圓有兩條公切線，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)閳A，圓，
兩圓作差得即，
所以直線的方程為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，圓的圓心為，半徑為2，
則圓心到直線的距離，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，圓的圓心，半徑為1，
所以，故D正確.
故選：AD.
12. 如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為
B. 過三點(diǎn)作正方體的截面，則截面面積為
C. 三棱錐的體積最大值為
D. 若保持，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出正方體相鄰兩個(gè)側(cè)面的展開圖，對(duì)比線段的長(zhǎng)度即可得到最短路程，知A正確；作出截面，由矩形面積公式可求得B錯(cuò)誤；利用體積橋可知當(dāng)與重合時(shí)，體積最大，利用割補(bǔ)法可求得C正確；分析可知點(diǎn)軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分，結(jié)合扇形弧長(zhǎng)公式可求得D正確.
【詳解】對(duì)于A，將側(cè)面和側(cè)面沿展成平面，如下圖所示，

此時(shí)；
將底面和側(cè)面沿展成平面，如下圖所示，

此時(shí)；
，沿正方體表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為，A正確；
對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，
，四點(diǎn)共面，
則過三點(diǎn)作正方體的截面，截面即為四邊形，如下圖陰影部分所示，

平面，平面，，
，，四邊形為矩形，
又，，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，為定值，
當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí)，取得最大值，
又點(diǎn)為側(cè)面（含邊界）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到平面距離最大，

，C正確；
對(duì)于D，若，則點(diǎn)在以為球心，為半徑的球面上，
取中點(diǎn)，則，，

點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分，即劣弧，如下圖所示，

，，劣弧的長(zhǎng)度為：，
即點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為，D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
13. 已知直線：與：平行，則實(shí)數(shù)a的值為_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直線平行的充要條件計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知：，且，解之得.
故答案為：-1
14. 已知點(diǎn)，，若直線與線段相交，則的取值范圍________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出直線過定點(diǎn)，利用斜率計(jì)算公式求出，，再數(shù)形結(jié)合即可得解．
【詳解】解：直線經(jīng)過定點(diǎn)，
，，
又直線與線段相交，由圖可知，即；
故答案為：．

15. 已知函數(shù)，若方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，分別記為，，，，則的取值范圍是____________
【答案】
【解析】
【分析】明確分段函數(shù)兩段的性質(zhì)，進(jìn)而作出其圖像，將方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象確定，，，的范圍，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)，即可求得答案.
【詳解】由題意知，
當(dāng)時(shí)，，
令，則；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
令，則或4；令，則或2；
由此可作出函數(shù)的圖象如圖：

由于方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，分別記為，，，，
故的圖象與直線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知，
不妨設(shè)，則，
且關(guān)于對(duì)稱，所以，
又即，則，
故，
由于在上單調(diào)遞增，故，
所以，
故的取值范圍是，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合考查函數(shù)與方程的應(yīng)用知識(shí)，涉及到知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，解答的關(guān)鍵時(shí)要明確分段函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解.
16. 若圓與圓外切，則的最大值為________________.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)兩圓外切可得，再根據(jù)可知，點(diǎn)的軌跡為圓弧，圓的四分之一，而表示定點(diǎn)與圓弧上的動(dòng)點(diǎn)連線的斜率，然后數(shù)形結(jié)合即可求出．
【詳解】由題可得圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為.因?yàn)閮蓤A外切，可得，，可看作平面直角坐標(biāo)系中的定點(diǎn)與圓弧上的動(dòng)點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖形可知，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，最大，此時(shí)其最大值為．

故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及利用幾何意義求最值，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)換能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
四、解答題：本大題共6小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為. 已知.
（1）求的值；
（2）求的面積.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)求出，根據(jù)求出，根據(jù)正弦定理求出；
（2）先求出，再利用面積公式即可求出.
【詳解】（1）在中，由題意知，
又因?yàn)?，所有?br>由正弦定理可得.
（2）由得，由,得.
所以.
因此，的面積.
【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.
18. 《中華人民共和國(guó)民法典》于2021年1月1日正式施行．某社區(qū)為了解居民對(duì)民法典的認(rèn)識(shí)程度，隨機(jī)抽取了一定數(shù)量的居民進(jìn)行問卷測(cè)試（滿分：100分），并根據(jù)測(cè)試成績(jī)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）估計(jì)該組測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和第57百分位數(shù)；
（2）該社區(qū)在參加問卷且測(cè)試成績(jī)位于區(qū)間和的居民中，采用分層隨機(jī)抽樣，確定了5人.若從這5人中隨機(jī)抽取2人作為該社區(qū)民法典宣講員，設(shè)事件“兩人的測(cè)試成績(jī)分別位于和”，求.
【答案】（1）平均數(shù)76.2；第57百分位數(shù)79；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)及百分位數(shù)；
（2）根據(jù)分層抽樣確定測(cè)試成績(jī)分別位于和的人數(shù)，按照古典概型計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖可知測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)
.
測(cè)試成績(jī)落在區(qū)間的頻率為，
落在區(qū)間的頻率為，
所以設(shè)第57百分位數(shù)為a，有，
解得；
【小問2詳解】
由題知，測(cè)試分?jǐn)?shù)位于區(qū)間、的人數(shù)之比為，
所以采用分層隨機(jī)抽樣確定的5人，在區(qū)間中3人，用，，表示，在區(qū)間中2人，用，表示，
從這5人中抽取2人的所有可能情況有：
，，，，，，，，，，共10種，
其中“分別落在區(qū)間和”有6種，
所以.
19. 已知圓：.
（1）求過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；
（2）已知點(diǎn)，，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心與半徑，討論直線的斜率存在或不存在，當(dāng)不存在時(shí)，設(shè)出點(diǎn)斜式，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑即可求解.
（2）將問題轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)：，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，滿足題意，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，圓：，
因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，
即，∴
所以直線方程為：.
（2）∵，，
∴，直線的方程為：，
圓心到直線AB的距離為：，
所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為，
所以.
20. 如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，，是底面的內(nèi)接正三角形，且，P是線段DO上一點(diǎn).
（1）若
，求三棱錐P-ABC的體積.
（2）當(dāng)PO為何值時(shí)，直線EP與平面PBC所成的角的正弦值最大.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用棱錐的體積公式即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.
【小問1詳解】
在，，
，
因?yàn)椋?br>【小問2詳解】
如圖所示，建立以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系..
設(shè)，，
所以，，，，
所以，，，
設(shè)平面PBC的法向量為，
所以，
所以
設(shè)直線EP與平面PBC所成的角為，
由題意得.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線EP與平面PBC所成的角的正弦值最大.
21. 已知函數(shù)已知函數(shù)，
（1）若的解集，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）討論集合是否是空集，從而求解，
（2），首先討論是否是0，在時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)的位置，從而確定實(shí)數(shù)所滿足的條件，從而求其范圍．
【小問1詳解】
若，則，
若，則．
綜上可得：．
【小問2詳解】
．
若，則，無零點(diǎn)；
若，則在單調(diào)，
∴其在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)．
①若，
則，
解得，，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)不成立，
②若，
由，
解得，，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
22. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的圓M（圓心M在第一象限）與x軸正半軸交于點(diǎn)A（2，0），弦OA將圓M截得兩段圓弧的長(zhǎng)度比為1：5．
（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)B是直線l：x+y+20上的動(dòng)點(diǎn)，BC、BD是圓M的兩條切線，C、D為切點(diǎn)，求四邊形BCMD面積的最小值；
（3）若過點(diǎn)M且垂直于y軸的直線與圓M交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)P為直線x＝5上的動(dòng)點(diǎn)，直線PE、PF與圓M的另一個(gè)交點(diǎn)分別為G、H（GH與EF不重合），求證：直線GH過定點(diǎn)．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由圓弧的長(zhǎng)度比為，可得，得為等邊三角形，由此求出圓心坐標(biāo)和半徑，則圓的方程可求；
（2）四邊形得面積，要使四邊形面積最小，則最小即可．此時(shí)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解；
（3）設(shè)點(diǎn)，，，，，先分析GH斜率存在時(shí)，設(shè)，根據(jù)聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系求出k，b關(guān)系即可得出所過定點(diǎn)，再驗(yàn)證斜率不存在情況即可.
【小問1詳解】
弦將圓截得兩段圓弧的長(zhǎng)度比為，
，則為等邊三角形，
又，
圓心得坐標(biāo)為，．
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
四邊形得面積，
在中，，要使四邊形面積最小，則最小即可．
此時(shí)，
，
．
四邊形面積的最小值為；
【小問3詳解】
證明：設(shè)點(diǎn)，，，，，
由題意知：，，
，．
，
，①
點(diǎn)、在圓上，將和代入①整理得：
，②
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得．
，．
代入②整理得：．
，解得或．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)．
與不重合，
點(diǎn)不合題意．
當(dāng)斜率不存在時(shí)，
聯(lián)立，解得，，．
點(diǎn)適合．
綜上，直線過定點(diǎn)．

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