考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)戰(zhàn)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊（60%），選擇性必修第三冊第六章（40%）.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知直線與直線平行，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，則（ ）
A. B.2 C. D.4
3.某鎮(zhèn)政府計劃從3月1日開始植樹綠化環(huán)境，第一天植樹2000棵，以后每天植樹的棵數(shù)比前一天多相同的數(shù)量.若該鎮(zhèn)政府計劃用13天（即到3月13日結(jié)束）植樹33800棵，則植樹節(jié)（3月12日）這一天植樹（ ）
A.3000棵 B.3100棵 C.3200棵 D.3300棵
4.將9個志愿者的名額分配給4個班，每班至少一個名額，則不同的分配方法的種數(shù)為（ ）
A.504 B.126 C.112 D.56
5.從中任取5個數(shù)字，記由這5個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)為，其中滿足的五位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A.126 B.756 C.1260 D.7560
6.甲辰龍年春節(jié)哈爾濱火爆出圈，成為春節(jié)假期旅游城市中的“頂流”.甲?乙等6名網(wǎng)紅主播在哈爾濱的中央大街?冰雪大世界?圣索菲亞教堂?音樂長廊4個景點(diǎn)中選擇一個打卡游玩，若每個景點(diǎn)至少有一個主播去打卡游玩，每位主播都會選擇一個景點(diǎn)打卡游玩，且甲?乙都單獨(dú)1人去某一個景點(diǎn)打卡游玩，則不同游玩方法有（ ）
A.96種 B.132種 C.168種 D.204種
7.已知直線，圓，當(dāng)圓心到直線的距離最小時，圓的周長為（ ）
A. B. C. D.
8.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于同余的問題.用表示整數(shù)被整除，設(shè)且，若，則稱與對模同余，記為.已知，則（ ）
A. B.
C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.若且，則（ ）
A. B.
C. D.
10.如圖，在正三棱柱中，為空間一動點(diǎn)，若，則（ ）
A.若，則點(diǎn)的軌跡為線段
B.若，則點(diǎn)的軌跡為線段
C.存在，使得
D.存在，使得平面
11.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為為的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則（ ）
A.
B.若，則
C.為鈍角
D.為定值
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知男?女學(xué)生共6人，若從男生中任選2人，從女生中任選1人，共有12種不同的選法，則其中女生人數(shù)為__________人.
13.記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項積，若，且，則__________，當(dāng)取得最小值時，__________.
14.若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
已知二項式且為常數(shù)的展開式中第7項是常數(shù).
（1）求的值；
（2）若該二項式展開式中各項系數(shù)之和為1024，求展開式中的系數(shù).
16.（本小題滿分15分）
晚會上共有7個節(jié)目，其中有4個不同的歌唱節(jié)目，2個不同的舞蹈節(jié)目和1個相聲節(jié)目，分別按以下要求各可以排出多少種不同的節(jié)目單.
（1）其中舞蹈節(jié)目第一個出場，相聲節(jié)目不能最后一個出場；
（2）2個舞蹈節(jié)目不相鄰；
（3）前3個節(jié)目中既要有歌唱節(jié)目又要有舞蹈節(jié)目.
17.（本小題滿分15分）
已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時，.
18.（本小題滿分17分）
如圖，在平行六面體中，四邊形與四邊形均為菱形，.
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
19.（本小題滿分17分）
由橢圓的兩個焦點(diǎn)和短軸的一個頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與“相似”，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比.已知橢圓與橢圓相似.
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓與橢圓的相似比為，設(shè)為上異于其左?右頂點(diǎn)的一點(diǎn).
①當(dāng)時，過分別作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率為，證明：為定值；
②當(dāng)時，若直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，求的值.
2023~2024學(xué)年高二3月質(zhì)量檢測卷·數(shù)學(xué)
參考答案?提示及評分細(xì)則
1.B 由題意可知，，所以.故選B.
2.C 雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，所以，所以.故選C.
3.B 由題意知，這13天中每天植樹數(shù)量為等差數(shù)列，則，設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得，所以.故選B.
4.D 將9個名額排成一排形成8個空檔，在8個空檔中放入3個擋板，有種方法.故選D.
5.B 第一步：從9個數(shù)中任取5個數(shù)，有種取法；第二步：將取出的5個數(shù)中最大的放中間數(shù)位，從余下的4個數(shù)字中取2個排在一端，余下的排在另一端，共有種排法，所以符合條件的五位數(shù)有個.故選B.
6.C 依題意可知，每個景點(diǎn)至少1人，至多3人，甲?乙都單獨(dú)1人去一個景點(diǎn)，則有種.故選C.
7.A 圓化為，所以，故到的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故此時圓的半徑為，則圓的周長為.故選A.
8.D 由二項式定理，得
，因?yàn)槟軌虮?整除，被7除余3，則，又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3，所以.故選D.
9.BC 由組合數(shù)的性質(zhì)知，故錯誤；因?yàn)?，故，故B正確；由，得，故C正確；，故D錯誤.故選BC.
10.ABC 由，得點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（含邊界），若，則，故點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；若，則，所以，即，又，故點(diǎn)的軌跡為線段，故B正確；分別取棱的中點(diǎn)，連接，由題意易證平面，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，，故存在，使得，故C正確；若使平面，則點(diǎn)必在棱上，此時，故不存在，使得平面，故D錯誤.故選.
11.ACD 由題意知，所以，則，設(shè)過點(diǎn)的動直線的方程為，代入，得，設(shè)，顯然，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故正確；由得，，解得，所以，故B錯誤；
，所以為鈍角，故C正確；
，為定值，故D正確.故選ACD.
12.2 設(shè)男生有人，則女生有人，由題意得，即，所以，所以，即其中女生人數(shù)為2人.
13.（2分）6（3分） 由題意知，因?yàn)椋?，故為公比為的等比?shù)列，由得，，解得，所以，則，當(dāng)取得最小值時，則為奇數(shù)，且取得最小值，所以.
14. 令，所以.
令，易得，則，令，則有兩個零點(diǎn)等價于函數(shù)的圖象與直線有兩個交點(diǎn).，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
15.解：（1）二項式的展開式中第7項為，
由題意得，解得.
（2）令，得，所以或，
解得，或（舍去）.
該二項式展開式通項為，令，解得，
故展開式中的系數(shù)為.
16.解：（1）按特殊位置或特殊元素優(yōu)先安排的原則分3步：先排第1個節(jié)目，有種安排方法，再排最后一個節(jié)目，可以從余下的5個非相聲節(jié)目中選一個排在最后，有種排法，最后余下的節(jié)目隨便排，有種排法，由分步計數(shù)原理得共有種排法.
（2）先排非舞蹈節(jié)目，有種排法，將2個舞蹈節(jié)目插到6個空中，有種排法，故種排法.
（3）前3個節(jié)目共三種情況：一種為1個歌唱節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目，有種排法，另外一種為2個歌唱節(jié)目，1個舞蹈節(jié)目，有種排法，最后一種為歌唱節(jié)目，舞蹈節(jié)目?相聲節(jié)目各1個，有種排法，故共有種排法.
17.（1）解：的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，.
要證明成立，只要證明，
即證.
令，則，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
故當(dāng)時，.
18.證明：（1）連接，因?yàn)樗倪呅闻c四邊形均為菱形，且，所以與均為等邊三角形，
取的中點(diǎn)，連接，則，
設(shè)，則，
在中，由及余弦定理，得，
即，所以舍去.
所以，所以，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>又平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以
所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，
.
設(shè)平面的一個法向量，
由得取，解得，故，
設(shè)平面的一個法向量，
由得取，解得，故，
所以，
設(shè)二面角的大小為，
所以.
19.（1）解：由題意知橢圓的長軸為，短軸長為2，故焦距為2，
橢圓的長軸為，短軸長為，焦距為，
由，得，所以，
所以橢圓的離心率為.
（2）①證明：由相似比知，，所以，故橢圓，
設(shè)，則直線的方程為，即，
設(shè)，則直線的方程為，
將其代入，得，
依題意得，
即，
將代入上式，得，
同理可得，，
所以為關(guān)于的方程的兩根，
則，
又在橢圓上，則，所以，
故，為定值.
②解：由相似比知，，解得，故橢圓，其左?右頂點(diǎn)分別為
，恰好為橢圓的左?右焦點(diǎn).
設(shè)，易知直線與直線的斜率均存在，且不為0，
所以，
又在橢圓上，則，即，
所以.
設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，
設(shè)直線的方程為，
由得，
設(shè)，則，
所以
，
同理可得，，
故.

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