考生注意：
1.本試滿分150分，考試時間120分鐘.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試卷、草稿紙上作答無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 集合，集合，則（ ）
A B. C. D.
2. 已知是虛數(shù)單位，在復平面內，復數(shù)和對應的點間的距離是（ ）
A. 0B. 1C. D.
3. 2023年5月，浙江衛(wèi)視《奔跑吧11》第四期節(jié)目打卡爽爽的貴陽城．周深在內的兄弟團成員和以劉宇等為成員的INTO1組合與來自貴陽社會各界的400位青年一起在貴州大學體育館唱響了一場“青春歌會”．節(jié)目組在前期準備工作中統(tǒng)計出了排名靠前的10首人們喜歡的贊頌青春的歌曲．在活動中，兄弟團成員要從這10首歌曲中競猜排名前5名的歌曲，則在競猜中恰好猜對2首歌曲的概率為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差數(shù)列的前項和為．若，，則（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，直線和垂直，則的最小值為（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
6. 在三棱錐中，兩兩垂直，且，三角形重心為，則點到直線距離為（ ）
A. B. C. D.
7. 直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點．若，則（ ）
A. 4B. C. 8D.
8. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知二項式的展開式中各項的系數(shù)的和為128，則下列結論中正確的有（ ）
A. 展開式共有7項B. 所有二項式系數(shù)的和為128
C. 只有第4項的二項式系數(shù)最大D. 展開式的常數(shù)項為
10. 聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成，稱為復合音．若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則下列結論中正確的是（ ）
A. 奇函數(shù)B. 在區(qū)間內有最大值
C. 的周期是D. 在區(qū)間內有一個零點
11. 已知曲線：的焦點為，，點為曲線上一動點，則下列敘述正確的是（ ）
A. 若，則的內切圓半徑的最大值為
B. 若，則曲線的焦點坐標分別是，
C. 若曲線的離心率為，則或
D. 若曲線是雙曲線，且一條漸近線的傾斜角為，則
12. 關于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A. 若空間向量，，則在上的投影向量為
B. 若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面
C. 若空間向量，滿足，則與夾角銳角
D. 若直線l的方向向量為，平面的一個法向量為，則
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，點在角的終邊上，則______．
14. 已知隨機變量，其中，則___________.
15. 若函數(shù)在存在單調遞減區(qū)間，則a的取值范圍為________．
16. 如圖，、兩點分別在、軸上滑動，，為垂足，點軌跡形成“四葉草”的圖形，若，則的面積最大值為______．

四、解答題：共6個小題，滿分70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 設為數(shù)列的前項和．已知．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設，求數(shù)列的前項和．
18. 在銳角中，角、、所對的邊分別為、、．
①；②；③．
在以上三個條件中選擇一個，并作答．
（1）求角；
（2）已知的面積為，是邊上的中線，求的最小值．
19. 某校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3:3:4，三個年級的學生都報名參加公益志愿活動，經(jīng)過選拔，高一年級有的學生成為公益活動志愿者，高二、高三年級各有的學生成為公益活動志愿者．
（1）設事件“在三個年級中隨機抽取的1名學生是志愿者”；事件“在三個年級中隨機抽取1名學生，該生來自高年級”（）．請完成下表中不同事件的概率并寫出演算步驟：
（2）若在三個年級中隨機抽取1名學生是志愿者，根據(jù)以上表中所得數(shù)據(jù)，求該學生來自于高一年級的概率．
20. 已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面，，，是棱上一點.
（1）證明：平面；
（2）當平面時，求與平面所成角的正弦值.
21. 在直角坐標平面內，已知，，動點滿足條件：直線與直線斜率之積等于，記動點的軌跡為．
（1）求方程；
（2）過直線：上任意一點作直線與，分別交于，兩點，則直線是否過定點？若是，求出該點坐標；若不是，說明理由．
22. 牛頓迭代法是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)域和復數(shù)域上近似求解方程的方法．比如，我們可以先猜想某個方程的其中一個根在的附近，如圖所示，然后在點處作的切線，切線與軸交點的橫坐標就是，用代替重復上面的過程得到；一直繼續(xù)下去，得到，，，……，．從圖形上我們可以看到較接近，較接近，等等．顯然，它們會越來越逼近．于是，求近似解的過程轉化為求，若設精度為，則把首次滿足的稱為的近似解．

已知函數(shù)，．
（1）當時，試用牛頓迭代法求方程滿足精度的近似解（取，且結果保留小數(shù)點后第二位）；
（2）若，求的取值范圍．事件概率
概率值
開遠一中2024春季學期高二3月月考測試
數(shù) 學
考生注意：
1.本試滿分150分，考試時間120分鐘.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試卷、草稿紙上作答無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式求出集合，利用交集的定義得出結果.
【詳解】∵，
，
∴，即.
故選：A.
2. 已知是虛數(shù)單位，在復平面內，復數(shù)和對應的點間的距離是（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，分別得到兩復數(shù)對應點的坐標，再由兩點間距離公式，即可得出結果.
【詳解】由于復數(shù)和對應的點分別為，，
因此由兩點間的距離公式，得這兩點間的距離為.
故選：D.
3. 2023年5月，浙江衛(wèi)視《奔跑吧11》第四期節(jié)目打卡爽爽的貴陽城．周深在內的兄弟團成員和以劉宇等為成員的INTO1組合與來自貴陽社會各界的400位青年一起在貴州大學體育館唱響了一場“青春歌會”．節(jié)目組在前期準備工作中統(tǒng)計出了排名靠前的10首人們喜歡的贊頌青春的歌曲．在活動中，兄弟團成員要從這10首歌曲中競猜排名前5名的歌曲，則在競猜中恰好猜對2首歌曲的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用排列、組合求出試驗的基本事件總數(shù)及事件所含基本事件數(shù)，再利用古典概率計算作答.
【詳解】依題意，10首歌曲任意排列名的試驗有個基本事件，
恰好猜對2首歌曲的事件含有個基本事件，
所以在競猜中恰好猜對2首歌曲的概率.
故選：B
4. 已知等差數(shù)列的前項和為．若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式求出的值，再利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，
又因為，則，解得，
因此，.
故選：C.
5. 已知，，直線和垂直，則的最小值為（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得出，再由基本不等式“1”的代換求解即可.
【詳解】因為直線和垂直，
所以，所以，
因為，，
所以，
當且僅當，即時取等.
故選：C.
6. 在三棱錐中，兩兩垂直，且，三角形重心為，則點到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，確定各點坐標，得到，，計算在的投影為，在根據(jù)勾股定理計算得到答案.
【詳解】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，
則，，，則.
，，
故在的投影為，
點到線的距離為.
故選：D.
7. 直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點．若，則（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根據(jù)焦半徑公式并結合條件，得到點的坐標，即可求得弦長.
【詳解】拋物線的焦點坐標為，準線方程為，
設，，，，
因為，所以，得，①
因為，所以，即，②
由方程①②可得，，
所以.
故選：C
8. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)判斷出的大小關系，利用對數(shù)、指數(shù)運算判斷出的關系，進而確定正確答案.
【詳解】構造函數(shù)，
所以在上單調遞增，所以，
，；
故只需比較與；也即比較與；
也即比較與，
而，，
所以，所以.
綜上所述，.
故選：B
二、選擇題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知二項式的展開式中各項的系數(shù)的和為128，則下列結論中正確的有（ ）
A. 展開式共有7項B. 所有二項式系數(shù)的和為128
C. 只有第4項的二項式系數(shù)最大D. 展開式的常數(shù)項為
【答案】BD
【解析】
【分析】首先根據(jù)系數(shù)和公式求，再根據(jù)二項式定理和二項式系數(shù)的性質，判斷選項.
【詳解】由題意可知，當時，，所以，
二項式的展開式共有8項，所有的二項式系數(shù)的和為，
其中最大的二項式系數(shù)為和，為第4項和第5項，展開式的常數(shù)項為，
其中只有BD正確.
故選：BD
10. 聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成，稱為復合音．若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則下列結論中正確的是（ ）
A. 是奇函數(shù)B. 在區(qū)間內有最大值
C. 的周期是D. 在區(qū)間內有一個零點
【答案】AB
【解析】
【分析】A.利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；B.利用導數(shù)法求解判斷；C.利用周期函數(shù)的定義判斷；D.利用零點的定義求解判斷.
【詳解】解：因為函數(shù)的定義域為R，關于原點對稱，
且，所以是奇函數(shù)，故A正確；
求導，
當時，，，則，
所以上單調遞增，
當時，，，則，
所以在上單調遞減，
則，故B正確；
，故C錯誤；
，
令得，或，因，則，故D錯誤，
故選：AB
11. 已知曲線：的焦點為，，點為曲線上一動點，則下列敘述正確的是（ ）
A. 若，則的內切圓半徑的最大值為
B. 若，則曲線的焦點坐標分別是，
C. 若曲線的離心率為，則或
D. 若曲線是雙曲線，且一條漸近線的傾斜角為，則
【答案】AC
【解析】
【分析】當時，求出面積的最大值，利用分割法建立內切圓半徑的關系式，結合橢圓的定義可求得內切圓半徑的最大值，可判斷A選項；當時，求出曲線的焦點坐標，可判斷B選項；根據(jù)雙曲線的離心率求出實數(shù)的值，可判斷C選項；根據(jù)雙曲線的漸近線方程求出實數(shù)的值，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，若，則曲線的方程為，則，，，
則的面積，
設的內切圓半徑為，
則，
所以，，故A正確；
對于B選項，若，則曲線的方程為，
則，，，
故橢圓的焦點的坐標為和，故B錯誤；
對于C選項，若曲線的離心率，則曲線為雙曲線，且，
若雙曲線的焦點在軸上，則，可得，
可化為，
此時，，
則，，解得；
若雙曲線的焦點在軸上，則，可得，
可化為，
此時，，則，，解得.
綜上所述，若曲線的離心率為，則或，故C正確；
對于D選項，若曲線是雙曲線，且一條漸近線傾斜角為，
則漸近線方程為，即，
故可設雙曲線的方程為，
所以，，解得，故D錯誤.
故選：AC.
12. 關于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A. 若空間向量，，則在上的投影向量為
B. 若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面
C. 若空間向量，滿足，則與夾角為銳角
D. 若直線l的方向向量為，平面的一個法向量為，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】A投影向量定義求在上的投影向量；B由空間向量共面的推論判斷；C由，同向共線即可判斷；D由即可判斷.
【詳解】A：在上的投影向量為，對；
B：在中，故P，A，B，C四點共面，對；
C：當，同向共線時也成立，但與夾角不為銳角，錯；
D：由，即，故，對.
故選：ABD
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，點在角的終邊上，則______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用三角函數(shù)的定義得到，再利用二倍角的正弦公式求解.
【詳解】解：因為角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，點在角的終邊上，
所以，
所以，
故答案為：
14. 已知隨機變量，其中，則___________.
【答案】0.2
【解析】
【分析】由服從的分布類型可直接求出，，從而求出，再根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
又因為，所以，
因為，所以，且，
又因為，所以，所以.
故答案為：0.2.
15. 若函數(shù)在存在單調遞減區(qū)間，則a的取值范圍為________．
【答案】
【解析】
【分析】將題意轉化為：在有解，利用參變量分離得到，轉化為，結合導數(shù)求解即可．
【詳解】，等價于在有解，即在有解，
即在有解，所以，
令，
則，即在上是增函數(shù)，
∴，所以.
故答案為：.
16. 如圖，、兩點分別在、軸上滑動，，為垂足，點軌跡形成“四葉草”的圖形，若，則的面積最大值為______．

【答案】##
【解析】
【分析】設，則為銳角，可得出，，由此可得出，令，其中，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值，即為所求.
【詳解】設，則為銳角，所以，，
因為，則，
，所以，，
令，其中，
則，
因為，則，則，
由，可得，可得，
由，可得，可得，
所以，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
故當時，.
所以，面積的最大值為.
故答案為：.
四、解答題：共6個小題，滿分70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 設為數(shù)列的前項和．已知．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）當時，求出的值，當時，由可得出，兩式作差可得出，結合等比數(shù)列的定義可證得結論成立；
（2）由（1）中的結論可求出數(shù)列的通項公式，可求得的表達式，再利用裂項相消法可求得.
【小問1詳解】
證明：已知①，
當時，②，
①②得：，即，
所以，，
當時，則，則，
所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．
【小問2詳解】
解：由（1）可知，，則，
所以，，
所以，，
.
18. 在銳角中，角、、所對的邊分別為、、．
①；②；③．
在以上三個條件中選擇一個，并作答．
（1）求角；
（2）已知的面積為，是邊上的中線，求的最小值．
【答案】（1）條件選擇見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）選①，利用余弦定理化簡可得出的值，結合角的取值范圍可得出角的值；選②，利用正弦定理結合三角恒等變換可得出的值，結合角的取值范圍可得出角的值；選③，利用已知等式結合兩角和的正切公式、誘導公式可得出的值，結合的取值范圍可得出角的值；
（2）利用三角形的面積公式可得出的值，利用平面向量的線性運算可得出，利用平面向量的數(shù)量積結合基本不等式可求得長的最小值.
【小問1詳解】
解：若選①，因為，即，
則，即，所以，，
因為，故；
若選②，原式等價于，即，
即，
因為、，則，所以，，則，故；
若選③，原式等價于，
即
所以，，即，即，
因為，故.
【小問2詳解】
解：因為，所以，，
因為為的中點，
則，
所以，，
則
，則，
當且僅當時，即當時，等號成立.
因此，長的最小值為.
19. 某校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3:3:4，三個年級的學生都報名參加公益志愿活動，經(jīng)過選拔，高一年級有的學生成為公益活動志愿者，高二、高三年級各有的學生成為公益活動志愿者．
（1）設事件“在三個年級中隨機抽取的1名學生是志愿者”；事件“在三個年級中隨機抽取1名學生，該生來自高年級”（）．請完成下表中不同事件的概率并寫出演算步驟：
（2）若在三個年級中隨機抽取1名學生是志愿者，根據(jù)以上表中所得數(shù)據(jù)，求該學生來自于高一年級的概率．
【答案】（1）表格見解析，演算步驟見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三個年級的人數(shù)比值，以及每層抽取的比例，即可填寫表格，再根據(jù)全概率公式，即可求解
（2）根據(jù)條件概率公式，即可求解
【小問1詳解】
根據(jù)三個年級的人數(shù)比值為，則，
，，
由每個年級的抽取比例可知，，，
由全概率公式，得
，
【小問2詳解】該學生來自于高一年級的概率.
20. 已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面，，，是棱上一點.
（1）證明：平面；
（2）當平面時，求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）先證平面ADE平面BCF，再證明平面即可；
（2）設出的坐標，求出平面的法向量，由平面的向量關系求出點坐標，再用向量法求線面角即可.
【小問1詳解】
因為底面為矩形，所以；
平面，平面，所以平面，
又四邊形平行四邊形，所以，又平面，平面，
所以平面，因為，且平面ADE，平面ADE，
所以平面ADE平面BCF，因為平面ADE，所以平面；
【小問2詳解】
如圖，連接AF，EG，取的中點，的中點，
因為是等邊三角形，所以，又平面平面，
平面FBC，平面平面，
所以平面ABCD，又底面為矩形，所以，
以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，
由題意得，，
則，設，則，
可知，
由底面是平行四邊形，得，
設平面的法向量為，
則，取，得，
則平面的法向量為，
由題意平面AEF，則，解得，
所以，即是中點，
因為，所以，所以，
設平面的法向量為，則，
取，得，所以平面的法向量為，
，設直線與平面所成的角為，
則
所以BG與平面DEG所成角的正弦值為.
21. 在直角坐標平面內，已知，，動點滿足條件：直線與直線斜率之積等于，記動點的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）過直線：上任意一點作直線與，分別交于，兩點，則直線是否過定點？若是，求出該點坐標；若不是，說明理由．
【答案】（1）（）；
（2）是，定點為.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用斜率坐標公式列式化簡作答.
（2）設出點的坐標，由已知探求出點的坐標關系，再按直線斜率存在與否分類討論求解作答.
【小問1詳解】
設動點，則直線、的斜率分別為，
于是，整理得，顯然點不在軌跡上，
所以的方程為（）.
【小問2詳解】
設直線上的點，顯然，

依題意，直線的斜率滿足，
且，直線斜率，則，有，
設，，則（且），
當直線不垂直于x軸時，設直線的方程為，
消去y得，
則，，
又，即，
則，整理得，
解得或，此時方程中的，
當時，直線：恒過點，
當時，直線：，由于舍去，
當直線時，則有，即有，而，解得，
直線：過點，
所以直線恒過點．
22. 牛頓迭代法是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)域和復數(shù)域上近似求解方程的方法．比如，我們可以先猜想某個方程的其中一個根在的附近，如圖所示，然后在點處作的切線，切線與軸交點的橫坐標就是，用代替重復上面的過程得到；一直繼續(xù)下去，得到，，，……，．從圖形上我們可以看到較接近，較接近，等等．顯然，它們會越來越逼近．于是，求近似解的過程轉化為求，若設精度為，則把首次滿足的稱為的近似解．

已知函數(shù)，．
（1）當時，試用牛頓迭代法求方程滿足精度的近似解（取，且結果保留小數(shù)點后第二位）；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求處的切線方程，求得，再求處的切線方程，再依次求取，直到，求，即可求解；（2）首先化簡不等式，，再構造函數(shù)，并求函數(shù)的導數(shù)，討論和兩種情況下函數(shù)的單調性，轉化為求函數(shù)的最值，并結合最值的單調性，即可求解.
小問1詳解】
當時，，則，
曲線在處的切線為，且
曲線在處的切線為，且
故，用牛頓迭代法求方程滿足精度的近似解為．
【小問2詳解】
由，得，
設，
則
∴當時，，單調遞增，由于時，，不合題意；
當時，則有，，單調遞減，，，單調遞增，
即，即
易知單調遞增，且，故.
【點睛】關鍵點點睛：本題第一問的關鍵是理解題意，重點是利用導數(shù)的幾何意義求切線方程；第二問的關鍵是轉化不等式，從而分析函數(shù)的性質，即可利用導數(shù)分析函數(shù)的性質.
事件概率
概率值
事件概率
概率值

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