數(shù)學(xué)（理科）
本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C.2 D.
2.某公司收集了某商品銷售收入（萬(wàn)元）與相應(yīng)的廣告支出（萬(wàn)元）共10組數(shù)據(jù)，繪制出如下散點(diǎn)圖，并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合.
若將圖中10個(gè)點(diǎn)中去掉點(diǎn)后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.決定系數(shù)變小
B.殘差平方和變小
C.相關(guān)系數(shù)的值變小
D.解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變?nèi)?br>3.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A.80 B.40 C.10 D.-40
4.已知數(shù)列滿足，則（ ）
A.-3 B. C. D.2
5.已知分別為的邊的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
6.已知平面區(qū)域，若圓心，且圓與軸相切，則的最大值為（ ）
A.10 B.4 C.2 D.0
7.某校甲?乙?丙?丁4個(gè)小組到這3個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地參加實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組選擇一個(gè)基地，則每個(gè)基地至少有1個(gè)小組的概率為（ ）
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
A.的最小值為-1
B.在區(qū)間上單調(diào)遞增
C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D.的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到
9.如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)是的中位線，與交于點(diǎn)，已知是繞旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形，且平面.給出下列結(jié)論：
①平面；
②平面平面；
③二面角的平面角是直線與平面所成角的2倍.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_________.
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
10.已知函數(shù)，給出下列4個(gè)圖象：（ ）
其中，可以作為函數(shù)的大致圖象的個(gè)數(shù)為（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與圓相切，與在第一象限交于點(diǎn)，且軸，則的離心率為（ ）
A.3 B. C.2 D.
12.已知均為正數(shù)，且，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知集合，則__________.
14.已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________.
15.已知等差數(shù)列的公差為，集合有且僅有兩個(gè)元素，則這兩個(gè)元素的積為_(kāi)_________.
16.一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面積為_(kāi)_________.
三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17.（12分）
某校在課外活動(dòng)期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動(dòng)和體育鍛煉類活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)這兩類活動(dòng)的參與情況，統(tǒng)計(jì)了如下數(shù)據(jù)：
（1）通過(guò)計(jì)算判斷，有沒(méi)有的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)系？
（2）“投壺”是中國(guó)古代宴飲時(shí)做的一種投擲游戲，也是一種禮儀.該校文化藝術(shù)類課外活動(dòng)中，設(shè)置了一項(xiàng)“投壺”活動(dòng).已知甲?乙兩人參加投並活動(dòng)，投中1只得1分，未投中不得分，據(jù)以往數(shù)據(jù)，甲每只投中的概率為，乙每只投中的概率為，若甲?乙兩人各投2只，記兩人所得分?jǐn)?shù)之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附表及公式：
其中.
18.（12分）
如圖，在三棱錐中，為邊上的一點(diǎn)，.
（1）證明：平面平面；
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，且二面角為銳二面角，求二面角的正弦值.
19.（12分）
已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
（1）求角；
（2）若是的角平分線，的面積為，求的值.
20.（12分）
在直角坐標(biāo)系中，設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為上位于第一象限內(nèi)一點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的面積為1.
（1）求的方程；
（2）當(dāng)時(shí)，如果直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線的斜率滿足，試探究點(diǎn)到直線的距離的最大值.
21.（12分）
已知函數(shù).
（1）若在區(qū)間存在極值，求的取值范圍；
（2）若，求的取值范圍.
（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.[選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.
（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在上，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為，試判斷曲線與曲線是否有公共點(diǎn).若有公共點(diǎn)，求出其直角坐標(biāo)；若沒(méi)有公共點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
23.[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知均為正數(shù)，且.
（1）是否存在，使得，說(shuō)明理由；
（2）證明：.
理科數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.
1.D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.A 10.D 11.D 12.A
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.
17.【解析】（1），
因此，有的把握認(rèn)為該校學(xué)生選擇課外活動(dòng)類別與性別有關(guān)系.
（2）依題意，的可能值為，則
則；
；
.
所以的分布列為
所以，.
18.【解析】（1）證明：因?yàn)樵谥?，?br>所以.
又因?yàn)?，所?
則.
在中，由余弦定理可得，
所以.
于是.
又，所以平面.
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面.
（2）因?yàn)槎娼菫殇J二面角，
平面平面，平面平面，
過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則點(diǎn)必在線段上.
連接，可知為與平面所成的角.
在Rt中，，得.
在Rt中，，得.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則.
設(shè)平面的法向量為，則
令，則得.
同理，平面即平面的一個(gè)法向量為
.
設(shè)二面角的平面角為，
所以，即.
故二面角的正弦值為.
19.【解析】（1）由，根據(jù)正弦定理可得
，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)槲挥诜帜?，所以?br>所以，
由，
所以.
（2）由，
所以，
又，
因?yàn)闉榻瞧椒志€，所以，又，
所以有，
所以，
由余弦定理得
，
所以.
20.【解析】（1）由題意得.
由，得.
從而的面積，則.
所以，拋物線的方程為.
（2）設(shè)，則.
由，得，即.
所以，此時(shí).
由題意可知，斜率必不等于0，于是可設(shè).
由可得.
上述方程的判別式滿足，即.
設(shè).
根據(jù)韋達(dá)定理有：.
因?yàn)椋?br>所以，
于是.
所以，，即.
故直線的方程為，即，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn).
過(guò)點(diǎn)作，且，則.
其中，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以，點(diǎn)到直線的距離的最大值為.
21.【解析】（1）由，得，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，不存在極值.
當(dāng)時(shí)，令，則，
若，則單調(diào)遞減；若，則單調(diào)遞增.
所以是的極小值點(diǎn).
因?yàn)樵趨^(qū)間存在極值，則，即.
所以，在區(qū)間存在極值時(shí)，的取值范圍是.
（2）由在時(shí)恒成立，
即在時(shí)恒成立.
設(shè)，則在時(shí)恒成立，
則
令，則.
令，則，
則時(shí)，，則時(shí)，，則
所以時(shí)，，則即單調(diào)遞增，
所以，則即單調(diào)遞增，
所以.
①當(dāng)時(shí)，，故，則單調(diào)遞增.
所以，
所以在時(shí)恒成立.
②當(dāng)時(shí)，，
，
故在區(qū)間上函數(shù)存在零點(diǎn)，即，
由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，不合題意.
綜上所述，的取值范圍為.
選考題
22.【解析】（1）由知，
則曲線的普通方程為.
因?yàn)橹本€的方程為，即.
由可得.
所以直線的直角坐標(biāo)方程為.
（2）由（1）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
因?yàn)?，所以是線段的中點(diǎn).
由題意，可設(shè)，
則
即
代入曲線的方程，可得
，即.
解之可得，.
此時(shí)，.
由此可知，兩曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，其直角坐標(biāo)為.
23.【解析】（1）不存在，使得.理由如下：
因?yàn)槎际钦龜?shù)，且，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
即的最小值為，
所以，不存在，使得.
（2）【證明】
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以.文化藝術(shù)類
體育鍛煉類
合計(jì)
男
100
300
400
女
50
100
150
合計(jì)
150
400
550
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
0
1
2
3
4
或填
或填
或填

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