1．若復數(shù)[1+（1+a）i]i在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＞﹣1B．a(chǎn)＜﹣1C．a(chǎn)＞1D．a(chǎn)＜1
2．設集合，則A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2，3}
C．{﹣1，0，1}D．（﹣1，2]
3．小李一周的總開支分布如圖（1）所示，其中一周的食品開支如圖（2）所示，則以下判斷錯誤的是（ ）
A．小李這一周用于肉蛋奶的支出高于用于娛樂的支出
B．小李這一周用于食品中其他類的支出在總支出中是最少的
C．小李這一周用于主食的支出比用于通信的支出高
D．小李這一周用于主食和蔬菜的總支出比日常支出高
4．已知點P（3m，4m）（m≠0）為角α終邊上一點，則sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
5．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a4+a5+a6＝6，a7+a8+a9＝11，則a10+a11+a12＝（ ）
A．16B．19C．25D．29
6．已知雙曲線的右焦點為F，O為坐標原點，過F作圓x2+y2＝a2的切線交y軸于點A，切點為B，若，則雙曲線的漸近線為（ ）
A．B．C．y＝±xD．
7．已知函數(shù)，則（ ）
A．a(chǎn)＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a(chǎn)＜c＜b
8．已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底），x∈[0，+∞），記xn為f（x）從小到大的第n個極值點，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＝f（xn），則S2024＝（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
（多選）9．下列說法正確的有（ ）
A．數(shù)據(jù)29，30，39，25，37，41，42，32的第75百分位數(shù)是40
B．若ξ～N（25，4），則
C．4名學生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數(shù)為種
D．（1﹣x）8展開式中x3項的二項式系數(shù)為56
（多選）10．梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝BC＝2，△DAC沿著AC翻折，使點D到點P處，得到三棱錐P﹣ABC，則下列說法正確的是（ ）
A．存在某個位置的點P，使AC⊥平面PAB
B．若AC的中點為E，則異面直線PE與AB所成角的大小和平面PAC與平面ABC所成角的大小相等
C．若平面PAC⊥平面ABC，則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積是20π
D．若BC的中點為F，則必存在某個位置的點P，使FC＝FP
（多選）11．圍棋是古代中國人發(fā)明的最復雜的智力博弈游戲之一．東漢的許慎在《說文解字）中說：“弈，圍棋也”，因此，“對弈“在當時特指下圍棋，現(xiàn)甲與乙對弈三盤，每盤贏棋的概率是p1，其中甲只贏一盤的概率低于甲只贏兩盤的概率．甲也與丙對弈三盤，每盤贏棋的概率是p2，而甲只贏一盤的概率高于甲只贏兩盤的概率．若各盤棋的輸贏相互獨立，甲與乙、丙的三盤對弈均為只贏兩盤的概率分別是P（A）和P（B），則以下結論正確的是（ ）
A．
B．當p1+p2＝1時，P（A）＞P（B）
C．?p1∈（0，1），使得對?p2∈（0，1），都有P（A）＞P（B）
D．當P（A）＝P（B）時，
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知單位向量滿足，則m的范圍是 ．
13．已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，側棱與底面所成的角為，則該四棱臺的體積為 ．
14．若曲線C：mx2+ny2＝1（mn≠0，且m≠n）經(jīng)過這三點中的兩點，則曲線C的離心率可能為 （寫出一個即可）．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．已知F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點，P為橢圓E上任意一點，|PF1|+|PF2|＝8，|PF1|的最大值為6．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）過點F2的直線l交橢圓于A，B兩點，若，求直線l的方程．
16．如圖，角α（α∈R）的始邊為x軸非負半軸，終邊與單位圓交于點P，過點P作y軸的垂線，垂足為M，M到直線OP的距離為|MN|．若將|MN|關于角α的函數(shù)關系記為y＝f（x）．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）將f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）在的單調(diào)遞增區(qū)間．
17．如圖，空間六面體ABCDEFGH中，AD∥BC，EH∥FG，∠BCD＝∠FGH＝90°，平面ABCD∥平面EFGH，四邊形CDHG為正方形，平面HDCG⊥平面ABCD，AD＝FG＝2EH，BC＝3EH．
（1）求證：AE∥BF；
（2）若EF＝2EH，求平面ABF與平面ABCD所成角的余弦值．
18．（17分）下表是2017年至2021年連續(xù)5年全國研究生在學人數(shù)的統(tǒng)計表：
（1）現(xiàn)用模型作為回歸方程對變量x與y的關系進行擬合，發(fā)現(xiàn)該模型的擬合度很高．請計算該模型所表示的回歸方程（與精確到0.01）；
（2）已知2021年全國碩士研究生在學人數(shù)約為267.2萬人，某地區(qū)在學碩士研究生人數(shù)占該地在學研究生的頻率值與全國的數(shù)據(jù)近似．當年該地區(qū)要在本地區(qū)在學研究生中進行一項網(wǎng)絡問卷調(diào)查，每位在學研究生均可進行問卷填寫．某天某時段內(nèi)有4名在學研究生填寫了問卷，X表示填寫問卷的這4人中碩士研究生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．
參考公式及數(shù)據(jù)：對于回歸方程，．
19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝xlnx（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值點及極值；
（2）若0＜x1＜x2＜1，且f（x1）＝f（x2），求證：為自然對數(shù)的底）．
參考答案
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若復數(shù)[1+（1+a）i]i在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＞﹣1B．a(chǎn)＜﹣1C．a(chǎn)＞1D．a(chǎn)＜1
【分析】化簡復數(shù)，根據(jù)復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限列出不等式組，解出即可．
解：因為[1+（1+a）i]i＝﹣（1+a）+i，
對應的點為（﹣1﹣a，1），在第二象限，
故，解得a＞﹣1．
故選：A．
【點評】本題主要考查復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．
2．設集合，則A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2，3}
C．{﹣1，0，1}D．（﹣1，2]
【分析】求出集合A，根據(jù)交集的定義求解即可．
解：因為，所以A＝{x|x∈R}，
因為B＝{﹣1，0，1，2，3}，
所以A∩B＝{﹣1，0，1，2，3}．
故選：B．
【點評】本題考查交集定義、函數(shù)性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
3．小李一周的總開支分布如圖（1）所示，其中一周的食品開支如圖（2）所示，則以下判斷錯誤的是（ ）
A．小李這一周用于肉蛋奶的支出高于用于娛樂的支出
B．小李這一周用于食品中其他類的支出在總支出中是最少的
C．小李這一周用于主食的支出比用于通信的支出高
D．小李這一周用于主食和蔬菜的總支出比日常支出高
【分析】條形圖各支出占食品支出的比例乘以30%即是條形圖各支出占總支出的比例，由此關系即可逐一判斷每一個選項．
解：對于A，肉蛋奶的支出占食品開支的，
從而小李這一周用于肉蛋奶的支出占比（總開支是單位1）與用于娛樂的支出占比（總開支是單位1）大小關系為40%×30%＝12%＞10%，故A描述正確，不符合題意；
對于B，小李這一周用于食品中其他類的支出在總支出中占比為，
對比其他類型的支出占比可知，B描述正確，不符合題意；
對于C，小李這一周用于主食的支出占比（總開支是單位1）與通信的支出占比（總開支是單位1）的大小關系為，
，故C描述正確，不符合題意；
對于D，小李這一周用于主食和蔬菜的總支出占比（總開支是單位1）與日常支出占比（總開支是單位1）的大小關系為，
，故D描述錯誤，符合題意．
故選：D．
【點評】本題主要考查了統(tǒng)計圖的應用，考查了學生的計算能力，屬于基礎題．
4．已知點P（3m，4m）（m≠0）為角α終邊上一點，則sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tanα，再由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關系將弦化切，最后代入計算可得．
解：因為點P（3m，4m）（m≠0）為角α終邊上一點，所以，
所以．
故選：C．
【點評】本題考查了三角函數(shù)的定義與二倍角公式應用問題，是基礎題．
5．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a4+a5+a6＝6，a7+a8+a9＝11，則a10+a11+a12＝（ ）
A．16B．19C．25D．29
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，進行計算即可．
解：因為a4+a5+a6＝6，a7+a8+a9＝11，
所以a7+a8+a9﹣（a4+a5+a6）＝9d＝5，
所以a10+a11+a12＝a7+a8+a9+9d＝11+5＝16．
故選：A．
【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查計算能力，屬于基礎題．
6．已知雙曲線的右焦點為F，O為坐標原點，過F作圓x2+y2＝a2的切線交y軸于點A，切點為B，若，則雙曲線的漸近線為（ ）
A．B．C．y＝±xD．
【分析】在Rt△OBF，可求得|BF|的值，繼而求得|AB|，|AO|的值，在Rt△AOF利用勾股定理建立等式關系，即可求解．
解：如圖所示，
根據(jù)題意可知|OF|＝c，|OB|＝a，OB⊥AF，
所以Rt△OBF中，，
又因為，
所以，，
在Rt△OBA中，，
在Rt△AOF中，|AF|2＝|AO|2+|OF|2，
即，
化為，
即b2＝3a2，
則雙曲線的漸近線方程為．
故選：A．
【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點考查了雙曲線漸近線方程的求法，屬中檔題．
7．已知函數(shù)，則（ ）
A．a(chǎn)＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a(chǎn)＜c＜b
【分析】用定義證明函數(shù)f（x）的奇偶性及在（0，1）上的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）的奇偶性及單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)y＝lnx的性質(zhì)及對數(shù)運算可得結果．
解：因為函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}，
又f（﹣x）＝|ln|﹣x||＝|ln|x||＝f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，
當0＜x＜1時，任取x1＞x2，
f（x1）﹣f（x2）＝|ln|x1||﹣|ln|x2||＝|lnx1|﹣|lnx2|＝lnx2﹣lnx1＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
因為，
所以，即a＜c，
設0＜x3＜1，1＜x4，則f（x4）＝|ln|x4||＝|lnx4|＝lnx4，
f（x3）＝|ln|x3||＝|lnx3|＝﹣lnx3，若f（x3）＝f（x4），則﹣lnx3＝lnx4，所以x3x4＝1，
因為，所以，
又，即，
所以，即b＜a．
故選：B．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性在函數(shù)值大小比較中的應用，屬于中檔題．
8．已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底），x∈[0，+∞），記xn為f（x）從小到大的第n個極值點，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＝f（xn），則S2024＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由題意求導并令f′（x）＝0，結合題意可求得，對n是奇數(shù)還是偶數(shù)進行分類討論，再結合等比數(shù)列求和公式、分組求和法即可得解．
解：由題意，
令f′（x）＝0，則，即，所以，
又x∈[0，+∞），
所以xn是以為首項，π為公差的等差數(shù)列，即，
當n＝2k﹣1，k∈N*時，，
當n＝2k，k∈N*時，，
從而S2024＝（a1+a3+?+a2023）+（a2+a4+?+a2024）＝（b1+?+b1012）+（c1+?+c1012）
＝．
故選：C．
【點評】本題主要考查導數(shù)知識的應用，考查分類討論思想，考查計算能力，屬于中檔題．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
（多選）9．下列說法正確的有（ ）
A．數(shù)據(jù)29，30，39，25，37，41，42，32的第75百分位數(shù)是40
B．若ξ～N（25，4），則
C．4名學生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數(shù)為種
D．（1﹣x）8展開式中x3項的二項式系數(shù)為56
【分析】由百分位數(shù)的定義計算結果判斷選項A；由正態(tài)分布的對稱性判斷選項B；由分步計數(shù)原理判斷選項C；由二項式定理求指定項的二項式系數(shù)判斷選項D．
解：數(shù)據(jù)29，30，39，25，37，41，42，32，共8個數(shù)據(jù)，
從小到大排列為25，29，30，32，37，39，41，42，8×75%＝6，
所以第75百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)與第7個數(shù)據(jù)的平均值，即，A選項正確；
若ξ～N（25，4），則正態(tài)密度曲線的對稱軸為ξ＝25，
所以，B選項正確；
4名學生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數(shù)為34種，C選項錯誤；
由二項式定理可知，（1﹣x）8展開式中x3項的二項式系數(shù)為，D選項正確．
故選：ABD．
【點評】本題主要考查二項式定理，以及概率與統(tǒng)計的知識，屬于基礎題．
（多選）10．梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝BC＝2，△DAC沿著AC翻折，使點D到點P處，得到三棱錐P﹣ABC，則下列說法正確的是（ ）
A．存在某個位置的點P，使AC⊥平面PAB
B．若AC的中點為E，則異面直線PE與AB所成角的大小和平面PAC與平面ABC所成角的大小相等
C．若平面PAC⊥平面ABC，則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積是20π
D．若BC的中點為F，則必存在某個位置的點P，使FC＝FP
【分析】由線面垂直的性質(zhì)判斷選項A；由面面角的定義判斷選項B；幾何法求三棱錐外接球半徑，計算表面積判斷選項C；由翻折軌跡判斷選項D．
解：梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，則梯形ABCD為等腰梯形，
過A作BC的垂線，垂足為H，F(xiàn)為BC中點，
則有BH＝1，HC＝3，由勾股定理得，AF＝FC＝2，
∠BAH＝30°，∠CAH＝60°，則AB⊥AC，
對于A，假設存在某個位置的點P，使AC⊥平面PAB，由PA?平面PAB，則AC⊥PA，
即梯形中，AC⊥AD，顯然不成立，故A錯誤；
對于C，若平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
PE?平面PAC，PE⊥AC，則PE⊥平面ABC，
△PAC中，PA＝PC＝2，∠APC＝120°，則PE＝1，
△ABC外接圓的圓心為BC的中點F，半徑為FC＝2，
設三棱錐P﹣ABC外接球球心為O，半徑為R，OF＝a，
過球心O作EF的平行線，與PE的延長線交于點Q，
，由OB2＝BF2+OF2，OP2＝OQ2+PQ2，
則有R2＝22+a2＝12+（1+a）2，解得a＝1，則有R2＝5，
所以三棱錐P﹣ABC外接球的表面積是20π，故C正確；
對于B，平面PAC∩平面ABC＝AC，AC的中點為E，
PE?平面PAC，AB?平面ABC，
PA＝PC，則PE⊥AC，又AB⊥AC，
所以異面直線PE與AB所成角的大小和平面PAC與平面ABC所成角的大小相等，故B正確；
對于D，梯形ABCD中，四邊形AFCD為菱形，∠DCF＝60°，則FC＝FD＝2，
翻折過程中，P點軌跡是FD的中點為圓心FD為直徑的半圓?。ú话―點和F點），則FP＜FD＝FC，
所以不存在點P，使FC＝FP，故D錯誤．
故選：BC．
【點評】本題考查線面垂直、二面角定義、用幾何法求三棱錐外接球半徑以及翻折軌跡相關知識，屬于中檔題．
（多選）11．圍棋是古代中國人發(fā)明的最復雜的智力博弈游戲之一．東漢的許慎在《說文解字）中說：“弈，圍棋也”，因此，“對弈“在當時特指下圍棋，現(xiàn)甲與乙對弈三盤，每盤贏棋的概率是p1，其中甲只贏一盤的概率低于甲只贏兩盤的概率．甲也與丙對弈三盤，每盤贏棋的概率是p2，而甲只贏一盤的概率高于甲只贏兩盤的概率．若各盤棋的輸贏相互獨立，甲與乙、丙的三盤對弈均為只贏兩盤的概率分別是P（A）和P（B），則以下結論正確的是（ ）
A．
B．當p1+p2＝1時，P（A）＞P（B）
C．?p1∈（0，1），使得對?p2∈（0，1），都有P（A）＞P（B）
D．當P（A）＝P（B）時，
【分析】對于A，根據(jù)題意計算概率建立不等式，解出即可；對于B，計算出P（A）和P（B），根據(jù)條件即可判斷；對于C，結合題意和選項B中結論，即可判斷；對于D，根據(jù)條件，建立方程，化簡后結合p1，p2的范圍即可判斷．
解：對于A，根據(jù)題意，甲與乙對弈只贏一盤的概率為，只贏兩盤的概率為，
則，解得，故，
甲與丙對弈只贏一盤的概率為，只贏兩盤的概率為，
則，解得，故，
故，則A正確；
對于B，由p1+p2＝1得p1＝1﹣p2，
則，即，
又，所以，所以P（A）＞P（B），故B正確；
對于C，?p1∈（0，1），使得對?p2∈（0，1），結合B分析，只滿足p1+p2＝1，都有P（A）＞P（B），故C正確；
對于D，令P（A）＝P（B），則，化簡為，
故，即，
又因為，則，即，故D錯誤．
故選：ABC．
【點評】本題考查相互獨立事件概率乘法公式、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知單位向量滿足，則m的范圍是 [1，7] ．
【分析】根據(jù)條件，利用向量數(shù)量積的定義及運算得到m2＝25﹣24csθ，再利用csθ∈[﹣1，1]，即可求出結果．
解：設的夾角為θ（θ∈[0，π]），
因為，
又因為為單位向量，所以m2＝9+16﹣24csθ＝25﹣24csθ，
又因為csθ∈[﹣1，1]，且m＞0，
所以1≤m2≤49，所以1≤m≤7．
故答案為：[1，7]．
【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，涉及三角函數(shù)的有界性，屬于基礎題．
13．已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，側棱與底面所成的角為，則該四棱臺的體積為 ．
【分析】根據(jù)題意，求出正四棱臺的高，即可計算四棱臺的體積．
解：正四棱臺的上、下底面邊長分別為A1B1＝2和AB＝4，
側棱與底面所成的角為∠A1AO＝，
所以tan∠A1AO＝，即＝，解得OO1＝，
所以該四棱臺的體積為V＝××（22+42+）＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了正四棱臺的結構特征與體積計算問題，是基礎題．
14．若曲線C：mx2+ny2＝1（mn≠0，且m≠n）經(jīng)過這三點中的兩點，則曲線C的離心率可能為 （或填或） （寫出一個即可）．
【分析】分三種情況，代入兩點并結合離心率公式計算即可．
解：當經(jīng)過點時，得，解得，
此時曲線方程，
此時離心率為；
當經(jīng)過點時，得，解得，
此時曲線方程，
此時離心率為；
當經(jīng)過點時，得，解得，
此時曲線方程，
此時離心率為．
故答案為：（或填或）．
【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．已知F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點，P為橢圓E上任意一點，|PF1|+|PF2|＝8，|PF1|的最大值為6．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）過點F2的直線l交橢圓于A，B兩點，若，求直線l的方程．
【分析】（1）由題意可得a，b的值，即求出橢圓E的標準方程；
（2）直線AB的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用A，B的坐標表示，結合韋達定理化簡，由題意可得參數(shù)的值，即可求直線方程．
解：（1）由題意，2a＝8，a+c＝6，解得，
所以橢圓E的標準方程是：；
（2）由（1）可知F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），
當直線AB的斜率為0時，則直線AB的方程為y＝0，
可得A（﹣4，0），B（4，0），
則，不符合題意；
當直線AB的斜率不為0時，設直線AB的方程為x＝my+2，設A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立，整理可得：（3m2+4）y2+12my﹣36＝0，
此時Δ＝144m2+144（3m2+4）＞0，
且，
由，得（x1+2）（x2+2）+y1y2＝﹣2，
即（my1+4）（my2+4）+y1y2＝﹣2，
整理得到：（m2+1）y1y2+4m（y1+y2）+18＝0，
即，
解得，
所以或．
故直線l的方程為．
【點評】本題考查橢圓方程的求法及直線與橢圓的綜合應用，數(shù)量積的運算性質(zhì)的應用，屬于中檔題．
16．如圖，角α（α∈R）的始邊為x軸非負半軸，終邊與單位圓交于點P，過點P作y軸的垂線，垂足為M，M到直線OP的距離為|MN|．若將|MN|關于角α的函數(shù)關系記為y＝f（x）．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）將f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）在的單調(diào)遞增區(qū)間．
【分析】（1）根據(jù)條件得到直線OP的方程，利用點到直線的距離公式進行計算即可；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)則得到函數(shù)解析式后，整體代入法求解單調(diào)區(qū)間即可．
解：（1）由已知可知P（csα，sinα），M（0，sinα），
又直線OP的方程為sinα?x﹣csα?y＝0，
根據(jù)點到直線距離公式可得，
即；
（2）由題意可知，
由，
得，
所以當時，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為和．
【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，涉及到點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．
17．如圖，空間六面體ABCDEFGH中，AD∥BC，EH∥FG，∠BCD＝∠FGH＝90°，平面ABCD∥平面EFGH，四邊形CDHG為正方形，平面HDCG⊥平面ABCD，AD＝FG＝2EH，BC＝3EH．
（1）求證：AE∥BF；
（2）若EF＝2EH，求平面ABF與平面ABCD所成角的余弦值．
【分析】（1）根據(jù)條件可得平面ADHE∥平面BCGF，利于面面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)面面角的向量表達形式進行計算即可．
解：（1）∵AD∥BC，AD?平面BCGF，BC?平面BCGF，
∴AD∥平面BCGF．
∵四邊形CDHG為正方形，∴HD∥CG，
同理可得HD∥平面BCGF，
∵AD∩HD＝D，AD?平面ADHE，HD?平面ADHE，
∴平面ADHE∥平面BCGF．
∵平面ADHE∩平面ABFE＝AE，
平面BCGF∩平面ABFE＝BF，
∴AE∥BF．
（2）∵CDHG為正方形，平面HDCG⊥平面ABCD，∴CG⊥平面ABCD，
以C為坐標原點，CD為x軸，CB為y軸，CG為z軸，建立空間直角坐標系C﹣xyz，如圖，
設EH＝a，根據(jù)條件可知，
則，，
∴平面ABCD的一個法向量為，
設平面ABF的一個法向量為，
則取x0＝1，得，
∴cs＜，＞＝＝，
∴平面ABF與平面ABCD所成角的余弦值為．
【點評】本題考查線面平行的判定與性質(zhì)、二面角的余弦值等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
18．（17分）下表是2017年至2021年連續(xù)5年全國研究生在學人數(shù)的統(tǒng)計表：
（1）現(xiàn)用模型作為回歸方程對變量x與y的關系進行擬合，發(fā)現(xiàn)該模型的擬合度很高．請計算該模型所表示的回歸方程（與精確到0.01）；
（2）已知2021年全國碩士研究生在學人數(shù)約為267.2萬人，某地區(qū)在學碩士研究生人數(shù)占該地在學研究生的頻率值與全國的數(shù)據(jù)近似．當年該地區(qū)要在本地區(qū)在學研究生中進行一項網(wǎng)絡問卷調(diào)查，每位在學研究生均可進行問卷填寫．某天某時段內(nèi)有4名在學研究生填寫了問卷，X表示填寫問卷的這4人中碩士研究生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．
參考公式及數(shù)據(jù)：對于回歸方程，．
【分析】（1）令z＝（x+1）2，轉化為線性回歸方程的求法，代入公式計算即可；
（2）根據(jù)題意，按公式計算概率得到分布列和期望即可．
解：（1）可令z＝（x+1）2，則z與y成線性回歸關系，則z，y的對應關系如下圖：
則，，
則＝（4﹣18）×（263﹣294）+（9﹣18）×（273﹣294）+（16﹣18）×（286﹣294）+（25﹣18）×（314﹣294）+（36﹣18）×（334﹣294）＝1499，
＝654，
所以，，
根據(jù)公式可得，
即．
（2）可求得該地區(qū)碩士研究生在學生數(shù)占總在學研究生人數(shù)的頻率值為，可知，
所以p（X＝0）＝，
p（X＝1）＝，
p（X＝2）＝，
p（X＝3）＝，
p（X＝4）＝，
因此隨機變量X的分布列如下：
（人）．
【點評】本題考查了回歸方程的求解以及離散型隨機變量的期望和分布列，屬于中檔題．
19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝xlnx（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值點及極值；
（2）若0＜x1＜x2＜1，且f（x1）＝f（x2），求證：為自然對數(shù)的底）．
【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，利用導數(shù)探討單調(diào)性，求出極值點及極值．
（2）令，結合已知用t表示lnx1，lnx2，變形要證不等式并構造函數(shù)，利用導數(shù)推理即得．
解：（1）函數(shù)f（x）＝xlnx（x＞0），求導得f′（x）＝1+lnx，
當時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
因此當時，函數(shù)f（x）取得極小值，
所以函數(shù)f（x）的極小值點為，且極小值為；無極大值點和極大值．
證明：（2）令，則t＞1，由f（x1）＝f（x2），得x1lnx1＝x2lnx2，即，
不等式，t＞1，
則要證，只需證（t+1）lnt＞2t﹣2，即證（t+1）lnt﹣2t+2＞0，
令g（t）＝（t+1）lnt﹣2t+2（t＞1），求導得，
令，求導得，
因此g′（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，g′（t）＞g′（1）＝0，
則函數(shù)g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，g（t）＞g（1）＝0，即（t+1）lnt﹣2t+2＞0成立，
所以原不等式成立．
【點評】本題主要考查了涉及雙變量的不等式證明問題，將所證不等式等價轉化，構造新函數(shù)，再借助導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理，屬于中檔題．
年份序號x
1
2
3
4
5
人數(shù)y（萬人）
263
273
286
314
334
年份序號x
1
2
3
4
5
人數(shù)y（萬人）
263
273
286
314
334
z
4
9
16
25
36
y
263
273
286
314
334
X
0
1
2
3
4
P

相關試卷

2023-2024學年上海師大學附中高三（下）月考數(shù)學試卷（3月份）（含解析）：

這是一份2023-2024學年上海師大學附中高三（下）月考數(shù)學試卷（3月份）（含解析），共19頁。

2023-2024學年陜西省安康市高新中學高三（下）月考數(shù)學試卷（理科）（2月份）（含解析）：

這是一份2023-2024學年陜西省安康市高新中學高三（下）月考數(shù)學試卷（理科）（2月份）（含解析），共18頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學年甘肅省定西市臨洮縣高二（下）開學數(shù)學試卷（含解析）：

這是一份2023-2024學年甘肅省定西市臨洮縣高二（下）開學數(shù)學試卷（含解析），共12頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

2023-2024學年甘肅省定西市臨洮縣高三（下）開學數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年甘肅省定西市臨洮縣高三（下）開學數(shù)學試卷（含解析）
2023-2024學年甘肅省天水一中高一（下）開學數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年甘肅省天水一中高一（下）開學數(shù)學試卷（含解析）
2023-2024學年甘肅省高一（上）期末數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年甘肅省高一（上）期末數(shù)學試卷（含解析）
2023-2024學年甘肅省天水一中高一（上）月考數(shù)學試卷（12月份）（含解析）

2023-2024學年甘肅省天水一中高一（上）月考數(shù)學試卷（12月份）（含解析）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部