一、選擇題
1．設(shè)集合，，則( )
A.B.C.D.
2．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為( )
A.B.C.D.
3．春節(jié)檔電影《熱辣滾燙》通過講述主人公的成長與蛻變，展示了熱情與堅韌如何成為人生道路上最強大的動力.它鼓勵觀眾保持對生活的熱愛和堅持，相信只要不放棄，就能夠找到屬于自己的光芒，實現(xiàn)夢想.甲、乙、丙等七人相約到電影院看電影《熱辣滾燙》，恰好買到了七張連號的電影票.若甲、乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為( )
A.192B.240C.96D.48
4．下列函數(shù)中，最小值為2的是( )
A.B.
C.D.
5．標(biāo)準(zhǔn)的圍棋共19行19列，361個格點，每個點上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有種不同的情況，而我國北宋學(xué)者括在他的著作《夢溪筆談》中，也論過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”，即，下列數(shù)據(jù)最接近的是( )（）
A.B.C.D.
6．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，，，則( )
A.B.C.D.
7．過雙曲線C：內(nèi)一點且斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點，弦AB恰好被M平分，則雙曲線C的離心率為( )
A.B.C.D.
8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，若直線上存在點P滿足，則m的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．如圖，在棱長為2的正方體中，P，Q分別為棱BC，的中點，則以下四個結(jié)論正確的是( )
A.B.
C.直線與所成角的余弦值為D.Q到平面的距離為
10．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加假期社區(qū)服務(wù)活動，社區(qū)服務(wù)活動共有“關(guān)懷老人”“環(huán)境檢測”、“圖書義賣”這三個項目，每人都要報名且限報其中一項.記事件A為“恰有兩名同學(xué)所報項目相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人報‘關(guān)懷老人’項目”，則( )
A.四名同學(xué)的報名情況共有種
B.“每個項目都有人報名”的報名情況共有72種
C.“四名同學(xué)最終只報了兩個項目”的概率是
D.
11．已知點P是橢圓上一點，點、是橢圓的左、右焦點，若，則下列說法正確的是( )
A.的面積為
B.若點M是橢圓上一動點，則的最大值為9
C.內(nèi)切圓的面積為
D.點P的縱坐標(biāo)為
12．已知函數(shù)，的定義域均為R，為偶函數(shù)，，且當(dāng)時，，則( )
A.的圖象關(guān)于點對稱
B.
C.
D.方程在區(qū)間上的所有實根之和為260
三、填空題
13．拋物線C：的準(zhǔn)線方程為______.
14．某產(chǎn)品的零售價x（元）與每天的銷售量y（個）統(tǒng)計如下表：
據(jù)上表可得回歸直線方程為，則______.
15．已知的展開式中常數(shù)項為80，則______.
16．正四面體ABCD的棱長為4，E為棱AB的中點，過E作此正四面體的外接球的截面，則截面面積的最小值是______.
四、解答題
17．在等差數(shù)列中，已知，，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求.
18．在①；②；③；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題（其中S為的面積）.
問題：在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______.
（1）求角B的大??；
（2）AC邊上的中線，求的面積的最大值.
19．乒乓球，被稱為中國的“國球”，是一項集力量、速度、柔韌、靈敏和耐力素質(zhì)為一體的球類運動，同時又是技術(shù)和戰(zhàn)術(shù)完美結(jié)合的典型.打乒乓球能使眼球內(nèi)部不斷運動，血液循環(huán)增強，眼神經(jīng)機能提高，因而能使眼睛疲勞消除或減輕，起到預(yù)防治療近視的作用.乒乓球的球體小，速度快，攻防轉(zhuǎn)換迅速，技術(shù)打法豐富多樣，既要考慮技術(shù)的發(fā)揮，又要考慮戰(zhàn)術(shù)的運用.乒乓球運動中要求大腦快速緊張地思考，這樣可以促進大腦的血液循環(huán)，供給大腦充分的能量，具有很好的健腦功能.乒乓球運動中既要有一定的爆發(fā)力，又要有動作的高度精確，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身體的協(xié)調(diào)和平衡能力.不管學(xué)習(xí)還是工作，每天都或多或少有點壓抑，打球能使大腦的興奮與抑制過程合理交替，避免神經(jīng)系統(tǒng)過度緊張.某中學(xué)對學(xué)生參加乒乓球運動的情況進行調(diào)查，將每周參加乒乓球運動超過2小時的學(xué)生稱為“乒乓球愛好者”，否則稱為“非乒乓球愛好者”，從調(diào)查結(jié)果中隨機抽取100份進行分析，得到數(shù)據(jù)如表所示：
（1）補全列聯(lián)表，并判斷我們能否有99%的把握認(rèn)為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關(guān)？
（2）為了解學(xué)生的乒乓球運動水平，現(xiàn)從抽取的“乒乓球愛好者”學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法抽取3人，與體育老師進行乒乓球比賽，其中男乒乓球愛好者獲勝的概率為，女乒乓球愛好者獲勝的概率為，每次比賽結(jié)果相互獨立，記這3人獲勝的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，.
20．設(shè)是數(shù)列的前n項和，.
（1）求的通項公式，并求的最小值；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
21．如圖，正三角形ABE與菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中點.
（1）求點B到平面EAC的距離；
（2）已知點P在線段EC上，且直線AP與平面ABE所成的角為，求出的值.
22．已知A，B分別為橢圓E：的左、右頂點，G為E的上頂點，.P為直線上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點.
參考答案
1．答案：B
解析：集合，，.故選：B.
2．答案：C
解析：，則，即，其虛部為.故選：C.
3．答案：A
解析：丙在正中間（4號位），甲、乙兩人只能坐12，23或56，67號位，有4種情況，考慮到甲、乙的順序有種情況，剩下的4個位置其余4人坐，有種情況，故不同的坐法的種數(shù)為.故選A.
4．答案：B
解析：當(dāng)時，，故A錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故B正確；當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因為，故C錯誤.，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，又，故D錯誤；故選：B.
5．答案：A解析：由題意，對于，有，所以，分析選項A中與其最接近.故選：A.
6．答案：A
解析：因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，則，，由在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則；由在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則；由在內(nèi)單調(diào)遞增，則；故，又因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以.故選：A.
7．答案：D
解析：設(shè)，，由題意可得，，且，又因為，兩式相減得，即有，所以，則，則雙曲線C的離心率.故選D.
8．答案：C
解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為，因為，，，所以，整理得：，所以點P的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓；所以圓心到的距離為，要使直線上存在點P滿足，只需滿足直線與圓相交或相切.即，解得：.故選：C.
9．答案：ABC
解析：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，，，，
對于選項A，，，則有，所以，故，所以選項A正確；
對于選項B，，因為，所以，故，所以選項B正確；
對于選項C，，，所以，所以直線與所成角的余弦值為，故選項C正確；
對于選項D，因為，，設(shè)平面的法向量為，
則有，即，令，則，，所以，
又，故Q到平面的距離為，故選項D錯誤.故選：ABC.
10．答案：CD
解析：對于A，由題意可知，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)每人有3種選擇，故四名同學(xué)的報名情況共有種，A錯誤；對于B，現(xiàn)將四名志愿者分為2，1，1三組，共有種情況，再將其分到三個活動中，共有種，由分步乘法計數(shù)原理得到種，故“每個項目都有人報名”的報名情況共有36種，B錯誤；對于C，“四名同學(xué)最終只報了兩個項目”的概率是，C正確；對于D，由已知有：，，所以，D正確.
11．答案：AC
解析：橢圓的方程為，則，，，根據(jù)橢圓定義得.對于A選項，①，在中，由余弦定理得，即②，由①和②得，則的面積，故A選項正確.
對于B選項，設(shè)點，則，，當(dāng)時，取得最大值5，故B選項錯誤.
對于C選項，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，由A選項知的面積為，則，即，解得，所以內(nèi)切圓的面積為，故C選項正確.
對于D選項，由A選項知的面積為，則，即，故D選項錯誤.故選：AC.
12．答案：ABD
解析：因為為偶函數(shù)，所以，即，又，可得，故的圖象關(guān)于點對稱，故A正確；
，故是以4為周期的周期函數(shù)，根據(jù)題意，，，，，，故，故B正確；
，其中，故，故C錯誤；
是周期函數(shù)，最小正周期是8，由，得其對稱軸為，，顯然與的圖象有公共的對稱軸，，方程的實根是與的圖象的公共點的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出與在上的大致圖象，如圖，可知，，所以，由圖易知在，，…，上的三個零點之和構(gòu)成首項為4，公差為24的等差數(shù)列，故在區(qū)間上的所有實根之和為，故D正確.故選：ABD.
13．答案：
解析：拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其準(zhǔn)線方程為.
14．答案：77
解析：由題意可得，，所以樣本中心點的坐標(biāo)為，代入回歸直線方程，得，解得.
15．答案：
解析：由展開式的通項公式為，令，無整數(shù)解，令，解得，，令，解得，，∴展開式中的常數(shù)項為，解得.故答案為.
16．答案：
解析：將四面體ABCD放置于正方體中，可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球，因為正四面體ABCD的棱長為4，所以正方體的棱長為，可得外接球半徑R滿足，解得，E為棱AB的中點，過E作其外接球的截面，當(dāng)截面到球心O的距離最大時，截面圓的面積達最小值，此時球心O到截面的距離等于正方體棱長的一半，可得截面圓的半徑為，得到截面圓的面積最小值為.故答案為.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則，解得，
則，.
（2），，，…，構(gòu)成首項為，公差為9的等差數(shù)列.
所以
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）若選①在中，因為，
故由可得，
由正弦定理得：，即，
則，又，故；
選②，則，，
又，；
選③由及正弦定理得：，
又，所以，
即，因為，，
所以，
又，得；
綜上所述：選擇①②③，都有.
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
則的面積的最大值為.
19．答案：（1）有99%的把握認(rèn)為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關(guān)
（2）見解析
解析：（1）依題意可得列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為：是否為“乒乓球愛好者”與性別無關(guān)聯(lián)，
則，
我們有99%的把握認(rèn)為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關(guān).
（2）由（1）得抽取的3人中人為男生，人為女生.
則X的可能取值為0、1、2、3，
所以，，
，，
所以X的分布列為：
所以.
20．答案：（1）-36
（2）
解析：（1）由數(shù)列的前n項和，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，
；
令時，，滿足題意，
所以數(shù)列的通項公式，，
由得，
，2，3，4時，時，
的最小值為.
（2）由（1）知，當(dāng)時，；
時，，，
當(dāng)時，.
當(dāng)時，，
.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）連接MC，是正三角形，，又M是AB的中點，，
平面平面ABCD，平面平面，平面ABE，
平面ABCD，
又平面ABCD，，在菱形ABCD中，，是正三角形，
.
ME、MC、MB兩兩垂直.
以點M為坐標(biāo)原點，MB、MC、ME所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，
設(shè)是平面ACE的一個法向量，
則，令，
得，
設(shè)點B到平面ACE的距離為d，則，
所以點B到平面EAC的距離為.
（2）由題意可知，平面ABE的一個法向量為，
，，
設(shè)，
則，
直線AP與平面ABE所成的角為，
，
整理可得，解得，
所以.
22．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）由題意，，，，，
，
橢圓E的方程為.
（2）由（1）知，，
設(shè)，則直線PA的方程為，
聯(lián)立，
由韋達定理，
代入直線PA的方程得，，
即，
直線PB的方程為，
聯(lián)立，
由韋達定理，
代入直線PB的方程得，，
即，
直線CD的斜率，
直線CD的方程為，
整理得，
直線CD過定點.
x
6
7
8
9
y
40
31
24
21
乒乓球愛好者
非乒乓球愛好者
總計
男
40
56
女
24
總計
100
0.05
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
乒乓球愛好者
非乒乓球愛好者
總計
男
40
16
56
女
20
24
44
總計
60
40
100
X
0
1
2
3
P

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