一、選擇題
1．若兩條直線和平行,則實(shí)數(shù)m的值為( )
A.1B.-1C.-3D.-7
2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若,則( )
A.8092B.4048C.4046D.2023
3．如圖,空間四邊形OABC中,,,點(diǎn)M在線段OA上, 且,點(diǎn)N為BC中點(diǎn),則( )
A.B.
C.D.
4．已知曲線存在過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線, 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
5．已知拋物線,圓,過圓心C作直線l與拋物線E和圓C交于四點(diǎn),自上而下依次為A,M,N,B,若,,成等差數(shù)列,則直線l的斜率為( )
A.B.C.D.
6．設(shè)函數(shù)是奇函的導(dǎo)函數(shù),,當(dāng)時(shí),, 則使得成立的x的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
7．已知數(shù)列滿,且,若,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則( )
A.B.C.D.
8．若對任意的,且,都有成立,則m的最大值為( )
A.B.1C.eD.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知空間四點(diǎn),,,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是( )
A.
B.
C.點(diǎn)A到直線BC的距離為
D.點(diǎn)D到平面ABC的距離為
10．已知圓,則下列說法正確的有( )
A.圓C關(guān)于直線 對稱的圓的方程為
B.直線 被圓C截得的弦長為
C.若圓C上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于,則m的取值范圍是
D.若點(diǎn)是圓C上的動(dòng)點(diǎn)則的取值范圍是
11．已知函數(shù),則( )
A.有兩個(gè)極值點(diǎn)
B.有三個(gè)零點(diǎn)
C.直線是曲線的切線
D.點(diǎn)是曲線 的對稱中心
三、填空題
12．點(diǎn),分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn), 點(diǎn)P在E上, 且,則的面積為____________.
13．已知a,b為正實(shí)數(shù),直線與曲線相切,則的最小值為_______________.
14．已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則____________.
四、解答題
15．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,;數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;
(2)若, 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
16．已知在四棱錐中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱平面ABCD,點(diǎn)M在線段 PD上,直線平面MAC,.
(1)求證:點(diǎn)M為PD中點(diǎn);
(2)求平面PAC與平面MAC夾角的余弦值.
17．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),.
(1)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn),B,C為橢圓G上異于A的兩點(diǎn), 且,證明:直線BC過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
18．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn), 雙曲線的離心率為,且過點(diǎn).
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)圓的切線l與雙曲線C相交于A, B兩點(diǎn).
（i）證明：.
（ii）求面積的最小值.
19．已知(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程,
(2)當(dāng)時(shí), 判斷是否存在極值, 并說明理由;
(3),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：D
解析：兩條直線和 平行,
則,解得或,
當(dāng)時(shí),兩直線重合,不符合題意,舍去,當(dāng)時(shí),兩直線不重復(fù),符合題意,故.
故選：D.
2．答案：C
解析：根據(jù)題意, 等差數(shù)列中,有,
而，
所以,
所以，
故選：C.
3．答案：D
解析：,
故選：D.
4．答案：B
解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,則
切線斜率為
切線方程為
切線過原點(diǎn)
，
，
切線存在.
，
即，
解得或.
故答案選：B.
5．答案：B
解析：
6．答案：A
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：A
解析：
9．答案：ABD
解析：
10．答案：AC
解析
11．答案：AD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：8
解析：設(shè)切點(diǎn)為,的導(dǎo)數(shù)為,
由題意可得,
又，
解得,，
即有，
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即，時(shí)等號成立,所以的最小值為8.
故答案為：8.
14．答案：
解析：
15．答案：(1)
(2)
解析:(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,
則,解得 ,所以.
因?yàn)? 當(dāng) 時(shí),,兩式相減得:.
又, 得 ,所以是以2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,
所以.
(2)由(1)知.則,
,
兩式相減得:
所以.
16．答案：(1)見解析
(2)
解析:(1)連接BD交AC于點(diǎn)N, 連接MN, 因?yàn)槠矫鍹AC, 且平面PBD,
平面平面,所以.
又因?yàn)樵谡叫蜛BCD中,N是BD的中點(diǎn),所以點(diǎn)M為PD中點(diǎn).
(2)因?yàn)槠矫鍭BCD,四邊形ABCD為正方形,AB, 平面ABCD,
所以AB,AD,AP兩兩垂直,
以A為坐標(biāo)原點(diǎn), 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 所以,
，，，，，
所以，.
設(shè)平面MAC的法向量為,則即
令,則,即;
由平面ABCD，得,又，，平面PAC, 平面PAC,所以平面PAC,即是平面PAC的一個(gè)法向量.
所以.
所以平面PAC與平面MAC夾角的余弦值為.
17．答案：(1)
(2)見解析
解析：(1)由題意可得,解得,
故橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)因?yàn)锽,C為橢圓G上異于A的兩點(diǎn), 所以直線BC的斜率存在,
不妨設(shè)直線BC的方程為,
,聯(lián)立方程 ,
消去y得 ,
則,整理得 ,
由韋達(dá)定理得,,
因?yàn)?,,
可得
化簡得,解得或,
當(dāng)時(shí),直線BC的方程為,直線過點(diǎn),不合題意;
當(dāng)時(shí),恒成立, 直線BC的方程為,所以直線BC過定點(diǎn) .
18．答案：(1)
(2)(i)見解析(ii)4
解析:(1)由題意得 , 將代入雙曲線中得,
又, 解得,故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ;
(2)(i)當(dāng)切線l的斜率為0時(shí),方程為,不妨設(shè),此時(shí) ,解得,
不妨設(shè),則,所以 ;
當(dāng)切線斜率不為0時(shí),設(shè)為,由圓心到直線距離可得,故,
聯(lián)立與得,,
則,又,解得,
設(shè),則,
故,
故
,故.
(ii)當(dāng)切線l斜率為0時(shí),的面積為 ,
當(dāng)切線斜率不為0時(shí),
因?yàn)?點(diǎn)O到切線AB的距離為 2 ,
故,當(dāng)時(shí),
令 , 則 ,
故,
因?yàn)?所以,同理,
當(dāng)時(shí),,綜上,面積的最小值為4.
19．答案：(1)
(2)有一個(gè)極大值,一個(gè)極小值
(3)
解析:(1)當(dāng)時(shí),,可得 ,
則,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ,即.
（2）當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)镽,
可得 , 令,
則 ,當(dāng) 時(shí), ;
當(dāng) 時(shí), , 所以 在 遞減,在 上遞增,
所以,
又由, 存在使得,
存在 使得,當(dāng) 時(shí),,,單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增;所以時(shí),有一個(gè)極大值,一個(gè)極小值.
(3)由,可得,
由,因?yàn)?
可得,令, 則在R上遞減,
當(dāng)時(shí),可得,則,
所以,則,
又因?yàn)?使得,
即且當(dāng)時(shí),, 即 ;
當(dāng)時(shí),, 即,所以 在 遞增,
在 遞減,所以,
由, 可得 ,
由,可得, 即,
由,可得,所以,
因?yàn)?設(shè) ,則,
可知在上遞增,
且, 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

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