一、選擇題
1．已知在空間單位正交基底下，是空間的一組單位正交基底，是空間的另一組基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為( )
A.B.C.D.
2．在空間直角坐標(biāo)系中，四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，.則點(diǎn)B到面ACD的距離是( )
A.B.C.D.
3．過(guò)點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為( )
A.B.
C.或D.或
4．已知圓，當(dāng)圓C的面積取最大值時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為( )
A.B.C.D.
5．已知F為雙曲線的左焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線C右支上的點(diǎn)，若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)在線段PQ上，則的周長(zhǎng)為( )
A.28B.36C.44D.48
6．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有( )
A.1440種B.960種C.720種D.480種
7．某學(xué)校高三模擬考試中數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布，考生共有1000人，估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分到86分之間的人數(shù)約為( )人.
參考數(shù)據(jù):，
A.261B.341C.477D.683
8．已知學(xué)生的數(shù)學(xué)和地理成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系，高三某次?？贾校?名學(xué)生的數(shù)學(xué)和地理成績(jī)?nèi)缦卤恚?br>現(xiàn)已知其線性回歸方程為，則“”代表該生的地理成績(jī)?yōu)? )
A.76C.73D.72.5
二、多項(xiàng)選擇題
9．如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是，下列說(shuō)法中正確的是( )
A.B.
C.向量與的夾角是D.與所成角的余弦值為
10．已知橢圓與雙曲線，下列關(guān)于兩曲線的說(shuō)法正確的是( )
A.的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)相等B.的短軸長(zhǎng)與的虛軸長(zhǎng)相等
C.焦距相等D.離心率不相等
11．一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，給出下列結(jié)論:①?gòu)闹腥稳?球，恰有一個(gè)白球的概率是;②從中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有兩次白球的概率為;③現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為;④從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為.則其中正確命題的序號(hào)是( )
A.①B.②C.③D.④
三、填空題
12．已知P是橢圓上異于點(diǎn)，的一點(diǎn)，E的離心率為，則直線AP與BP的斜率之積為_(kāi)_________.
13．設(shè)，則__________.
四、雙空題
14．直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則__________，__________.
五、解答題
15．如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，E為CD的中點(diǎn).
（1）求證:平面PAC；
（2）若，，求平面PBC與平面PCD夾角的余弦值.
16．已知橢圓（）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，.
（1）求橢圓E的方程;
（2）已知直線與x軸交于點(diǎn)，與橢圓E交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積S.
17．已知OA，OB，OC兩兩垂直，，，M為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，.
（1）求MN的長(zhǎng);
（2）求二面角的余弦值.
（3）若點(diǎn)P在線段BC上，設(shè)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.
18．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，原點(diǎn)為O，過(guò)F作傾斜角為的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn).
（1）過(guò)A點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若直線的斜率為，且，求拋物線的方程;
（2）當(dāng)直線l的傾斜角為多大時(shí)，AB的長(zhǎng)度最小.
19．甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰：比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為.
（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；
（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
參考答案
1．答案：C
解析：設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)為，則，又向量在基底下的坐標(biāo)為，則，
所以解得，
所以向量在基底下的坐標(biāo)為.
2．答案：A
解析：由題意，，，設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為，則，取，則，
，即B到平面ACD的距離是.
3．答案：D
解析：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其斜率為，故直線方程為;
當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)可得，解得，故直線方程為.綜上，可知所求直線方程為或.
4．答案：B
解析：圓C的方程可化為，所以當(dāng)時(shí)圓C的面積最大.即圓心C的坐標(biāo)為.
5．答案：C
解析：如圖所示:
雙曲線的左焦點(diǎn)為，
點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，又，虛軸長(zhǎng)為，.
①，②，①+②得，
的周長(zhǎng).
6．答案：B
解析：5名志愿者先排成一排，有種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左右順序，共有種不同的排法，選B.
7．答案：B
解析：正態(tài)總體的取值關(guān)于對(duì)稱，位于之間的概率是，則估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分到86分之間的人數(shù)約為人.
8．答案：A
解析：，，
所以.
9．答案：AB
解析：以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，它們彼此的夾角都是，
可設(shè)棱長(zhǎng)為1，則，
，
而，所以A正確.
，所以B正確.
向量，顯然為等邊三角形，則.
所以向量與的夾角是，向量與的夾角是，則C不正確又，則，，，所以，所以D不正確.
10．答案：CD
解析：由題意可知，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為，當(dāng)時(shí)，，，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，其實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為.故的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)不相等，的短軸長(zhǎng)與的虛軸長(zhǎng)不相等，與的焦距相等，離心率不相等.
11．答案：ABD
解析：①?gòu)闹腥稳?個(gè)球，恰有一個(gè)白球的概率是，故①正確;②從中有放回的取球6次，每次任取一球，恰有兩次取白球的概率是，故②正確;
③從中不放回的取球2次，每次任取一球，則在第一次取到紅球后，此時(shí)袋中還有3個(gè)紅球2個(gè)白球，則第二次再次取到紅球的概率為，故③錯(cuò)誤;
④從中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到紅球的概率為，所以至少有一次取到紅球的概率為，故④正確，
12．答案：/
解析：因?yàn)镋的離心率為，所以，解得:，設(shè)，則，所以，
所以，.
13．答案：-63
解析：由，
令，得，
令，得，
所以.
14．答案：2；1
解析：方法一：由題意知，從而，所以拋物線方程為.當(dāng)直線斜率不存在時(shí):代入，解得，從而.當(dāng)直線斜率存在時(shí):設(shè)的方程為，聯(lián)立，整理，得，設(shè)，，則從而.
方法二：例上，，即可得結(jié)果.
15．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）平面，平面，，又正方形中，，，，平面PAC，所以平面PAC.
（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知:
，，，，，
則，，，，
設(shè)平面PBC的法向量為，
則，
令，得到，，
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，
則，
令，得到，，
設(shè)平面PBC與平面PCD夾角為，
.
所以平面PBC與平面PCD夾角的余弦值為.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因?yàn)闄E圓過(guò)兩點(diǎn)，，代入可得，解得，，所以橢圓E的方程為.
（2）聯(lián)立方程組，消去x得，解得，，所以的面積為.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OC分別為x，y，z軸，建立直角坐標(biāo)系:
則，，，，，，
所以，，，
所以.
（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為:，
則，即，
令，則，，，
又平面AOB的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角的平面角為，
則.
（3）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋?br>所以，即，
解得，所以，
因?yàn)椋?br>所以，即，解得.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，則由幾何性質(zhì)得，，
且，
為等邊三角形，得，
拋物線方程為.
（2），直線l的方程可設(shè)為，由得，
設(shè)，，則，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）記事件M：甲連勝四場(chǎng)只能是前四場(chǎng)全勝，則.
（2）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為，
需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為.
（3）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，記事件M：甲贏，記事件N：丙贏，
則甲贏的基本事件包括BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，
甲贏的概率為.由對(duì)稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，
丙贏的概率為.
學(xué)生的編號(hào)i
1
2
3
4
5
數(shù)學(xué)成績(jī)x
100
105
90
85
80
地理成績(jī)y
75
68
64
62

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