考向一、對洛倫茲力的理解和應(yīng)用
考向二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動
考向三、帶電粒子在磁場中運(yùn)動的多解問題
考向四、“數(shù)學(xué)圓”方法在電磁學(xué)中的應(yīng)用
考向一、對洛倫茲力的理解和應(yīng)用
1．洛倫茲力方向
(1)洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動電荷速度方向和磁場方向確定的平面。
(2)當(dāng)電荷運(yùn)動方向發(fā)生變化時，洛倫茲力的方向也隨之變化。
(3)用左手定則判斷洛倫茲力方向，但一定分清正、負(fù)電荷。
2．洛倫茲力與電場力
【典例1】（2022年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試）7. 如圖所示，一個立方體空間被對角平面劃分成兩個區(qū)域，兩區(qū)域分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、方向相反且與z軸平行的勻強(qiáng)磁場。一質(zhì)子以某一速度從立方體左側(cè)垂直平面進(jìn)入磁場，并穿過兩個磁場區(qū)域。下列關(guān)于質(zhì)子運(yùn)動軌跡在不同坐標(biāo)平面的投影中，可能正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】AB．由題意知當(dāng)質(zhì)子射出后先在MN左側(cè)運(yùn)動，剛射出時根據(jù)左手定則可知在MN受到y(tǒng)軸正方向的洛倫茲力，即在MN左側(cè)會向y軸正方向偏移，做勻速圓周運(yùn)動，y軸坐標(biāo)增大；在MN右側(cè)根據(jù)左手定則可知洛倫茲力反向，質(zhì)子在y軸正方向上做減速運(yùn)動，故A正確，B錯誤；
CD．根據(jù)左手定則可知質(zhì)子在整個運(yùn)動過程中都只受到平行于xOy平面的洛倫茲力作用，在z軸方向上沒有運(yùn)動，z軸坐標(biāo)不變，故CD錯誤。
故選A。
【典例2】(2022貴陽摸底)如圖所示，a、b兩根長直導(dǎo)線垂直紙面放置，兩導(dǎo)線內(nèi)通有大小相等、方向相反的電流，O點在紙面與導(dǎo)線平面的交線上且到兩導(dǎo)線距離相等，MN是過O點且垂直于導(dǎo)線平面的豎直線，一個帶電粒子從M點以速度v沿MN方向運(yùn)動，粒子重力不計，下列說法正確的是 ( )
A．粒子沿MN方向先做加速運(yùn)動后做減速運(yùn)動
B．粒子沿MN方向一直做勻速直線運(yùn)動
C．粒子偏向MN左側(cè)先做加速運(yùn)動后做減速運(yùn)動
D．粒子偏向MN右側(cè)先做減速運(yùn)動后做加速運(yùn)動
【答案】B
【解析】根據(jù)右手螺旋定則和磁場疊加原理可知，兩通電直導(dǎo)線在直線MN上所產(chǎn)生的合磁場方向始終沿MN方向，當(dāng)帶電粒子沿MN方向運(yùn)動時，其運(yùn)動方向正好與合磁場方向平行，則帶電粒子不受洛倫茲力作用，故粒子將一直做勻速直線運(yùn)動，選項B正確．
練習(xí)1、(2020·浙江省1月高中學(xué)業(yè)水平考試)下列表示運(yùn)動電荷在磁場中所受洛倫茲力的方向正確的是( )
【答案】D
【解析】A圖和B圖中v∥B，所以電荷所受洛倫茲力為零，選項A、B錯誤；根據(jù)左手定則可知，C圖中電荷所受洛倫茲力方向向上，D圖中電荷所受洛倫茲力方向向右，選項C錯誤，D正確。
練習(xí)2、(2022·大連模擬)真空中豎直放置一通電長直細(xì)導(dǎo)線，俯視圖如圖所示。以導(dǎo)線為圓心作圓，光滑絕緣管ab水平放置，兩端恰好落在圓周上。半徑略小于絕緣管半徑的帶正電小球自a端以速度v0向b端運(yùn)動過程中，下列說法正確的是( )
A．小球先加速后減速
B．小球受到的洛倫茲力始終為零
C．小球在ab中點受到的洛倫茲力為零
D．小球受到洛倫茲力時，洛倫茲力方向豎直向外
【答案】C
【解析】根據(jù)安培定則可知，直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場的磁感線如圖中虛線所示，
洛倫茲力始終與小球運(yùn)動方向垂直，故不做功，小球速率不變，A錯誤；當(dāng)運(yùn)動到ab中點時，磁感線與速度方向平行，所受洛倫茲力為零，自a端到中點洛倫茲力豎直向下，中點至b端洛倫茲力豎直向上，B、D錯誤，C正確。
【巧學(xué)妙記】
1．洛倫茲力的特點
(1)利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區(qū)分正、負(fù)電荷。
(2)當(dāng)電荷運(yùn)動方向發(fā)生變化時，洛倫茲力的方向也隨之變化。
(3)運(yùn)動電荷在磁場中不一定受洛倫茲力作用。
(4)洛倫茲力永不做功。
考向二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動
1．確定圓心
方法一 若已知粒子軌跡上的兩點的速度方向，則可根據(jù)洛倫茲力F⊥v，分別確定兩點處洛倫茲力F的方向，其交點即為圓心，如圖甲。
方法二 若已知粒子運(yùn)動軌跡上的兩點和其中某一點的速度方向，則可作出此兩點的連線(即過這兩點的圓弧的弦)的中垂線，中垂線與過已知點速度方向的垂線的交點即為圓心，如圖乙。
2．確定半徑
利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑(或圓心角)，求解時注意以下幾何特點：
粒子速度的偏向角(φ)等于圓心角(α)，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍(如圖)，即φ＝α＝2θ＝ωt。
3．求解時間
粒子在磁場中運(yùn)動一周的時間為T，當(dāng)粒子運(yùn)動的圓弧所對應(yīng)的圓心角為α?xí)r，其運(yùn)動時間可由下式表示：
t＝eq \f(α,360°)Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或t＝\f(α,2π)T))，t＝eq \f(l,v)(l為弧長)。
4．運(yùn)動軌跡
(1)直線邊界(進(jìn)出磁場具有對稱性，如圖所示)。
直線邊界，粒子進(jìn)出磁場具有對稱性(如圖所示)
圖a中粒子在磁場中運(yùn)動的時間
t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,qB)
圖b中粒子在磁場中運(yùn)動的時間
t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(θ,π)))T＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(θ,π)))eq \f(2πm,qB)＝eq \f(2m（π－θ）,qB)
圖c中粒子在磁場中運(yùn)動的時間t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,qB)
(2)平行邊界磁場
帶電粒子在平行邊界磁場中運(yùn)動時的半徑R與平行邊界距離d之間的關(guān)系如圖所示．
(3)圓形邊界磁場
沿徑向射入圓形磁場的粒子必沿徑向射出，運(yùn)動具有對稱性(如圖所示)
粒子做圓周運(yùn)動的半徑r＝eq \f(R,tan θ)
粒子在磁場中運(yùn)動的時間t＝eq \f(2θ,2π)T＝eq \f(2θm,qB)，θ＋α＝90°
)
（4）三角形邊界的磁場
帶電粒子在三角形邊界的磁場中運(yùn)動時常常涉及臨界問題。如圖所示，正△ABC區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，某正粒子垂直于AB方向從D點進(jìn)入磁場時，粒子有如下兩種可能的臨界軌跡：
(1)粒子能從AB邊射出的臨界軌跡如圖甲所示。
(2)粒子能從AC邊射出的臨界軌跡如圖乙所示。
（5）矩形邊界的磁場
帶電粒子在矩形(正方形)邊界的磁場中運(yùn)動時，可能會涉及與邊界相切、相交等臨界問題，如圖所示。
【典例3】（多選）（2022年遼寧省普通高中學(xué)業(yè)水平等級性考試）8. 粒子物理研究中使用的一種球狀探測裝置橫截面的簡化模型如圖所示。內(nèi)圓區(qū)域有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，外圓是探測器。兩個粒子先后從P點沿徑向射入磁場，粒子1沿直線通過磁場區(qū)域后打在探測器上的M點。粒子2經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后打在探測器上的N點。裝置內(nèi)部為真空狀態(tài)，忽略粒子重力及粒子間相互作用力。下列說法正確的是（ ）
A. 粒子1可能為中子
B. 粒子2可能為電子
C. 若增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子1可能打在探測器上的Q點
D. 若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探測器上的Q點
【答案】AD
【解析】AB．由題圖可看出粒子1沒有偏轉(zhuǎn)，說明粒子1不帶電，則粒子1可能為中子；粒子2向上偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則可知粒子2應(yīng)該帶正電，A正確、B錯誤；
C．由以上分析可知粒子1為中子，則無論如何增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子1都不會偏轉(zhuǎn)，C錯誤；
D．粒子2在磁場中洛倫茲力提供向心力有
解得可知若增大粒子入射速度，則粒子2的半徑增大，粒子2可能打在探測器上的Q點，D正確。
故選AD。
【典例4】（2022年6月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平等級性考試）22. 離子速度分析器截面圖如圖所示。半徑為R的空心轉(zhuǎn)筒P，可繞過O點、垂直xOy平面（紙面）的中心軸逆時針勻速轉(zhuǎn)動（角速度大小可調(diào)），其上有一小孔S。整個轉(zhuǎn)筒內(nèi)部存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場。轉(zhuǎn)筒下方有一與其共軸的半圓柱面探測板Q，板Q與y軸交于A點。離子源M能沿著x軸射出質(zhì)量為m、電荷量為 – q（q > 0）、速度大小不同的離子，其中速度大小為v0的離子進(jìn)入轉(zhuǎn)筒，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后恰好沿y軸負(fù)方向離開磁場。落在接地的筒壁或探測板上的離子被吸收且失去所帶電荷，不計離子的重力和離子間的相互作用。
（1）①求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
②若速度大小為v0的離子能打在板Q的A處，求轉(zhuǎn)筒P角速度ω的大?。?br>（2）較長時間后，轉(zhuǎn)筒P每轉(zhuǎn)一周有N個離子打在板Q的C處，OC與x軸負(fù)方向的夾角為θ，求轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，C處受到平均沖力F的大小；
（3）若轉(zhuǎn)筒P的角速度小于，且A處探測到離子，求板Q上能探測到離子的其他θ′的值（θ′為探測點位置和O點連線與x軸負(fù)方向的夾角）。
【答案】（1）①，②，k = 0，1，2，3…；（2），n = 0，1，2，…；（3），
【解析】（1）①離子在磁場中做圓周運(yùn)動有
則
②離子在磁場中的運(yùn)動時間
轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動角度
，k = 0，1，2，3…
（2）設(shè)速度大小為v離子在磁場中圓周運(yùn)動半徑為，有
離子在磁場中的運(yùn)動時間
轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動角度ω′t′ = 2nπ + θ
轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動角速度，n = 0，1，2，…
動量定理
，n = 0，1，2，…
（3）轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動角速度
其中k = 1，，n = 0，2
可得
練習(xí)3、(2020·全國Ⅰ卷)一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，ab為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑．一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率．不計粒子之間的相互作用．在磁場中運(yùn)動時間最長的粒子，其運(yùn)動時間為( )
A．eq \f(7πm,6qB) B．eq \f(5πm,4qB)
C．eq \f(4πm,3qB) D．eq \f(3πm,2qB)
【答案】C
【解析】粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動qBv＝eq \f(mv2,r)，T＝eq \f(2πr,v)，可得粒子在磁場中的周期T＝eq \f(2πm,qB)，粒子在磁場中運(yùn)動的時間t＝eq \f(θ,2π)·T＝eq \f(θm,qB)，則粒子在磁場中運(yùn)動的時間與速度無關(guān)，軌跡對應(yīng)的圓心角越大，運(yùn)動時間越長．采用放縮圓解決該問題，粒子垂直ac射入磁場，則軌跡圓心必在ac直線上，將粒子的軌跡半徑由零逐漸放大．當(dāng)半徑r≤0.5R和r≥1.5R時，粒子分別從ac、bd區(qū)域射出，磁場中的軌跡為半圓，運(yùn)動時間等于半個周期．當(dāng)0.5R

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