考向一、對(duì)洛倫茲力的理解和應(yīng)用
考向二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
考向三、帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題
考向四、“數(shù)學(xué)圓”方法在電磁學(xué)中的應(yīng)用
考向一、對(duì)洛倫茲力的理解和應(yīng)用
1．洛倫茲力方向
(1)洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動(dòng)電荷速度方向和磁場(chǎng)方向確定的平面。
(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化。
(3)用左手定則判斷洛倫茲力方向，但一定分清正、負(fù)電荷。
2．洛倫茲力與電場(chǎng)力
【典例1】(2023年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試）7. 如圖所示，一個(gè)立方體空間被對(duì)角平面劃分成兩個(gè)區(qū)域，兩區(qū)域分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、方向相反且與z軸平行的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)子以某一速度從立方體左側(cè)垂直平面進(jìn)入磁場(chǎng)，并穿過(guò)兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域。下列關(guān)于質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡在不同坐標(biāo)平面的投影中，可能正確的是（ ）
A. B.
C. D.
答案:A
解析：AB．由題意知當(dāng)質(zhì)子射出后先在MN左側(cè)運(yùn)動(dòng)，剛射出時(shí)根據(jù)左手定則可知在MN受到y(tǒng)軸正方向的洛倫茲力，即在MN左側(cè)會(huì)向y軸正方向偏移，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，y軸坐標(biāo)增大；在MN右側(cè)根據(jù)左手定則可知洛倫茲力反向，質(zhì)子在y軸正方向上做減速運(yùn)動(dòng)，故A正確，B錯(cuò)誤；
CD．根據(jù)左手定則可知質(zhì)子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都只受到平行于xOy平面的洛倫茲力作用，在z軸方向上沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，z軸坐標(biāo)不變，故CD錯(cuò)誤。
故選A。
【典例2】(2023貴陽(yáng)摸底)如圖所示，a、b兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線垂直紙面放置，兩導(dǎo)線內(nèi)通有大小相等、方向相反的電流，O點(diǎn)在紙面與導(dǎo)線平面的交線上且到兩導(dǎo)線距離相等，MN是過(guò)O點(diǎn)且垂直于導(dǎo)線平面的豎直線，一個(gè)帶電粒子從M點(diǎn)以速度v沿MN方向運(yùn)動(dòng)，粒子重力不計(jì)，下列說(shuō)法正確的是 ( )
A．粒子沿MN方向先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)
B．粒子沿MN方向一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)
C．粒子偏向MN左側(cè)先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)
D．粒子偏向MN右側(cè)先做減速運(yùn)動(dòng)后做加速運(yùn)動(dòng)
答案:B
解析：根據(jù)右手螺旋定則和磁場(chǎng)疊加原理可知，兩通電直導(dǎo)線在直線MN上所產(chǎn)生的合磁場(chǎng)方向始終沿MN方向，當(dāng)帶電粒子沿MN方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)方向正好與合磁場(chǎng)方向平行，則帶電粒子不受洛倫茲力作用，故粒子將一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)B正確．
練習(xí)1、(2023·浙江省1月高中學(xué)業(yè)水平考試)下列表示運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中所受洛倫茲力的方向正確的是( )
答案:D
解析：A圖和B圖中v∥B，所以電荷所受洛倫茲力為零，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；根據(jù)左手定則可知，C圖中電荷所受洛倫茲力方向向上，D圖中電荷所受洛倫茲力方向向右，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。
練習(xí)2、(2023·大連模擬)真空中豎直放置一通電長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線，俯視圖如圖所示。以導(dǎo)線為圓心作圓，光滑絕緣管ab水平放置，兩端恰好落在圓周上。半徑略小于絕緣管半徑的帶正電小球自a端以速度v0向b端運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是( )
A．小球先加速后減速
B．小球受到的洛倫茲力始終為零
C．小球在ab中點(diǎn)受到的洛倫茲力為零
D．小球受到洛倫茲力時(shí)，洛倫茲力方向豎直向外
答案:C
解析：根據(jù)安培定則可知，直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感線如圖中虛線所示，
洛倫茲力始終與小球運(yùn)動(dòng)方向垂直，故不做功，小球速率不變，A錯(cuò)誤；當(dāng)運(yùn)動(dòng)到ab中點(diǎn)時(shí)，磁感線與速度方向平行，所受洛倫茲力為零，自a端到中點(diǎn)洛倫茲力豎直向下，中點(diǎn)至b端洛倫茲力豎直向上，B、D錯(cuò)誤，C正確。
【巧學(xué)妙記】
1．洛倫茲力的特點(diǎn)
(1)利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區(qū)分正、負(fù)電荷。
(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化。
(3)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中不一定受洛倫茲力作用。
(4)洛倫茲力永不做功。
考向二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
1．確定圓心
方法一 若已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)的速度方向，則可根據(jù)洛倫茲力F⊥v，分別確定兩點(diǎn)處洛倫茲力F的方向，其交點(diǎn)即為圓心，如圖甲。
方法二 若已知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn)和其中某一點(diǎn)的速度方向，則可作出此兩點(diǎn)的連線(即過(guò)這兩點(diǎn)的圓弧的弦)的中垂線，中垂線與過(guò)已知點(diǎn)速度方向的垂線的交點(diǎn)即為圓心，如圖乙。
2．確定半徑
利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑(或圓心角)，求解時(shí)注意以下幾何特點(diǎn)：
粒子速度的偏向角(φ)等于圓心角(α)，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍(如圖)，即φ＝α＝2θ＝ωt。
3．求解時(shí)間
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為T，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為α?xí)r，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間可由下式表示：
t＝eq \f(α,360°)Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或t＝\f(α,2π)T))，t＝eq \f(l,v)(l為弧長(zhǎng))。
4．運(yùn)動(dòng)軌跡
(1)直線邊界(進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性，如圖所示)。
直線邊界，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性(如圖所示)
圖a中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,qB)
圖b中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(θ,π)))T＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(θ,π)))eq \f(2πm,qB)＝eq \f(2m（π－θ）,qB)
圖c中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,qB)
(2)平行邊界磁場(chǎng)
帶電粒子在平行邊界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的半徑R與平行邊界距離d之間的關(guān)系如圖所示．
(3)圓形邊界磁場(chǎng)
沿徑向射入圓形磁場(chǎng)的粒子必沿徑向射出，運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性(如圖所示)
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝eq \f(R,tan θ)
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq \f(2θ,2π)T＝eq \f(2θm,qB)，θ＋α＝90°
)
（4）三角形邊界的磁場(chǎng)
帶電粒子在三角形邊界的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)常常涉及臨界問(wèn)題。如圖所示，正△ABC區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，某正粒子垂直于AB方向從D點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，粒子有如下兩種可能的臨界軌跡：
(1)粒子能從AB邊射出的臨界軌跡如圖甲所示。
(2)粒子能從AC邊射出的臨界軌跡如圖乙所示。
（5）矩形邊界的磁場(chǎng)
帶電粒子在矩形(正方形)邊界的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，可能會(huì)涉及與邊界相切、相交等臨界問(wèn)題，如圖所示。
【典例3】（多選）(2023年遼寧省普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試）8. 粒子物理研究中使用的一種球狀探測(cè)裝置橫截面的簡(jiǎn)化模型如圖所示。內(nèi)圓區(qū)域有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，外圓是探測(cè)器。兩個(gè)粒子先后從P點(diǎn)沿徑向射入磁場(chǎng)，粒子1沿直線通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域后打在探測(cè)器上的M點(diǎn)。粒子2經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后打在探測(cè)器上的N點(diǎn)。裝置內(nèi)部為真空狀態(tài)，忽略粒子重力及粒子間相互作用力。下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 粒子1可能為中子
B. 粒子2可能為電子
C. 若增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子1可能打在探測(cè)器上的Q點(diǎn)
D. 若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探測(cè)器上的Q點(diǎn)
答案:AD
解析：AB．由題圖可看出粒子1沒(méi)有偏轉(zhuǎn)，說(shuō)明粒子1不帶電，則粒子1可能為中子；粒子2向上偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則可知粒子2應(yīng)該帶正電，A正確、B錯(cuò)誤；
C．由以上分析可知粒子1為中子，則無(wú)論如何增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子1都不會(huì)偏轉(zhuǎn)，C錯(cuò)誤；
D．粒子2在磁場(chǎng)中洛倫茲力提供向心力有
解得可知若增大粒子入射速度，則粒子2的半徑增大，粒子2可能打在探測(cè)器上的Q點(diǎn)，D正確。
故選AD。
【典例4】(2023年6月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試）22. 離子速度分析器截面圖如圖所示。半徑為R的空心轉(zhuǎn)筒P，可繞過(guò)O點(diǎn)、垂直xOy平面（紙面）的中心軸逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（角速度大小可調(diào)），其上有一小孔S。整個(gè)轉(zhuǎn)筒內(nèi)部存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。轉(zhuǎn)筒下方有一與其共軸的半圓柱面探測(cè)板Q，板Q與y軸交于A點(diǎn)。離子源M能沿著x軸射出質(zhì)量為m、電荷量為 – q（q > 0）、速度大小不同的離子，其中速度大小為v0的離子進(jìn)入轉(zhuǎn)筒，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好沿y軸負(fù)方向離開磁場(chǎng)。落在接地的筒壁或探測(cè)板上的離子被吸收且失去所帶電荷，不計(jì)離子的重力和離子間的相互作用。
（1）①求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；
②若速度大小為v0的離子能打在板Q的A處，求轉(zhuǎn)筒P角速度ω的大?。?br>（2）較長(zhǎng)時(shí)間后，轉(zhuǎn)筒P每轉(zhuǎn)一周有N個(gè)離子打在板Q的C處，OC與x軸負(fù)方向的夾角為θ，求轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，C處受到平均沖力F的大??；
（3）若轉(zhuǎn)筒P的角速度小于，且A處探測(cè)到離子，求板Q上能探測(cè)到離子的其他θ′的值（θ′為探測(cè)點(diǎn)位置和O點(diǎn)連線與x軸負(fù)方向的夾角）。
答案:（1）①，②，k = 0，1，2，3…；（2），n = 0，1，2，…；（3），
解析：（1）①離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)有
則
②離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間
轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角度
，k = 0，1，2，3…
（2）設(shè)速度大小為v離子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑為，有
離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間
轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角度ω′t′ = 2nπ + θ
轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，n = 0，1，2，…
動(dòng)量定理
，n = 0，1，2，…
（3）轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度
其中k = 1，，n = 0，2
可得
練習(xí)3、(2023·全國(guó)Ⅰ卷)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，ab為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑．一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率．不計(jì)粒子之間的相互作用．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為( )
A．eq \f(7πm,6qB) B．eq \f(5πm,4qB)
C．eq \f(4πm,3qB) D．eq \f(3πm,2qB)
答案:C
解析：粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)qBv＝eq \f(mv2,r)，T＝eq \f(2πr,v)，可得粒子在磁場(chǎng)中的周期T＝eq \f(2πm,qB)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq \f(θ,2π)·T＝eq \f(θm,qB)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度無(wú)關(guān)，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)．采用放縮圓解決該問(wèn)題，粒子垂直ac射入磁場(chǎng)，則軌跡圓心必在ac直線上，將粒子的軌跡半徑由零逐漸放大．當(dāng)半徑r≤0.5R和r≥1.5R時(shí)，粒子分別從ac、bd區(qū)域射出，磁場(chǎng)中的軌跡為半圓，運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于半個(gè)周期．當(dāng)0.5R

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