1．下列數(shù)學(xué)經(jīng)典圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A． B．
C．D．
2．中，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，平行四邊形的對角線，相交于點(diǎn)O，則下列說法一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知正多邊形的一個(gè)外角為，則該正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．如圖，在中，，，，，則（ ）

A．8B．10C．12D．14
6．如圖，在四邊形中，，，，對角線平分，則的面積為（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．如圖，在菱形中，對角線、相交于點(diǎn)O，，，則菱形的面積是（ ）

A．18B．C．36D．
8．如圖，點(diǎn)E、F分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且．若，則的長為（ ）

A．1B．2C．3D．4
9．如圖，在的兩邊上分別截取、，使；分別以點(diǎn)A、B為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；連接、、、．若，四邊形的面積為，則的長為（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，在中，，D是邊上的點(diǎn)，若，，則的值為（ ）
A．13B．21C．25D．29
11．如圖，矩形中，對角線的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，若，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
12．如圖是某展館的平面圖，3個(gè)展區(qū)均為正方形，分別記為①、②、③．④是展區(qū)②和③的公共區(qū)域．已知展區(qū)①、②、③的邊長分別為10米，20米和30米，入口區(qū)域和出口區(qū)域的面積分別記為和，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
二．填空題（共6小題，每題3分，共18分）
13．如圖，已知，要使還需要添加的一個(gè)條件是 或 ．(只需寫出兩種情況，圖中不能再添加其它輔助線段)
14．如圖，兩張完全重合在一起的正三角形硬紙片，點(diǎn)O是它們的中心，若按住下面的紙片不動(dòng)，將上面的紙片繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，至少旋轉(zhuǎn) °的角后，兩張硬紙片所構(gòu)成的圖形是中心對稱圖形．
15．菱形的周長為，它的一條對角線長，則另一條對角線的長為 ．
16．已知中，，若，，則的面積為 ．
17．如圖，設(shè)是已知線段，經(jīng)過點(diǎn)B作，使，連接，在上截??；在上截取．已知線段的長為2，則線段的長為 ．
18．如圖，已知正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，且，連接，，若，則的最小值為 ．
三．解答題（共8小題，72分）
19．如圖，四邊形和都是平行四邊形．求證：四邊形是平行四邊形．
20．如圖，是等腰三角形，其中，，是線段上一點(diǎn)，滿足，連接，．
(1)求證：；
(2)求的長度．
21．如圖，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一機(jī)器人在點(diǎn)B處看見一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點(diǎn)O，機(jī)器人立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球．如果小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是多少？
22．一張矩形紙ABCD，將點(diǎn)B翻折到對角線AC上的點(diǎn)M處，折痕CE交AB于點(diǎn)E．將點(diǎn)D翻折到對角線AC上的點(diǎn)H處，折痕AF交DC于點(diǎn)F，折疊出四邊形AECF．
（1）求證：AFCE；
（2）當(dāng)∠BAC＝ 度時(shí)，四邊形AECF是菱形？說明理由．
23．四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分∠DAM．
(1)求證：AM=AD+MC．
(2)若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，試判斷AM=AD+MC是否成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；
24．如圖，在正方形中，，M為對角線上任意一點(diǎn)（不與B、D重合），連接，過點(diǎn)M作，交線段于點(diǎn)N．
(1)求證：；
(2)若，求證：．
25．如圖1，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，求的度數(shù)．
小明同學(xué)的想法是：不妨設(shè)，，，設(shè)法把相對集中，于是他將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（如圖2），然后連接，問題得以解決．
(1)求出圖2中的度數(shù)；
請你參考小明同學(xué)的方法，解答下列問題：
(2)如圖3，P是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，求的度數(shù)．
26．綜合探究：
“在中，、、三邊的長分別為、、，求這個(gè)三角形的面積”．
小明同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示，這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法．

(1)直接寫出圖1中的面積是______；
(2)若的邊長分別為、、（，，且），試運(yùn)用構(gòu)圖法在圖2中畫出相應(yīng)的，并求出的面積．
(3)拓展應(yīng)用：求代數(shù)式：的最小值．
參考答案與解析
1．A
【分析】
本題主要考查中心對稱圖形的識別，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)中心對稱圖形的概念：一個(gè)圖形如果繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與原圖形完全重合的圖形；由此問題可求解．
【解答】
解：選項(xiàng)中符合中心對稱圖形的只有A選項(xiàng)；
故選：A．
2．B
【分析】根據(jù)題意可得∠A和∠B互余，代入∠B-∠A=30°，即可得到答案.
【解答】解：∵ Rt△ABC中，∠C=90°
∴ ∠A+∠B=90°
∵ ∠B-∠A=30°
∴ ∠B-30°+∠B=90°
∴ ∠B=60°
故選 B
【點(diǎn)撥】此題主要考查了直角三角形兩余角間的關(guān)系，利用∠A表示∠B是解題的關(guān)鍵.
3．C
【分析】
由平行四邊形的性質(zhì)容易得出結(jié)論．
【解答】
解：四邊形是平行四邊形，
；
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)；熟記平行四邊形的對角線互相平分是解決問題的關(guān)鍵．
4．B
【分析】
本題考查了多邊形外角和是360度和正多邊形的性質(zhì)，根據(jù)多邊形外角和是360度，正多邊形的各個(gè)內(nèi)角相等，各個(gè)外角也相等，直接用可求得邊數(shù)．
【解答】解：∵多邊形外角和是360度，正多邊形的一個(gè)外角是，
∴，
即該正多邊形的邊數(shù)是8．
故選：B．
5．C
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得出，再求出答案即可．
【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，能求出和的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．
6．B
【分析】過D作于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的面積公式求出答案即可．
【解答】解：過D作于E，
∵，對角線平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選B．
【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積和角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．
7．B
【分析】
根據(jù)菱形性質(zhì)可證明是含的直角三角形，求出，進(jìn)而由勾股定理求出，即可求出的長，進(jìn)而菱形面積等于對角線乘積的一半解答即可．
【解答】
解：∵四邊形菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴
∴菱形的面積 ，
故選：B．
【點(diǎn)撥】本題主要考查直角三角形和菱形的性質(zhì)的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟記菱形的對角線垂直平分，本題難度一般．
8．A
【分析】
由點(diǎn)E、F分別是的中點(diǎn)，得，利用直角三角形斜邊中線得，即可求出答案．
【解答】解：∵點(diǎn)E、F分別是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
∵，
∴，
在中，，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)撥】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．B
【分析】
本題考查了基本作圖、菱形的判定與性質(zhì)．利用基本作圖得到，則可判斷四邊形為菱形，根據(jù)菱形的面積公式得到，從而可求出的長．
【解答】解：根據(jù)作圖，，
，
，
四邊形是菱形，
，四邊形的面積為，
，
解得．
故選：B．
10．B
【分析】
本題主要考查了勾股定理．熟練掌握勾股定理解直角三角形，是解決問題的關(guān)鍵．
先根據(jù)，求出的值，再運(yùn)用勾股定理求出的值．
【解答】
∵D是邊上的點(diǎn)， ，，
∴,
∵中，，
∴．
故選：B．
11．A
【分析】連接，證明，可得，由垂直平分線的性質(zhì)可得，利用勾股定理在中求，在中求，在中求，繼而得的長，由此可求得答案．
【解答】解：連接，設(shè)與交于點(diǎn)．
垂直平分，
，，
四邊形是矩形，
，
，
又，，
．
，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
12．B
【分析】
本題考查了列代數(shù)式，整式的加減．設(shè)④展區(qū)的寬，求得米，再求得、和的長，利用矩形的面積公式列式，比較即可得解．
【解答】解：由①、③的邊長得米，設(shè)④展區(qū)的寬，
∴米，米，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故選：B．
13．
【分析】
本題考查添加條件使得三角形全等，根據(jù)可得，公共邊對應(yīng)相等，因此可以按或者或者添加條件，從而得解．靈活掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
【解答】
解：添加條件是或，
∵，
∴，
①填，理由是：
在和中
∴；
②填，理由是：
∵在和中
，
∴，
故答案為：；．
14．60
【分析】首先根據(jù)圖示，可得原來的圖案是一個(gè)正三角形；然后要使兩張圖案構(gòu)成的圖形是中心對稱圖形，則兩張圖案構(gòu)成的圖形是正六邊形；最后根據(jù)正六邊形的中心角是60°，可得它至少旋轉(zhuǎn)60°，據(jù)此解答即可．
【解答】要使兩張圖案構(gòu)成的圖形是中心對稱圖形，
則兩張圖案構(gòu)成的圖形至少是正六邊形，
∵正六邊形的中心角是60°，
∴要使得兩張圖案構(gòu)成的圖形是中心對稱圖形，它至少旋轉(zhuǎn)60°．
故答案為：60．
【點(diǎn)撥】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案的知識，注意：在討論正多邊形的對稱性的時(shí)候，所有的正多邊形都是軸對稱圖形，只有偶數(shù)邊的正多邊形同時(shí)是中心對稱圖形．
15．12
【分析】
根據(jù)菱形四條邊都相等和對角線互相垂直且平分的性質(zhì)，計(jì)算出每條邊的長度，再在直角三角形中應(yīng)用勾股定理計(jì)算，可得出答案．
本題主要考查了菱形．熟練掌握菱形的四條邊都相等，兩條對角線互相垂直且互相平分，勾股定理解直角三角形，是解決本題的關(guān)鍵．
【解答】
設(shè)菱形，如圖所示，
∵菱形的周長為，
∴；
∵一條對角線的長為，設(shè)，
∴，
∴在中, ，
∴．
故答案為：12．
16．8
【分析】
本題考查了勾股定理、完全平方公式變形、三角形面積等，解題的關(guān)鍵是對代數(shù)式作恰當(dāng)?shù)淖冃危蛊淠軌蚯蟮萌切蔚拿娣e．
根據(jù)勾股定理及已知條件列出三角形三邊之間的關(guān)系，然后作適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q求得三角形的面積．
【解答】如圖．
根據(jù)勾股定理得：．
∵，
∴
∴．
∴，
∴．
∴．
故答案為：8．
17．##
【分析】
本題考查了勾股定理，以及線段的和差，先根據(jù)已知條件求出，利用勾股定理可得，進(jìn)而得到，最后利用即可解題．
【解答】
解：線段的長為2，
，
又，
，
由勾股定理得：，
，
，
故答案為：．
18．10
【分析】
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，延長到P使，連接，交于F，利用證明，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，可得，根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)A、F、P在一條直線上在一條直線上可得的長為的最小值，利用勾股定理求出的長即可得到答案．
【解答】
解：如圖，延長到P使，連接，交于F，
在和中，
，
，
，
，
，
，
∵點(diǎn)A、F、P在一條直線上，
的長為的最小值，
，
，，
，即的最小值為10．
故答案為：10．
19．見解答
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC，且AD∥BC，可證明四邊形ABCD為平行四邊形．
【解答】證明：∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD＝EF，且AD∥EF，
同理可得BC＝EF，且BC∥EF，
∴AD＝BC，且AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
【點(diǎn)撥】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩組對邊分別平行的四邊形?平行四邊形，②兩組對邊分別相等的四邊形?平行四邊形，③一組對邊平行且相等的四邊形?平行四邊形，④兩組對角分別相等的四邊形?平行四邊形，⑤對角線互相平分的四邊形?平行四邊形．
20．(1)見解析
(2)
【分析】
本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（2）解：設(shè)，
則，
∵，
∴，則，
解得：，
∴．
21．25cm
【分析】小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，得出BC=AC，由勾股定理可求得BC的長．
【解答】解：∵小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，即BC=CA，設(shè)AC為x，則OC=45﹣x，
由勾股定理可知OB2+OC2=BC2，
又∵OA=45，OB=15，
把它代入關(guān)系式152+（45﹣x）2=x2，
解方程得出x=25（cm）．
答：如果小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是25cm．
【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．
22．（1）見解析；（2）30，理由見解析．
【分析】（1）證出∠HAF＝∠MCE，即可得出AFCE；
（2）證出四邊形AECF是平行四邊形，再證出AF＝CF，即可得出四邊形AECF是菱形．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴ADBC，
∴∠DAC＝∠BCA，
由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝∠BCA，
∴∠HAF＝∠MCE，
∴AFCE；
（2）解：當(dāng)∠BAC＝30°時(shí)四邊形AECF為菱形，理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，ABCD，
由（1）得：AFCE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝60°．
∴∠ACD＝30°，
由折疊的性質(zhì)得∠DAF＝∠HAF＝30°，
∴∠HAF＝∠ACD，
∴AF＝CF，
∴四邊形AECF是菱形；
故答案為：30．
【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、平行線的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
23．(1)證明見解析；(2)AM=AD+MC仍然成立．
【分析】（1）從平行線和中點(diǎn)這兩個(gè)條件出發(fā)，延長AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1（1），易證△ADE≌△NCE，從而有AD=CN，只需再證明AM=NM即可．
（2）在圖2（1）中，仿照（1）中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立.
【解答】(1)證明：延長AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1(1)
∵四邊形ABCD是正方形
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE(AAS)
∴AD=NC．
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC．
(2)結(jié)論AM=AD+MC仍然成立．
證明：延長AE、BC交于點(diǎn)P，如圖2(1)，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
在△ADE和△PCE中，
∴△ADE≌△PCE(AAS)．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC
=AD+MC．
【點(diǎn)撥】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出△ADE≌△NCE，是一道基礎(chǔ)題目．
24．(1)證明見解析；
(2)證明見解析．
【分析】
本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，三角形全等的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)．
（1）作、，證四邊形是正方形得，再證，從而得，據(jù)此可得證；
（2）由（1）得，則有，即可求出，根據(jù)，可得，即可求解．
【解答】（1）證明：如圖，過M分別作交于E，交于F，
則四邊形是平行四邊形，
四邊形是正方形，
，
，
平行四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
證明：由（1）得，
，
，
，
．
25．(1)的度數(shù)是；
(2)的度數(shù)是
【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理逆定理的應(yīng)用，牢記相關(guān)知識是解題關(guān)鍵，
（1）設(shè)，，，證明為直角三角形，進(jìn)而求出結(jié)論；
（2）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設(shè)，，，證明為直角三角形，且，進(jìn)而求出結(jié)論．
【解答】（1）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，且，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，∵，
∴為直角三角形，且，
∴，
∴的度數(shù)是；
（2）解：如圖，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴設(shè)，，，
∴，，，
∴，
∴為直角三角形，且，
∴，
即的度數(shù)是．
26．(1)
(2)圖見解析，
(3)5
【分析】
（1）分割法求出三角形的面積即可；
（2）易得此三角形的三邊分別是直角邊長為m，的直角三角形的斜邊；直角邊長為的直角三角形的斜邊；直角邊長為的直角三角形的斜邊．同樣把它整理為一個(gè)長方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積．
（3）將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中軸上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離和的最小值，利用成軸對稱的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．
【解答】（1）解：由圖可知：的面積是；
故答案為：；
（2）的邊長分別為、、（，，且），
∴的三邊分別是直角邊長為m，的直角三角形的斜邊；直角邊長為的直角三角形的斜邊；直角邊長為的直角三角形的斜邊，構(gòu)造三角形如圖：

由圖可知：的面積是；
（3），可以看成平面直角坐標(biāo)系中軸上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離和的最小值，如圖：

設(shè)，，，則：，
過點(diǎn)作軸的對稱點(diǎn)，則：，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為的長，
∵，，
∴．
∴的最小值為5．
【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理與網(wǎng)格問題，坐標(biāo)與軸對稱．解題的關(guān)鍵是理解并掌握構(gòu)圖法，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．

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