云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附答案）

這是一份云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附答案），共20頁(yè)。試卷主要包含了 橢圓與橢圓的， 已知，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 橢圓與橢圓的（ ）
A. 長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B. 短軸長(zhǎng)相等C. 離心率相等D. 焦距相等
2. 在四邊形中，四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是，，，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
3. 各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，，則的前4項(xiàng)和（ ）
A. 40B. 121C. 27D. 81
4. 設(shè)m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，以下是真命題的為（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
5. 小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（ ）
A. 48B. 32C. 24D. 16
6. 若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為（ ）
A. 1B. C. D.
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
8. 將甲、乙等8名同學(xué)分配到3個(gè)體育場(chǎng)館進(jìn)行冬奧會(huì)的志愿服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)館不能少于2人，則不同的安排方法有（ ）
A. 2720B. 3160C. 3000D. 2940
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分；若只有兩個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，選對(duì)一個(gè)2分，選對(duì)兩個(gè)3分
9. 已知的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則展開(kāi)式中（ ）
A. 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256B. 第6項(xiàng)的系數(shù)最大
C. 存在常數(shù)項(xiàng)D. 有理項(xiàng)共有6項(xiàng)
10. 設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A. B. 若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C. D. 若，則的最大值為2
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，、都有，且，則（ ）
A B.
C. 增函數(shù)D. 是偶函數(shù)
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12 已知集合，，則___________
13. 將平面內(nèi)等邊與等腰直角（其中為斜邊），沿公共邊折疊成直二面角，若，且點(diǎn)在同一球的球面上，則球的表面積為_(kāi)_____.
14. 已知實(shí)數(shù)，滿足，，則__________．
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15. 滇池久負(fù)盛名，位于春城昆明，是我國(guó)西南地區(qū)最大的淡水湖，被譽(yù)為“高原明珠”．如圖，為計(jì)算滇池岸邊與兩點(diǎn)之間的距離，在岸邊選取和兩點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得，，，，．

（1）求的長(zhǎng)；
（2）求的長(zhǎng)．
16. 已知函數(shù).
（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
17. 如圖，在四棱錐中，平面，.
（1）求二面角正弦值；
（2）在棱上確定一點(diǎn)，使異面直線與所成角的大小為，并求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.
18. 已知橢圓與雙曲線的焦距之比為．
（1）求橢圓和雙曲線的離心率；
（2）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作軸交雙曲線于點(diǎn)P（P在第一象限），A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，與橢圓交于另一點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．
19. 設(shè)正整數(shù)數(shù)列，，，滿足，其中.如果存在，3，，，使得數(shù)列中任意項(xiàng)的算術(shù)平均值均為整數(shù)，則稱(chēng)為“階平衡數(shù)列”
（1）判斷數(shù)列2，4，6，8，10和數(shù)列1，5，9，13，17是否為“4階平衡數(shù)列”？
（2）若為偶數(shù)，證明：數(shù)列，2，3，，不“階平衡數(shù)列”，其中
（3）如果，且對(duì)于任意，數(shù)列均為“階平衡數(shù)列”，求數(shù)列中所有元素之和的最大值．云師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高二年級(jí)3月月考
數(shù)學(xué)試卷
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 橢圓與橢圓的（ ）
A. 長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B. 短軸長(zhǎng)相等C. 離心率相等D. 焦距相等
【答案】D
【解析】
【分析】求出兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距以及離心率，即可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為，
橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，
焦距為，離心率為，
所以，兩橢圓的焦距相等，長(zhǎng)軸長(zhǎng)不相等，短軸長(zhǎng)不相等，離心率也不相等.
故選：D.
2. 在四邊形中，四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是，，，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算.
【詳解】由題意，
則，，
.
故選：A
3. 各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，，則的前4項(xiàng)和（ ）
A. 40B. 121C. 27D. 81
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再根據(jù)前項(xiàng)和公式求值即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為,
故選：A.
4. 設(shè)m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，以下是真命題的為（ ）
A 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，借助于正方體，逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】
對(duì)于A,如上圖正方體中，設(shè)平面為，
平面為，為，
滿足，，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，，α、β是不同的平面，則必有，
故B正確；
對(duì)于C，如上圖正方體中，設(shè)平面為，
平面為，為，
滿足，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如上圖正方體中，設(shè)平面為，
為，為，
則滿足，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.
故選:B.
5. 小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（ ）
A. 48B. 32C. 24D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)相鄰問(wèn)題用捆綁法和不相鄰問(wèn)題用插空法即可求解.
【詳解】1與4相鄰，共有種排法，
兩個(gè)2之間插入1個(gè)數(shù)，
共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，
則總共有種密碼．
故選：C
6. 若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出平行于的直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)論．
【詳解】設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線時(shí)，，
則，而，解得，于是，
平行于的直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)到直線的最小距離即點(diǎn)到直線的距離．
故選：D
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式及已知有，再由及差角余弦公式得，最后由和角正弦公式有，即可求結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋Y(jié)合題設(shè)，
所以，而，
所以，
即，所以，
所以.
故選：D
8. 將甲、乙等8名同學(xué)分配到3個(gè)體育場(chǎng)館進(jìn)行冬奧會(huì)的志愿服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)館不能少于2人，則不同的安排方法有（ ）
A. 2720B. 3160C. 3000D. 2940
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知：共有兩種分配方式，一種是，一種是，結(jié)合分堆法運(yùn)算求解.
【詳解】共有兩種分配方式，一種是，一種是，
故不同的安排方法有.
故選：D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分；若只有兩個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，選對(duì)一個(gè)2分，選對(duì)兩個(gè)3分
9. 已知的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則展開(kāi)式中（ ）
A. 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256B. 第6項(xiàng)的系數(shù)最大
C. 存在常數(shù)項(xiàng)D. 有理項(xiàng)共有6項(xiàng)
【答案】BCD
【解析】
【分析】令即可求出的值，再寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，再一一判斷.
【詳解】解：令，得，則或（舍去）.
∴的展開(kāi)式的通項(xiàng).
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由題設(shè)展開(kāi)式共11項(xiàng)，第6項(xiàng)的系數(shù)最大，故B正確；
對(duì)于C，令，解得，故存在常數(shù)項(xiàng)為第三項(xiàng)，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，為有理項(xiàng)，故有理項(xiàng)共有項(xiàng)，故D正確.
故選：BCD.
10. 設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A. B. 若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C. D. 若，則的最大值為2
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)模的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，故，則，，故成立，故A正確，
對(duì)于B，，，顯然復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故B正確，
對(duì)于C，易知，，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，若，則，而，易得當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，故D正確.
故選：ABD
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?、都有，且，則（ ）
A. B.
C. 是增函數(shù)D. 是偶函數(shù)
【答案】BC
【解析】
【分析】通過(guò)賦值法求出函數(shù)解析式，然后逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】令，得，則，
令，則，①
令，則，
即，②
聯(lián)立①②可得，則，，A錯(cuò)B對(duì)，
函數(shù)為增函數(shù)，且為非奇非偶函數(shù)，C對(duì)D錯(cuò).
故選：BC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)的基本性質(zhì)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于對(duì)、進(jìn)行賦值，通過(guò)構(gòu)建方程組求解函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)進(jìn)行判斷.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知集合，，則___________
【答案】
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合，，利用集合的交集的定義即可求.
【詳解】因，，
所以.
故答案為：
13. 將平面內(nèi)等邊與等腰直角（其中為斜邊），沿公共邊折疊成直二面角，若，且點(diǎn)在同一球的球面上，則球的表面積為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用空間幾何體的外接球及球體表面積公式計(jì)算即可.
【詳解】
如圖所示取中點(diǎn)，連接，
根據(jù)題意易知，
又為等腰直角三角形，為等邊三角形，
所以可知，
易知點(diǎn)在直線上，設(shè)，球半徑為R，
所以，
故外接球的表面積為.
故答案為：
14. 已知實(shí)數(shù)，滿足，，則__________．
【答案】1
【解析】
【分析】由可變形為，故考慮構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性化簡(jiǎn)等式，由此可求.
【詳解】因?yàn)椋?jiǎn)得．
所以，又，
構(gòu)造函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)，在上都為增函數(shù)，
所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
由，∴，
解得，，
∴．
故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15. 滇池久負(fù)盛名，位于春城昆明，是我國(guó)西南地區(qū)最大的淡水湖，被譽(yù)為“高原明珠”．如圖，為計(jì)算滇池岸邊與兩點(diǎn)之間的距離，在岸邊選取和兩點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得，，，，．

（1）求的長(zhǎng)；
（2）求的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）中利用余弦定理可求長(zhǎng)；
（2）在中利用正弦定理可求長(zhǎng)．
【小問(wèn)1詳解】
在中，有，，．
由余弦定理，可得，
即，
整理可得，解得或（舍去），
故的長(zhǎng)為．
【小問(wèn)2詳解】
在中，有，，，
則．
由正弦定理，
可得，即的長(zhǎng)為．
16 已知函數(shù).
（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】（1）（2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）利用，解得，再檢驗(yàn)可得答案；
（2）求導(dǎo)后，對(duì)分和討論，根據(jù)可得增區(qū)間，可得遞減區(qū)間.
【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，?br>因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得（舍）或
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，
所以.
（2）若，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；
若，令，解得，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
綜上所述：，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)，考查了分類(lèi)討論思想，考查了由導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.
17. 如圖，在四棱錐中，平面，.
（1）求二面角的正弦值；
（2）在棱上確定一點(diǎn)，使異面直線與所成角的大小為，并求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求二面角；
（2）設(shè)，由空間向量法求異面直線所成的角得出，再由向量法求點(diǎn)面距．
【小問(wèn)1詳解】
以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)椋?br>所以，
則.
設(shè)平面的法向量，
則，取得，
設(shè)平面的法向量，
則，取得，
設(shè)二面角的大小為，則
，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，則
.
因?yàn)楫惷嬷本€與所成角的大小為，
所以，解得或（舍去）.
此時(shí)，
所以點(diǎn)到平面的距離.
18. 已知橢圓與雙曲線的焦距之比為．
（1）求橢圓和雙曲線的離心率；
（2）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作軸交雙曲線于點(diǎn)P（P在第一象限），A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，與橢圓交于另一點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．
【答案】18. 橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為
19. 證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合橢圓、雙曲線的方程與性質(zhì)運(yùn)算求解；
（2）由（1）可知，聯(lián)立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式分析證明.
【小問(wèn)1詳解】
橢圓的焦距，雙曲線的焦距，
則，整理得，
從而，，
故橢圓的離心率，雙曲線的離心率．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，橢圓，
因?yàn)?，所以直線的方程為．
聯(lián)立方程組，整理得，
則，則，
可得，即，
因?yàn)?，，?br>則，，
故．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與弦端點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題的解法
解決與弦端點(diǎn)有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問(wèn)題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．
19. 設(shè)正整數(shù)數(shù)列，，，滿足，其中.如果存在，3，，，使得數(shù)列中任意項(xiàng)的算術(shù)平均值均為整數(shù)，則稱(chēng)為“階平衡數(shù)列”
（1）判斷數(shù)列2，4，6，8，10和數(shù)列1，5，9，13，17是否為“4階平衡數(shù)列”？
（2）若為偶數(shù)，證明：數(shù)列，2，3，，不是“階平衡數(shù)列”，其中
（3）如果，且對(duì)于任意，數(shù)列均為“階平衡數(shù)列”，求數(shù)列中所有元素之和的最大值．
【答案】（1）2，4，6，8，10不是4階平衡數(shù)列；1，5，9，13，17是4階平衡數(shù)列；
（2）證明見(jiàn)解析 （3）12873．
【解析】
【分析】（1）由不為整數(shù)，數(shù)列1，5，9，13，17為等差數(shù)列，結(jié)合新定義即可得到結(jié)論；
（2）討論為偶數(shù)或奇數(shù)，結(jié)合新定義即可得證；
（3）在數(shù)列中任意兩項(xiàng)，，，作差可得數(shù)列中任意兩項(xiàng)之差都是的倍數(shù)，，討論數(shù)列的項(xiàng)數(shù)超過(guò)8，推得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)至多7項(xiàng).討論數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為7，數(shù)列的項(xiàng)數(shù)小于或等于6，奇數(shù)可得所求最大值.
【小問(wèn)1詳解】
由不為整數(shù)，
可得數(shù)列2，4，6，8，10不是4階平衡數(shù)列；
數(shù)列1，5，9，13，17為首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，
則數(shù)列1，5，9，13，17是4階平衡數(shù)列；
【小問(wèn)2詳解】
證明：若為偶數(shù)，設(shè)，
考慮1，2，3，，這項(xiàng)，其和為.
所以這項(xiàng)的算術(shù)平均值為：，此數(shù)不是整數(shù)；
若為奇數(shù)，設(shè)，，考慮1，2，3，4，5，，，；
這項(xiàng)，其和為，
所以這項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)為：，
此數(shù)不是整數(shù)；
故數(shù)列：1，2，3，4，，不是“階平衡數(shù)列”，其中；
【小問(wèn)3詳解】
在數(shù)列中任意兩項(xiàng)，，，
對(duì)于任意，在中任意取兩項(xiàng)，，相異的項(xiàng)，
并設(shè)這項(xiàng)和為.由題意可得，都是的倍數(shù)，
即，，，為整數(shù)），可得，
即數(shù)列中任意兩項(xiàng)之差都是的倍數(shù)，，
因此所求數(shù)列的任意兩項(xiàng)之差都是2，3，，的倍數(shù)，
如果數(shù)列的項(xiàng)數(shù)超過(guò)8，
那么，，，均為2，3，4，5，6，7的倍數(shù)，
即，，，均為420的倍數(shù)，
為2，3，4，5，6，7的最小公倍數(shù)），
，
即，這與矛盾，
故數(shù)列的項(xiàng)數(shù)至多7項(xiàng).
數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為7，
那么，，，均為2，3，4，5，6的倍數(shù)，
即，，，均為60的倍數(shù)，
為2，3，4，5，6的最小公倍數(shù)），
又，且，
所以，，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，，，取得最大值12873；
驗(yàn)證可得此數(shù)列為“階平衡數(shù)列”，，
如果數(shù)列的項(xiàng)數(shù)小于或等于6，由，
可得數(shù)列中所有項(xiàng)的之和小于或等于，
綜上可得數(shù)列中所有元素之和的最大值為12873.
【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查分類(lèi)討論思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力?推理能力，屬于難題.