一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.下列說法正確的是( )
A.棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形
B.底面是矩形的四棱柱是長方體
C.有一個(gè)面為多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐
D.直角三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐
2.若圓錐的表面積是底面積的3倍,則該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為( )
A.B.C.πD.
3.對(duì)于不同的直線m,n和平面α,β,α⊥β的一個(gè)充分條件是( )
A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n?α
C.m∥n,n⊥β,m?αD.m∥n,m⊥α,n⊥β
4.
如圖,在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為D1C1的中點(diǎn).過點(diǎn)B1,E,A的平面截該正方體所得的截面周長為( )
A.6+4B.4+2
C.5+3D.8+4
5.唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示.其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫,體現(xiàn)了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如圖2所示.已知球的半徑為R,酒杯內(nèi)壁表面積為πR2,設(shè)酒杯上部分(圓柱)的體積為V1,下部分(半球)的體積為V2,則=( )
A.2B.C.1D.
6.已知利用3D打印技術(shù)制作如圖所示的模型.該模型為在圓錐底內(nèi)挖去一個(gè)正方體后的剩余部分(正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐母線上,四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上),圓錐底面直徑為10 cm,母線與底面所成角的正切值為.打印所用原料密度為1 g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量約為( )(取π=3.14,精確到0.1)
A.609.4 gB.447.3 gC.398.3 gD.357.3 g
7.已知△ABC是面積為的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π,則O到平面ABC的距離為( )
A.B.C.1D.
8.菱形ABCD的邊長為2,現(xiàn)將△ACD沿對(duì)角線AC折起使平面ACD'⊥平面ACB,則此時(shí)所成空間四面體體積的最大值為( )
A.B.C.1D.
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分.
9.在正四面體A-BCD中,E,F,G分別是BC,CD,DB的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論中正確的是( )
A.BC∥平面AGFB.EG⊥平面ABF
C.平面AEF⊥平面BCDD.平面ABF⊥平面BCD
10.
如圖,已知圓錐的頂點(diǎn)為S,底面圓O的兩條直徑分別為AB和CD,且AB⊥CD,若平面SAD∩平面SBC=l,則以下結(jié)論正確的是( )
A.AD∥平面SBC
B.l∥AD
C.若E是底面圓周上的動(dòng)點(diǎn),則△SAE的最大面積等于△SAB的面積
D.l與平面SCD所成角的大小為45°
11.
如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E為棱CC1的中點(diǎn),F為棱AA1上的點(diǎn),且滿足A1F∶FA=1∶2,點(diǎn)F,B,E,G,H為過三點(diǎn)B,E,F的平面BMN與正方體ABCD-A1B1C1D1的棱的交點(diǎn),則下列說法正確的是( )
A.HF∥BE
B.三棱錐B1-BMN的體積為6
C.直線MN與平面A1B1BA的夾角是45°
D.D1G∶GC1=1∶3
12.如圖,點(diǎn)E為正方形ABCD邊CD上異于點(diǎn)C,D的動(dòng)點(diǎn),將△ADE沿AE翻折成△SAE,在翻折過程中,下列說法正確的是( )
A.存在點(diǎn)E和某一翻折位置,使得SB⊥SE
B.存在點(diǎn)E和某一翻折位置,使得AE∥平面SBC
C.存在點(diǎn)E和某一翻折位置,使得直線SB與平面ABC所成的角為45°
D.存在點(diǎn)E和某一翻折位置,使得二面角S-AB-C的大小為60°
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知一個(gè)圓柱的側(cè)面積等于表面積的一半,且其軸截面的周長是18,則該圓柱的體積是 .
14.正四棱錐P-ABCD,底面邊長為2,二面角P-AB-C為45°,則此四棱錐的體積為 .
15.
《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的鱉臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,CA=4,PA=2,D為AB中點(diǎn),E為△PAC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(含邊界),且PC⊥DE.①當(dāng)E在AC上時(shí),AE= ;②點(diǎn)E的軌跡的長度為 .
16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,∠BAD=60°.以D1為球心,為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為 .
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.
(10分)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,M,N分別是棱AA1,AB上的點(diǎn),且AM=AN=1.
(1)證明:M,N,C,D1四點(diǎn)共面;
(2)求幾何體AMN-DD1C的體積.
18.(12分)如圖,已知長方形ABCD中,AB=2,AD=1,M為DC的中點(diǎn).將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求證:AD⊥BM;
(2)點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)二面角E-AM-D大小為時(shí),試確定點(diǎn)E的位置.
19.
(12分)如圖,扇形AOB的圓心角為90°,半徑為2,四邊形SOBC為正方形,平面SOBC⊥平面AOB,過直線SC作平面SCMN交于點(diǎn)M,交OA于點(diǎn)N.
(1)求證:MN∥OB;
(2)求三棱錐S-MON體積的最大值.
20.
(12分)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱與底面垂直,且AA1=AB=AC=2,AB⊥AC,M,N分別是CC1,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段A1B1上,且=λ.
(1)求證:不論λ取何值,總有AM⊥PN;
(2)當(dāng)λ=1時(shí),求平面PMN與平面ABC夾角的余弦值.
21.
(12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1,AB=AC=AA1=1,M,N,P分別為A1C1,AB1,BB1的中點(diǎn),且AP⊥MN.
(1)求證:MN∥平面B1BCC1;
(2)求∠BAC;
(3)求二面角A1-PN-M的余弦值.
22.
(12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,E為PC上的點(diǎn),且BE⊥平面APC.
(1)求證:平面PAD⊥平面PBC;
(2)當(dāng)三棱錐P-ABC體積最大時(shí),求二面角B-AC-P的余弦值.
參考答案
單元質(zhì)檢卷七 空間向量與立體幾何
1.A 對(duì)于A,根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知,棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形,故A正確;
對(duì)于B,底面是矩形,若側(cè)棱不垂直于底面,這時(shí)的四棱柱是斜四棱柱,不是長方體,只有底面是矩形的直四棱柱才是長方體,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,有一個(gè)面為多邊形,其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐,只有其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體,才是棱錐,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐,如果繞著它的斜邊旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體則是兩個(gè)具有共同底面的圓錐,故D錯(cuò)誤.故選A.
2.C 設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,側(cè)面展開圖扇形的圓心角為θ,
根據(jù)條件得πrl+πr2=3πr2,即l=2r,
根據(jù)扇形面積公式得=πrl,
即θ==π,故選C.
3.C A選項(xiàng)中,根據(jù)m⊥n,m∥α,n∥β,得到α⊥β或α∥β,所以A錯(cuò)誤;
B選項(xiàng)中,m⊥n,α∩β=m,n?α,不一定得到α⊥β,所以B錯(cuò)誤;
C選項(xiàng)中,因?yàn)閙∥n,n⊥β,所以m⊥β,
又m?α,從而得到α⊥β,所以C正確;
D選項(xiàng)中,根據(jù)m∥n,m⊥α,所以n⊥α,而n⊥β,所以得到α∥β,所以D錯(cuò)誤.故選C.
4.A 如圖,取DD1的中點(diǎn)F,連接AF,EF,
顯然EF∥AB1,則四邊形AB1EF為所求的截面.
因?yàn)镈1E=C1E=2,所以B1E==2,AB1==4,EF==2,AF==2,所以截面的周長為6+4
5.A 設(shè)酒杯上部分(圓柱)的高為h,球的半徑為R,則酒杯下部分(半球)的表面積為2πR2,酒杯內(nèi)壁表面積為R2,得圓柱側(cè)面積為R2-2πR2=R2,酒杯上部分(圓柱)的表面積為2πR×h=R2,解得h=R,酒杯下部分(半球)的體積V2=R3=R3,酒杯上部分(圓柱)的體積V1=πR2R=R3,所以=2.故選A.
6.C 如圖是幾何體的軸截面,因?yàn)閳A錐底面直徑為10cm,所以半徑為OB=5cm.
因?yàn)槟妇€與底面所成角的正切值為tanB=,所以圓錐的高為PO=10cm.
設(shè)正方體的棱長為a,DE=a,則,解得a=5.
所以該模型的體積為V=10-53=-125(cm3).
所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為-125×1=-125≈398.3(g).
7.C 設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a,球O的半徑為R,△ABC的外接圓的半徑為r,則S△ABC=a2=,S球O=4πR2=16π,解得a=3,R=2.故r=a=設(shè)O到平面ABC的距離為d,則d2+r2=R2,故d==1.
故選C.
8.
A 設(shè)AC的中點(diǎn)為O,因?yàn)镈'C=D'A,所以D'O⊥AC.又因?yàn)槠矫鍭CD'⊥平面ACB,平面ACD'∩平面ACB=AC,所以D'O⊥平面ABC,設(shè)∠ABC=∠ADC=α,α∈(0,π),在△ACD中,DO=ADcs=2cs,由題意可知D'O=DO=2cs,S△ABC=2×2sinα=2sinα,VD'-ABC=S△ABC×D'O=sinαcssincs2sin1-sin20

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