1．某同學(xué)有一個(gè)形如圓臺(tái)的水杯如圖所示，已知圓臺(tái)形水杯的母線長(zhǎng)為，上、下底面圓的半徑分別為和.為了防燙和防滑，水杯配有一個(gè)杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如圖中陰影部分所示，則杯套的表面積為（不考慮水杯材質(zhì)和杯套的厚度）( )
A.B.C.D.
2．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，，，則此四面體的外接球表面積為( )
A.B.C.D.
3．已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個(gè)命題正確的是( )
A.若，且，則B.若，，，則
C.若，且，則D.若，，，則
4．在正四棱臺(tái)中，已知，，則側(cè)棱與底面所成角的正弦值為( )
A.B.C.D.
5．在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則( )
A.平面平面B.平面平面
C.平面平面D.平面平面
6．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足.若，，，則( )
A.B.C.D.
7．已知空間向量，，，若這三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8．在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的“曲池”，它的高為4，，，，均與“曲池”的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為2和4，對(duì)應(yīng)的圓心角為，則圖中異面直線與所成角的余弦值為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．如圖，在菱形ABCD中，，，沿對(duì)角線BD將折起，使點(diǎn)A，C之間的距離為.若P，Q分別為線段BD，CA上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.平面平面BCD
B.線段PQ長(zhǎng)度的最小值為
C.當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)D到直線PQ的距離為
D.當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點(diǎn)時(shí)，PQ與AD所成角的余弦值為
10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論正確的有( )
A.當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，總成立
B.當(dāng)E向運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角逐漸變小
C.二面角的最小值為
D.三棱錐的體積為定值
11．已知在直三棱柱中，底面是一個(gè)等腰直角三角形，且，E，F(xiàn)，G，M分別為，，，的中點(diǎn)，則( )
A.與平面夾角的余弦值為
B.與的夾角為
C.平面EFB
D.平面平面
三、填空題
12．在正方體中,E是的中點(diǎn),求與兩條異面直線所成角的余弦值為_(kāi)_____________.
13．已知平面四邊形ABCD中，點(diǎn)B，D在線段AC兩側(cè)，且線段AC的垂直平分線為直線BD，其中，，現(xiàn)沿BD進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置，且A′到C的距離為3，連接，，，則四面體體積的最大值為_(kāi)____________.
14．如圖，由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，，，，，平面平面.P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)_________時(shí)，直線DP與平面所成角的正弦值為.
四、解答題
15．如圖，在三棱錐中，平面平面，，O為BD的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
16．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，.
（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面DFE所成的二面角的正弦值最?。?br>17．如圖，四面體ABCD中，，，，E為AC的中點(diǎn).
（1）證明：平面平面ACD；
（2）設(shè)，，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.
18．在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，且平面平面ABEF，活動(dòng)彈珠（大小不計(jì)）M，N，G分別在線段AC，BF，AB上移動(dòng)，，平面MNG，記.
（1）證明：平面ABEF；
（2）當(dāng)MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，求二面角的余弦值.
19．如圖①，已知三棱錐，圖②是其平面展開(kāi)圖，四邊形ABCD為正方形，和均為正三角形，O，G分別為AC，PA的中點(diǎn)，.
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若點(diǎn)M在棱PC上，滿足，，點(diǎn)N在棱BP上，且，求的取值范圍.
參考答案與詳細(xì)解析
一、選擇題
1．答案：C
解析：根據(jù)題意，杯套的形狀可看作一個(gè)圓臺(tái)，且該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是圓臺(tái)形水杯的母線長(zhǎng)的，即，下底面圓的半徑為圓臺(tái)形水杯的下底面圓的半徑，即，上底面圓的半徑是，所以杯套的表面積.故選C.
2．答案：B
解析：根據(jù)題意，平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
將鱉臑補(bǔ)全成長(zhǎng)方體，如圖，
則此四面體的外接球的半徑為，
其外接球的表面積為.
故選：B.
3．答案：C
解析：若，且，則l與m可能平行，可能相交，可能異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若，，，則m與n可能平行，可能相交，可能異面，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
兩條平行直線，其中一條與平面垂直，則另一條也與平面垂直，C選項(xiàng)正確；
若，，，則與可能平行可能相交，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C
4．答案：B
解析：
由題意可得正四棱臺(tái)的截面圖，如圖所示，且為等腰梯形，過(guò)點(diǎn)做，過(guò)點(diǎn)做，由線面角的定義可知，側(cè)棱與底面所成角即為，
由條件可得，，,，則，,則，所以為等腰直角三角形，
所以，即.
故選：B.
5．答案：A
解析：對(duì)于A選項(xiàng)：在正方體中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以，則有，又由正方體的性質(zhì)可得，又，從而平面.又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以A選項(xiàng)正確.
對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫嫫矫?，由選項(xiàng)A知平面平面，若平面平面，則平面，顯然不成立，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于C選項(xiàng)：由題意知直線與直線必相交，故平面與平面有公共點(diǎn)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于D選項(xiàng)：如圖，連接，，，易知平面平面，
又因?yàn)槠矫媾c平面有公共點(diǎn)，故平面與平面不平行，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.
6．答案：C
解析：由題意知
.
故選C.
7．答案：A
解析：由題意得，存在實(shí)數(shù)x，y，滿足，即，所以解得故實(shí)數(shù)等于1.
8．答案：A
解析：設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為O，連接，，，，，
以O(shè)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，.
所以，
又異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成角的余弦值為.故選A.
二、多項(xiàng)選擇題
9．答案：ABD
解析：取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC.在菱形ABCD中，，，所以.
因?yàn)?，所以，所?
又因?yàn)?，O為BD的中點(diǎn)，所以，同理可得，
因?yàn)?，，，平面BCD，所以平面BCD.
因?yàn)槠矫鍭BD，所以平面平面BCD，故A正確.
又，，，故以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，.
當(dāng)，時(shí)，，，，，
所以點(diǎn)D到直線PQ的距離為，故C錯(cuò)誤.
設(shè)，，設(shè)，，得，，
當(dāng)且時(shí)，，故B正確.
當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點(diǎn)時(shí)，，，，，
設(shè)PQ與AD所成的角為，則，
所以PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確.故選ABD.
10．答案：ACD
解析：對(duì)于A，連接，，.
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以?br>因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>又，平面，所以平面.
又因?yàn)槠矫?，所以，同理可證.
又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以總成立，故A正確.
對(duì)于B，連接BD，平面EFB即平面，平面EFA即平面，所以當(dāng)E向運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的大小不變，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，
所以，
因?yàn)镋，F(xiàn)在上，且，
故可設(shè)，，，則，
由題易知平面ABC的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面ABE的法向量為，則
取，則，，故，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，
所以，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，取得最小值，故C正確.
對(duì)于D，因?yàn)椋c(diǎn)A到平面EFB的距離即為點(diǎn)A到平面的距離，為，所以，為定值，故D正確.故選ACD.
11．答案：BCD
解析：如圖①，以B為原點(diǎn)，BC，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有，，，，，，，，，，.
設(shè)平面的法向量為，則有令，可得平面的一個(gè)法向量為，則，
與平面夾角的正弦值為，則余弦值為，A錯(cuò)誤.
，與的夾角的余弦值為，則其夾角為，B正確.
如圖②，連接，，設(shè)，連接，，M分別為，的中點(diǎn)，且，為平行四邊形，則O為的中點(diǎn).
又為的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面，C正確.
連接，如圖②，由題可知平面即為平面，且，，又，平面，平面，又平面，則，又四邊形為正方形，則，又，平面，所以平面，又平面，平面平面，即平面平面，D正確.故選BCD.
三、填空題
12．答案：
解析：如圖,取的中點(diǎn),連接,,,
則,,所以,且,
故四邊形是平行四邊形,
則,故即為與所成角（或其補(bǔ)角）,
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,由勾股定理得,,
在中,由余弦定理得,
故與兩條異面直線所成角的余弦值為.
故答案為：.
13．答案：
解析：如圖，，，所以A點(diǎn)在以B，D為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為15的橢圓上，該橢圓中：，，即，，因此，
由橢圓性質(zhì)知A點(diǎn)到直線的距離的最大值為，
設(shè)與交于點(diǎn)O，因?yàn)?，即，?br>又，，平面，所以面，
，
，因此，而，因此，
，
所以時(shí)，取得最大值，
即取得最大值.
故答案為：.
14．答案：1
解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，，所以，.
設(shè)平面的法向量，所以
所以
取，可得平面的一個(gè)法向量，設(shè)，，所以，所以解得或（舍去），所以.
因?yàn)?，所?
四、解答題
15．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）證明：因?yàn)?，O為BD的中點(diǎn)，所以.
又平面平面，平面ABD，平面平面，
所以平面BCD.又平面BCD，所以.
（2）如圖，取OD的中點(diǎn)F，連接CF，則.
過(guò)點(diǎn)O作交BC于點(diǎn)G，則.所以O(shè)G，OD，OA兩兩垂直.
以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)G，OD，OA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖所示，
則，，，.
設(shè)，，又，則，所以，.
設(shè)平面BCE的法向量為，
則
令，則，，所以.
易知平面BCD的一個(gè)法向量為，因?yàn)槎娼堑拇笮椋?br>所以.
又，得，即，
所以
16．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC和的中點(diǎn)，且，
所以，.
連接AF，由，，得，
于是，
所以.
由，得，
故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，.
設(shè)，則，
于是.
所以，所以.
（2）平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)面DFE的一個(gè)法向量為，，，
則，所以，
令，得，，
所以，
所以.
設(shè)面與面DFE所成的二面角為，
則，
故當(dāng)時(shí)，面與面DFE所成的二面角的正弦值最小，為，
即當(dāng)時(shí)，面與面DFE所成的二面角的正弦值最小.
17．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）證明：因?yàn)樵诤椭校?，，?br>所以，所以.
又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)?，E為AC的中點(diǎn)，所以.
又，所以平面BED.
又因?yàn)槠矫鍭CD，所以平面平面ACD.
（2）由（1）得，又，所以為等邊三角形.
因?yàn)椋裕?
因?yàn)?，?br>所以是等腰直角三角形，所以，.
因?yàn)?，所以?br>于是在中，設(shè)h為的邊BD的高，
則由等面積可得，即.
連接EF，由（1）知平面BED，
又平面BED，所以，于是當(dāng)時(shí)，的面積最小，
此時(shí)，，，
所以此時(shí)F為線段BD上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn).
以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，.
設(shè)平面ABD的法向量為，
則即，令，則.
所以，
故直線CF與平面ABD所成的角的正弦值為.
18．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）證明：因?yàn)槠矫鍹NG，且平面ABEF，
平面平面，
所以.
因?yàn)椋?br>所以，
則，，
即，所以.
因?yàn)?，所以?br>又平面平面ABEF，平面平面，平面ABCD，
所以平面ABEF.
（2）由（1）知，平面ABEF，
因?yàn)槠矫鍭BEF，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
所以當(dāng)MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，，G為AB中點(diǎn).
以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BE，BC所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，.
設(shè)平面AMN的法向量為，則
取，可得.
設(shè)平面BMN的法向量為，則
取，可得.
所以，
由圖可知，二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.
19．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
解析：（1）證明：因?yàn)镺，G分別為AC，PA的中點(diǎn)，
在中，，，所以.
（2）如圖①，連接GB，OB，
在等邊中，，又，所以為二面角的平面角.
又，所以，，，
所以，所以，所以，
所以二面角的余弦值為.
（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)N作交CP于點(diǎn)Q，
因?yàn)?，所?因?yàn)椋?
在中，根據(jù)余弦定理，得，所以.
設(shè)，所以，，，
在中，根據(jù)余弦定理得，.
因?yàn)?，所?
在中，，
在中，，得，
又，所以，
即的取值范圍為，的取值范圍為

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