湖北省鄂東學校2023-2024學年高二下學期3月聯(lián)考數(shù)學試卷（Word版附解析）

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1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
一、單選題
1. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求導，再令，解出不等式即可.
【詳解】，令，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故選：A.
2. 函數(shù)的圖象在點處的切線方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用導數(shù)的幾何意義求切線方程.
【詳解】因為，所以，所以切點為，又，
由導數(shù)的幾何意義知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率，
故得函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，即為．
故選：B
3. 若函數(shù) 恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意得 有兩個不相等的零點，列出不等式組求解即可.
【詳解】依題意知， 有兩個不相等的零點，
故， 解得且 .
故選：D.
4. 已知函數(shù)，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求解最值即可.
【詳解】，令，得，
當，，為減函數(shù)，
當，，增函數(shù)，
又，則.
故選：C
5. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，是的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（ ）

A.
B
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)曲線的變化趨勢可判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的導數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，即可判斷出答案.
【詳解】由函數(shù)的圖象可知為單調(diào)遞增函數(shù)，
故函數(shù)在每一處的導數(shù)值，即得，
設(shè)，則連線的斜率為，
由于曲線是上升的，故，
作出曲線在處的切線，設(shè)為，連線為，
結(jié)合圖象可得的斜率滿足，
即，
故選：B
6. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由在上恒成立，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值得參數(shù)范圍．
【詳解】由題意，得，因為在上單調(diào)遞減，
所以在上恒成立，即，
令，則，
令，得，當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增.
所以的最小值為，所以，即的取值范圍為.
故選：D.
7. 若數(shù)列的前n項和滿足，則（ ）
A. 數(shù)列為等差數(shù)列
B. 數(shù)列為遞增數(shù)列
C. ，，不為等差數(shù)列
D. 的最小值為
【答案】D
【解析】
【分析】降次作差即可得到，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷A，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性即可判B，求出相關(guān)值即可判斷C，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】當時，，
當時，，∴，
對于A：不滿足，故A不正確；
對于B：，故B不正確；
對于C：，，，三項可構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為8，,故C不正確；
對于D：當時，，
當時，，
根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)知在時單調(diào)遞增，
則當時，有最小值，故的最小值為．故D正確.
故選：D．
8. 若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】將題干不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，令，利用導數(shù)研究函數(shù)最值即可求解.
【詳解】由題意得，，即，
令，因為，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則不等式轉(zhuǎn)化為，所以，則.
令，則，
則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，
所以當時，有最小值，即，則的最大值為.
故選：B
二、多選題
9. 下列函數(shù)的導數(shù)計算正確的是（ ）
A. 若函數(shù)，則
B. 若函數(shù)（且），則
C. 若函數(shù)，則（e是自然對數(shù)的底數(shù)）
D. 若函數(shù)，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，結(jié)合基本初等函數(shù)求導公式以及求導法則即可逐一求解.
【詳解】對于A，，所以，A錯誤，
對于B，，故B正確，
對于C，，C正確，
對于D，，D正確，
故選：BCD
10. 數(shù)列中，，，若，都有恒成立，則（ ）
A. 為等差數(shù)列B. 為等比數(shù)列
C. D. 實數(shù)的最小值為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式以及可證明是公差為2的等差數(shù)列，即可得，可判斷A正確，B錯誤，C正確；由不等式恒成立可得的最大值，再由數(shù)列的單調(diào)性即可判斷D錯誤.
【詳解】對于AB，根據(jù)題意可得，
即可得，所以是公差為2的等差數(shù)列，即A正確，B錯誤；
對于C，易知，所以，
此時可得，即，所以C正確；
對于D，由不等式可得，即；
不妨設(shè)數(shù)列，則，
，
所以當時，，可得；
當時，，可得；
即可得，，即第8項最大為，
所以的最大值即可，即，即實數(shù)的最小值為，D錯誤；
故選：AC
11. 已知為函數(shù)的導函數(shù)，當時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性逐項判斷即可.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，
對于AB選項，，即，可得，A錯B對；
對于CD選項，，即，D對，C無法判斷.
故選：BD.
三、填空題
12. 函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平均變化率公式及對數(shù)的運算法則計算可求解.
【詳解】在區(qū)間上的平均變化率為.
故答案為：.
13. 設(shè)橢圓的左右焦點為，，過點的直線與該橢圓交于，兩點，若線段的中垂線過點，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】由橢圓方程確定，，的值，結(jié)合已知條件及橢圓定義求出，在中，求出，由誘導公式求出，設(shè)，則，在中由余弦定理構(gòu)造方程，解出值即可.
【詳解】
設(shè)線段的中垂線與相交于點，由橢圓方程可知，
，，；由已知有：，點在橢圓上，
根據(jù)橢圓定義有：，所以，，
在中，，，
，點在橢圓上，根據(jù)橢圓定義有：，
設(shè)，則，，在中由余弦定理有：
,
解得，即.
故答案為：
14. 設(shè)，定義為的導數(shù)，即，，若的內(nèi)角A滿足，則______
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)導數(shù)公式直接進行求導，得到函數(shù)具備周期性，然后根據(jù)周期性將條件進行化簡，即可得到結(jié)論．
【詳解】因為，，
所以，，
，，
，，
所以具有周期性，且周期為，
由，，
得，
因為，
所以
，
所以，因為，所以，可得.
故答案為：.
四、解答題
15. 已知點和圓．
（1）過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程；
（2）點在圓上運動，滿足，求點的軌跡方程．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出圓心到直線的距離，對直線的斜率是否存在進行分類討論，利用點到直線的距離公式求出相應(yīng)的參數(shù)值，綜合可得出直線的方程；
（2）設(shè)點，利用中點坐標公式可得出點，將點的坐標代入圓的方程，化簡可得出點的軌跡方程.
【小問1詳解】
解：因為圓，所以，圓的圓心為，半徑，
因為直線過點，且被圓截得的弦長為，
所以，圓心到直線的距離為，
①當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，
即，則，解得，
故直線的方程為，即；
②當直線的斜率不存在時，因為直線過點，則直線的方程為，
圓心到直線的距離為，符合題意.
綜上所述，直線的方程為或．
【小問2詳解】
解：設(shè)點，因為，則點為線段的中點，
設(shè)點，由中點坐標公式可得，可得，即點，
因為點在圓上運動，則，可得，
故點的軌跡方程為．
16. 如圖，直三棱柱中，，且．
（1）證明：平面；
（2），分別為棱，的中點，點在線段上，若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．
【答案】16. 證明見解析
17.
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標系，用向量法證明可得平面.
（2）設(shè)，求出平面與平面的法向量，根據(jù)條件求值.
【小問1詳解】
設(shè)，
如圖，以為軸正半軸建立空間直角坐標系，
則，
所以
所以
又平面，所以平面.
【小問2詳解】
設(shè)，
∴，
，
設(shè)平面的一個法向量為，
，即，
令，得，
又平面的一個法向量為，
解得或（舍），即.
17. 各項均不為0的數(shù)列對任意正整數(shù)滿足：．
（1）若為等差數(shù)列，求；
（2）若，求的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由遞推關(guān)系首先得，進一步結(jié)合已知為等差數(shù)列，并在已知式子中令，即可得解.
（2）由（1）得時，數(shù)列是等差數(shù)列，故首先求得的值，進一步分類討論即可求解.
【小問1詳解】
由題意，
當時，，
兩式相減得，
因為為等差數(shù)列，在式子：中令，
得，所以，
所以或，
若，則，但這與矛盾，舍去，
所以.
【小問2詳解】
因為，所以，
而當時，，所以此時，
所以此時，
而也滿足上式，
綜上所述，的前項和.
18. 歐幾里德生活的時期，人們就發(fā)現(xiàn)橢圓有如下的光學性質(zhì):從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點.現(xiàn)有橢圓，長軸長為，從的左焦點發(fā)出的一條光線，經(jīng)內(nèi)壁上一點反射后恰好與軸垂直，且.
（1）求的方程;
（2）設(shè)點，若斜率不為0的直線與交于點均異于點，且在以MN為直徑的圓上，求到距離的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由題意，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，求得點的坐標，代入橢圓方程，即可求解；
（2）首先設(shè)直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示，即可求解直線的定點，并根據(jù)幾何關(guān)系，求點到直線距離的最大值.
【小問1詳解】
不妨設(shè)是的右焦點,
則軸,
又,
,
不妨設(shè)點,則,
又,
的方程為.
【小問2詳解】
設(shè),直線的方程為,
由，整理得,
則
故,
點在以MN為直徑的圓上,
，
，
,
,
即,
整理得:,
,
或,
當時,直線,過定點,
易知點橢圓內(nèi),
當時,直線,過定點,
此時定點為點，兩點中的一個與點重合,所以舍去,
直線方程:, 且直線恒過定點
點到距離最大值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是求得直線所過的定點.
19. 函數(shù).
（1）若函數(shù)在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若對任意的，當時，恒有，求實數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)，當時，的值域為.若存在，請給出證明，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題意可得函數(shù)在區(qū)間上存在極值，即在上有實數(shù)解，利用導數(shù)解得即可；
（2）由（1）可得在上單調(diào)遞減，故時，恒有，等價于，在上恒成立．令，則上述問題等價于函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用導數(shù)解得即可；
（3）由（1）知，在時，，．結(jié)合函數(shù)的圖象與直線的交點可知，存在實數(shù)m，n符合題意，其中n=1．故只要證明在內(nèi)有一解，即在內(nèi)有一解，令，利用判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)在上有零點，即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
由得，
當時，，當時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在處取得極大值，，
，解得，
即實數(shù)的取值范圍是.
【小問2詳解】
由（1）知在上單調(diào)遞減，
，由得
，
即，恒成立.
令，則上述問題等價于函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又在上恒成立，得在上恒成立，
而在上的最小值為，故得.
【小問3詳解】
由（1）知，在時，.
結(jié)合函數(shù)的圖象與直線的交點可知，存在實數(shù)符合題意，其中.
故只要證明在內(nèi)有一解，即在內(nèi)有一解，
令，則
由得，，
當時，，當時，，
在上，
又
存在，使得，滿足
，即在內(nèi)有一解.
綜上所述，存在實數(shù)，滿足當時的值域為.
【點睛】（1）利用導數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性的步驟：①明確定義域；②求導；③令導數(shù)等于零；④結(jié)合導數(shù)的零點，分割定義域，分別研究不同區(qū)間上導數(shù)與零的大??；⑤根據(jù)導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，可得結(jié)論.
（2）證明雙變量不等式常用方法——構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，可得證.