考試時間：2023年11月15日上午08:00-10:00 試卷滿分：150分
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．命題“，使得”的否定為（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，若，則的值是（ ）
A．0B．3C．D．3，0
3．下列命題為真命題的是（ ）
A．若．則B．若．則
C．若，則D．若均為實數，則
4．若，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數．那么函數的定義域是（ ）
A．B．C．D．
6．已知是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
7．函數的圖像不可能是（ ）
A．B．C．D．
8．關于的方程有兩個相等的正根，則（ ）
A．有最大值B．有最大值C．有最小值D．有最小值
二、多選題（本小題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）
9．設集合．
則下列關系中正確的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知關于的不等式的解集為，則（ ）
A．函數有最大值
B．
C．
D．的解集為
11．已知條件“函數是定義在上的增函數”，下列哪些是的充分不必要條件（ ）
A．B．C．D．
12．如果我們把集合的所有子集組成的集合叫做集合的冪集，記為．用表示有限集的元素個數．下列命題中正確的是（ ）
A．若，則；
B．存在集合，使得；
C．若，則；
D．若，則．
三、填空題（本小題共4小題，每小題5分，共20分）
13．已知全集是小于9的自然數，，則______．
14．已知函數滿足，則函數值域為______．
15．已知函數，若關于的不等式恰有1個整數解，則實數的最大值是______．
16．設函數的定義域為，如果存在區(qū)間，使得在上值域為且單調，則稱為函數的保值區(qū)間．已知冪函數在上是單調增函數．
（1）函數的解析式______；
（2）若函數存在保值區(qū)間，則實數的取值范圍是______．
四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（1）已知，求的取值范圍；
（2）若，且，求的最小值．
18．（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設全部溶解），糖水變甜了．請將這一事實表示為一個不等式，不必證明．利用此結論證明：若為三角形的三邊長，則．
（2）超市里面提供兩種糖：白糖每千克元，紅糖每千克元．小東買了相同質量的兩種糖，小華買了相同價錢的兩種糖．請問誰買的糖的平均價格比較高？請證明你的結論．（物品的平均價格物品的總價錢物品的總質量）
19．已知函數．
（1）若函數圖像關于對稱，求不等式的解集；
（2）若當時函數的最小值為2，求當時，函數的最大值．
20．設函數的定義域是，且對任意的正實數都有恒成立，當時，．
（1）判斷并證明函數在上的單調性：
（2）若，求不等式的解集．
21．為迎接購物節(jié)，某家具廠在直播平臺主推一款網紅床（每套床包括1張床和2個床頭柜）．根據大數據預測，家具廠應先制作1013套網紅床以應對本次搶購．為了盡快完成訂單，該廠將100名技術工人分成兩組，一組只制作床，另一組只制作床頭柜．已知每張床和每個床頭柜制作的工作量分別為3人1天和1人1天．若兩組同時開工，問如何安排兩組人數才能使得工期最短？
22．函數的圖像關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，可以將其推廣為：函數的圖像關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數．給定函數．
（1）根據上述材料求函數的對稱中心；
（2）判斷的單調性（無需證明），恒成立，求的取值范圍．
2023年秋季鄂東南省級示范高中教育教學改革聯盟學校期中聯考
高一數學參考答案
7．【詳解】 函數的定義域為，且，
所以該函數為偶函數，下面只討論時的情況：，
當時，，圖象為C；
當時，，圖象為B；
若時，函數單調遞增，圖象為D；
所以函數的圖象可能為BCD．故選：A．
8．【解析】 因原方程有兩個相等的正根，所以且．
當且僅當時取等號
故選B．
9．【解析】 集合是函數的定義域．集合是函數的值域，故A正確；
集合是數集，集合是點集，故B、C錯誤；
有兩組解，故有兩個點，故D正確．
10．【詳解】 因為不等式的解集為，所以，函數有最大值，A正確；且，函數值B正確；
又是關于的二次方程的兩根，則，所以，則C錯；
不等式即為，即，解得或，，D正確．故選：ABD．
11．【詳解】 函數是定義在上的增函數的充要條件是：
解得．又與都是的真子集，
故“”、“”是“函數是定義在上的增函數”的充分不必要條件．故選：BC．
12．【詳解】 對于A，若，則的子集之一就是，所以，故A正確；
對于B，若，則，故B錯誤；
對于C，若，則的公共子集只有空集，故，故C正確；
對于D，若，不妨設，則，
，顯然，故D錯誤．
故選：AC．
13．．
14．
【解答】 令，則，所以，
所以的解析式為，其中．
當時，，所以值域為
15．3
【解析】 解：函數，如圖所示，
不等式恰有1個整數解，
當時，則，結合圖像觀察，唯一的整數解是1，
依題意得，
當時，則，此時不會是最大的；
所以實數的最大值是3
16．（1）（2）．
【詳解】 （1）因為冪函數在上是單調增函數，
所以，解得，
所以函數的解析式為．
（2）因為函數在上單調遞增，
若存在保值區(qū)間，則，即，
也就是方程在上有兩個不等的實根，
令，得，
所以在上有兩個不等的實根，
令，
則，即，解得，
故實數的取值范圍是
17．解：（1）設，其中，
則，解得，即，
所以的取值范圍為
（2）設，則．
當且僅當，即時，等號成立，（等號成立條件沒寫建議扣2分）
所以的最小值為．
18．解：（1）糖水變甜了得出不等式．
設的三邊長分別為，則有，
由上述不等式可得：，
將以上不等式左右兩邊分別相加得：，
所以，．
（2）對于小東而言，他買到的糖的平均價格為（元/千克），
對于小華而言，設小華買兩種糖的費用均為元，則他買到的糖的總質量為千克，
故小華買到的糖的平均價格為（元/千克），
，即小東買到的糖的平均價格較高．
19．解：（1）圖像關于對稱，
，解得，且
所以，原不等式的解集為，且；
（2）因為是二次函數，圖像拋物線開口向上，對稱軸為，
①若，則在上是增函數，
，解得，
；
②若，則在上是減函數，
，解得（舍）；
③若，則在上是減函數，在上是增函數；
，解得或（舍）
綜上，當時，的最大值為11；當時，最大值為6．
20．解：（1）在上為增函數
設，則即，
，故，即
故在上為增函數
（2）由得：
，
所以，
解得或，
所以不等式的解集為：或
21．解：設人制作床，則人制作床頭柜，．
由已知條件得，完成床時間為，完成床頭柜時間為，
套床完成時間為
由，得，
且，
當單調遞減，最小值為，
當在單調遞增，
最小值為，即，
所以安排60人制作床，40人制作床頭柜工期最短．
22．解：（1）由題意，設函數，
則函數，
整理得：，
又由是奇函數，得，
即解得，
故函數的對稱中心為．
（2）函數是上的增函數
理由是：由（1）得：函數是上的增函數，
結合函數圖像平移可知，函數是上的增函數（理由不作要求）
由，得，
即，
又，
則，
是上的增函數
恒成立，1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
B
C
D
C
A
B
AD
ABD
BC
AC

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