2023年春季鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：2023年4月10日下午15：00-17：00 試卷滿分：150分一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在x=3處的導(dǎo)數(shù)為（    ）A.2    B.1    C.-1    D.-22.已知.則（    ）A.6    B.7    C.8    D.9
3.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（    ）A.    B.C.    D.4.已知直線l是曲線的切線，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1，直線l與x軸和y軸分別相交于A?B兩點(diǎn)，則△OAB面積為（    ）A.    B.1    C.    D.5.某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬(wàn)元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線數(shù)約為（    ）（單位：萬(wàn)元）參考數(shù)據(jù)：A.2.438    B.19.9    C.22.3    D.24.36.學(xué)校音樂(lè)團(tuán)共有10人，其中4人只會(huì)彈吉他，2人只會(huì)打鼓，3人只會(huì)唱歌，另有1人既能彈吉他又會(huì)打鼓.現(xiàn)需要1名主唱，2名吉他手和1名鼓手組成一個(gè)樂(lè)隊(duì)，則不同的組合方案共有（    ）A.36種    B.78種    C.87種    D.90種7.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且為偶函數(shù)，則不等式的解集為（    ）A.    B.    C.    D.8.已知函數(shù)，有且只有一個(gè)負(fù)整數(shù)，使成立，則的取值范圍是（    ）A.    B.    C.    D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在的二項(xiàng)展開式中，下列說(shuō)法正確的有（    ）A.常數(shù)項(xiàng)為第三項(xiàng)B.展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為729C.展開式系數(shù)最大項(xiàng)為第三項(xiàng)D.展開式中系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)為24010.對(duì)于數(shù)列，把它連續(xù)兩項(xiàng)與的差記為得到一個(gè)新數(shù)列，稱數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列.若，則數(shù)列是的二階差數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的p階差數(shù)列.如果某數(shù)列的p階差數(shù)列是一個(gè)非零的常數(shù)列，則稱此數(shù)列為p階等差數(shù)列?如數(shù)列1，3，6，10.它的前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4.新數(shù)列2，3，4的前后兩項(xiàng)之差再組成新數(shù)列1，1，1，新數(shù)列1，1，1為非零常數(shù)列，則數(shù)列1，3，6，10稱為二階等差數(shù)列.已知數(shù)列滿足且，則下列結(jié)論中正確的有（    ）A.數(shù)列為二階等差數(shù)列B.數(shù)列為三階等差數(shù)列C.數(shù)列的前n項(xiàng)和為D.若數(shù)列為k階等差數(shù)列，則的前n項(xiàng)和為階等差數(shù)列11.已知函數(shù)，其中且，則下列說(shuō)法正確的有（    ）A.的對(duì)稱中心為B.恰有兩個(gè)零點(diǎn)C.若方程有三個(gè)不等的實(shí)根，則D.若方程的三個(gè)不等實(shí)根分別為，則12.建筑師高迪曾經(jīng)說(shuō)：直線屬于人類，而曲線屬于上帝，一切靈感來(lái)源于自然和幻想，靈活生動(dòng)的曲線和簡(jiǎn)潔干練的直線，在生活中處處體現(xiàn)了幾何藝術(shù)美感，我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關(guān)系，如由在點(diǎn)處的切線寫出不等式，進(jìn)而用替換x得到一系列不等式，疊加后有這些不等式同樣體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美.運(yùn)用類似方法推導(dǎo)，下面的不等式正確的有（    ）A.B.C.D.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.己知函數(shù)，則的值為__________.14.已知某等比數(shù)列首項(xiàng)為4，其前三項(xiàng)和為12，則該數(shù)列前四項(xiàng)的和為__________.15.用0~9十個(gè)數(shù)字排成三位數(shù)，允許數(shù)字重復(fù)，把個(gè)位?十位?百位的數(shù)字之和等于9的三位數(shù)稱為“長(zhǎng)久數(shù)”，則“長(zhǎng)久數(shù)”一共有__________個(gè).16.函數(shù)的值域是實(shí)效集R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17，某班兩位老師和6名學(xué)生出去郊游，分別乘坐兩臺(tái)車，每臺(tái)車可以坐4人.（1）若要求兩位老師分別坐在兩臺(tái)車上，問(wèn)共有多少種分配方法？（2）郊游結(jié)束后，大家在景點(diǎn)合影留念，若要求8人站成一排且兩名老師不能相鄰，問(wèn)共有多少種站法（列式并用數(shù)字作答）？18.已知函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)是-1（1）求函數(shù)的極值：（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.20.在探究的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)時(shí).我們把二項(xiàng)式系數(shù)寫成一張表，借助它發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的一些規(guī)律，我們稱這個(gè)表為楊輝三角（如圖1），小明在學(xué)完楊輝三角之后進(jìn)行類比探究，將的展開式按x的降冪排列，將各項(xiàng)系數(shù)列表如下（如圖2）；上表圖2中第n行的第m個(gè)數(shù)用表示，即“展開式中的系數(shù)為（1）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)表示（無(wú)需證明）：（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)求和方法求出三項(xiàng)式展開式中x的奇次項(xiàng)系數(shù)之和.21.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且（1）求的通項(xiàng)公式（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在p?q使恒成立，若存在，求出p?q的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間：（2）若方程的兩個(gè)實(shí)根分別為（其中），求證：2023年春季鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)參考答案123456789101112ACBCCBDACDABDABDBC13.0    14.16或-20    15.45    16.8.【詳解】已知函數(shù)，則有且只有一個(gè)負(fù)整數(shù)解.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值-1.設(shè)，則恒過(guò)點(diǎn)在同一坐標(biāo)系中分別作出和的簡(jiǎn)圖，顯然，依題意得且即且，解得.故選：A.10.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，兩式相減得：，即故，，故數(shù)列為二階等差數(shù)列，故A正確；對(duì)數(shù)列，它的一階差數(shù)列為，為二階等差數(shù)列，故為三階等差數(shù)列，故B正確；，故的前項(xiàng)和為，故C錯(cuò)誤；對(duì)數(shù)列，它的一階差數(shù)列為，為階等差數(shù)列，故為階等差數(shù)列，故D正確.故選：ABD11.【詳解】由于，故對(duì)稱中心為，A選項(xiàng)正確；，當(dāng)時(shí)，，其中為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)，其中，由于，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩種情況下均只有兩個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于的三個(gè)零點(diǎn)分別為故，即故因此，D選項(xiàng)正確.故選：ABD12.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)：時(shí)不等式左右兩端相等，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)：將中的替換為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，可得，所以，故，其中，所以，B正確；C選項(xiàng)：將中的替換為，顯然，則，故，當(dāng)時(shí)，，故成立；當(dāng)時(shí)，顯然成立，故正確；選項(xiàng)：將中的替換為，其中，且，則，則，故，則，又，D錯(cuò)誤.故選：15.【詳解】設(shè)對(duì)應(yīng)個(gè)位到百位上的數(shù)字，則且，相當(dāng)于將9個(gè)表示1的球與2個(gè)表示0的球排成一排，即10個(gè)空用2個(gè)隔板將其分開，故共種.故答案為：45.16.【詳解】函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集，則能取遍內(nèi)所有的數(shù).，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)值域恒為；當(dāng)時(shí)，令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為，成立，令，在上單調(diào)遞增且，故.綜上：.17.（1）40（2）30240【詳解】（1）八個(gè)人坐兩臺(tái)車，只需要考慮車坐的人，先選一位老師坐入車，共種選法，再選三名學(xué)生坐入車，共種選法，因此共有種分配方式；（2）先讓6名學(xué)生排隊(duì)，共種方法，然后兩名老師插入7個(gè)空隙，共種方法，因此共有種站法.18.【詳解】（1），有一個(gè)極值點(diǎn)是，即又，-13-0+0-單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，有極小值，極小值為.當(dāng)時(shí)，有極大值，極大值為.（2）由（1）知，在上遞減，上遞增，上遞減，又在上的最大值為.在上的最小值為.19.（1）    （2）【詳解】（1）時(shí)顯然時(shí)時(shí)也滿足該等式，故，（2），.因此20.【詳解】（1）.（2）由題意，設(shè)，當(dāng)時(shí)①當(dāng)時(shí)，②①-②得：，即展開式中的奇次項(xiàng)系數(shù)之和為-16.21.【詳解】（1），，為正項(xiàng)數(shù)列，，即.（2），，，，又恒成立，解得：，存在滿足條件.22.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知，在上遞增，上遞減的兩個(gè)零點(diǎn)下面先證明：要證，只需證只需證，即證，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，即在上遞增，，即成立，.下面證明：是函數(shù)的零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為，要證：即證.又在上遞增，上遞減，則則.要證即證即，令，，，即，即單調(diào)遞增，又，單調(diào)遞減，，即，成立，即成立，綜上所述：.

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