【問題引入】 “白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》里的一句詩(shī)。而由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。
【問題描述】如圖，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營(yíng)，問：將軍怎么走能使得路程最短？
【問題簡(jiǎn)化】如圖，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最?。?br/>【問題分析】這個(gè)問題的難點(diǎn)在于PA+PB是一段折線段，通過觀察圖形很難得出結(jié)果，關(guān)于最小值，我們知道“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處，需轉(zhuǎn)化問題，將折線段變?yōu)橹本€段．
【問題解決】作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
當(dāng)A’、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA’+PB=A’B， 此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）
【思路概述】 作端點(diǎn)（點(diǎn)A或點(diǎn)B）關(guān)于折點(diǎn)（上圖P點(diǎn)）所在直線的對(duì)稱，化折線段為直線段．
【一定兩動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)】在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使得△PMN周長(zhǎng)最小．
此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA（折點(diǎn)M所在直線）、OB（折點(diǎn)N所在直線）的對(duì)稱點(diǎn)，化折線段PM+MN+NP為P’M+MN+NP’’，當(dāng)P’、M、N、P’’共線時(shí)，△PMN周長(zhǎng)最?。?br/>【兩定兩動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)】在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N使得四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小。
【一定兩動(dòng)之點(diǎn)線】在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。
三、幾何圖形中的將軍飲馬
【尋找?guī)缀螆D形中端點(diǎn)關(guān)于折點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)位置】
【分析】此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN’．
因?yàn)镸、N皆為動(dòng)點(diǎn)，所以過點(diǎn)C作AB的垂線，可得最小值，選C．
【分析】先考慮M為折點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于OM對(duì)稱點(diǎn)P’，化AM+MP+PN為AM+MP’+P’N
此處P’為折點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于OP’對(duì)稱點(diǎn)N’，化AM+MP’+P’N為AM+MP’+P’N’
當(dāng)A、M、P、’N’共線且AN’⊥ON’時(shí)，值最?。?

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