專題03 分式（講義）-備戰(zhàn)2024年中考數學一輪復習-備戰(zhàn)2024年中考數學一輪復習（全國通用）-試卷下載-教習網

1.了解分式、分式方程的概念，進一步發(fā)展符號感；
2．熟練掌握分式的基本性質，會進行分式的約分、通分和加減乘除四則運算，發(fā)展學生的合情推理能力與代數恒等變形能力；
3．能解決一些與分式有關的實際問題，具有一定的分析問題、解決問題的能力和應用意識；
4．通過學習能獲得學習代數知識的常用方法，能感受學習代數的價值。
考點1：分式的概念
1.定義：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
2.最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式；
3.分式有意義的條件：B≠0；
4.分式值為0的條件：分子=0且分母≠0
考點2：分式的基本性質
分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質叫做分式的基本性質，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
考點3：分式的運算
考點4：分式化簡求值
有括號時先算括號內的；
分子/分母能因式分解的先進行因式分解；
進行乘除法運算
約分；
進行加減運算，如果是異分母分式，需線通分，變?yōu)橥帜阜质胶?，分母不變，分子合并同類項? 最終化為最簡分式；
帶入相應的數或式子求代數式的值
【題型1：分式的相關概念】
【典例1】（2022?懷化）代數式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】B
【解答】解：分式有：，，，
整式有：x，，x2﹣，
分式有3個，
故選：B．
【典例2】（2023?廣西）若分式有意義，則x的取值范圍是（）
A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2
【答案】A
【解答】解：∵分式有意義，
∴x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故選：A．
1．（2022?涼山州）分式有意義的條件是（）
A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0
【答案】B
【解答】解：由題意得：
3+x≠0，
∴x≠﹣3，
故選：B．
2．（2023?涼山州）分式的值為0，則x的值是（）
A．0B．﹣1C．1D．0或1
【答案】A
【解答】解：∵分式的值為0，
∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0，
故選：A．
【題型2：分式的性質】
【典例3】（2023?蘭州）計算：＝（）
A．a﹣5B．a+5C．5D．a
【答案】D
【解答】解：
＝
＝a，
故選：D．
1．（2020?河北）若a≠b，則下列分式化簡正確的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】D
【解答】解：∵a≠b，
∴，故選項A錯誤；
，故選項B錯誤；
，故選項C錯誤；
，故選項D正確；
故選：D．
2．（2023?自貢）化簡：＝ x﹣1 ．
【答案】x﹣1．
【解答】解：原式＝
＝x﹣1．
故答案為：x﹣1．
【題型3：分式化簡】
【典例4】（2023?廣東）計算的結果為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：
＝
＝．
故本題選：C．
1．（2023?河南）化簡的結果是（）
A．0B．1C．aD．a﹣2
【答案】B
【解答】解：原式＝＝1．
故選：B．
2．（2023?赤峰）化簡+x﹣2的結果是（）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解答】解：原式＝+
＝
＝，
故選：D．
【題型4：分式的化簡在求值】
【典例5】（2023?深圳）先化簡，再求值：（+1）÷，其中x＝3．
【答案】，．
【解答】解：原式＝?
＝?
＝，
當x＝3時，原式＝＝．
1．（2023?遼寧）先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．
【答案】見試題解答內容
【解答】解：原式＝（﹣）?
＝?
＝x+2，
當x＝3時，原式＝3+2＝5．
2．（2023?大慶）先化簡，再求值：，其中x＝1．
【答案】見試題解答內容
【解答】解：原式＝﹣+
＝
＝
＝
＝，
當x＝1時，原式＝＝．
3．（2023?西寧）先化簡，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的兩個根．
【答案】，6．
【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）
＝×a（a﹣b）﹣
＝﹣
＝；
∵a，b是方程 x2+x﹣6＝0 的兩個根，
∴a+b＝﹣1 ab＝﹣6，
∴原式＝．
1．（2023春?汝州市期末）下列分式中，是最簡分式的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：A、＝，不是最簡分式，不符合題意；
B、＝＝，不是最簡分式，不符合題意；
C、是最簡分式，符合題意；
D、＝＝﹣1，不是最簡分式，不符合題意；
故選：C．
2．（2023秋?岳陽樓區(qū)校級期中）如果把分式中的x和y都擴大2倍，那么分式的值（）
A．不變B．擴大2倍C．擴大4倍D．縮小2倍
【答案】B
【解答】解：∵
＝
＝×2，
∴如果把分式中的x和y都擴大2倍，那么分式的值擴大2倍，
故選：B．
3．（2023?河北）化簡的結果是（）
A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6
【答案】A
【解答】解：x3（）2
＝x3?
＝xy6，
故選：A．
4．（2023秋?來賓期中）若分式的值為0，則x的值是（）
A．﹣2B．0C．2D．
【答案】C
【解答】解：由題意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，
解得：x＝2，
故選：C．
5．（2023秋?青龍縣期中）分式的最簡公分母是（）
A．3xyB．6x3y2C．6x6y6D．x3y3
【答案】B
【解答】解：分母分別是x2y、2x3、3xy2，故最簡公分母是6x3y2；
故選：B．
6．（2023春?沙坪壩區(qū)期中）下列分式中是最簡分式的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解；A、是最簡二次根式，符合題意；
B、＝，不是最簡二次根式，不符合題意；
C、＝＝，不是最簡二次根式，不符合題意；
D、＝﹣1，不是最簡二次根式，不符合題意；
故選：A．
7．（2023春?原陽縣期中）化簡（1+）÷的結果為（）
A．1+xB．C．D．1﹣x
【答案】A
【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．
故選：A．
8．（2023?門頭溝區(qū)二模）如果代數式有意義，那么實數x的取值范圍是（）
A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2
【答案】A
【解答】解：由題意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故選：A．
9．（2023春?武清區(qū)校級期末）計算﹣的結果是（）
A．B．C．x﹣yD．1
【答案】B
【解答】解：﹣
＝
＝．
故答案為：B．
10．（2023春?東?？h期末）根據分式的基本性質，分式可變形為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：＝﹣，
故選：C．
11．（2023秋?萊州市期中）計算的結果是 ﹣x ．
【答案】﹣x．
【解答】解：÷
＝?（﹣）
＝﹣x，
故答案為：﹣x．
12．（2023秋?漢壽縣期中）學校倡導全校師生開展“語文閱讀”活動，小亮每天堅持讀書．原計劃用a天讀完b頁的書，如果要提前m天讀完，那么平均每天比原計劃要多讀的頁數為（用含a、b、m的最簡分式表示）．
【答案】．
【解答】解：由題意得：平均每天比原計劃要多讀的頁數為：﹣＝﹣＝，
故答案為：．
13．（2023春?宿豫區(qū)期中）計算＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：
＝
＝
＝1，
故答案為：1．
14．（2023?廣州）已知a＞3，代數式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．
（1）因式分解A；
（2）在A，B，C中任選兩個代數式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式．
【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；
（2）..
【解答】解：（1）2a2﹣8
＝2（a2﹣4）
＝2（a+2）（a﹣2）；
（2）選A，B兩個代數式，分別作為分子、分母，組成一個分式（答案不唯一），
＝
＝．
15．（2023秋?思明區(qū)校級期中）先化簡，再求值：（），其中．
【答案】，．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝?
＝，
當x＝﹣1時，原式＝＝．
16．（2023秋?長沙期中）先化簡，再求值：，其中x＝5．
【答案】，．
【解答】解：原式＝（﹣）?
＝?
＝，
當x＝5時，原式＝＝．
17．（2023?鹽城一模）先化簡，再求值：，其中x＝4．
【答案】見試題解答內容
【解答】解：原式＝（+）?
＝?
＝?
＝x﹣1，
當x＝4時，原式＝4﹣1＝3．
18．（2022秋?廉江市期末）先化簡（﹣x）÷，再從﹣1，0，1中選擇合適的x值代入求值．
【答案】﹣，0．
【解答】解：原式＝（﹣）?
＝﹣?
＝﹣，
∵（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x≠±1，
當x＝0時，原式＝﹣＝0．
1．（2023秋?西城區(qū)校級期中）假設每個人做某項工作的工作效率相同，m個人共同做該項工作，d天可以完成若增加r個人，則完成該項工作需要（）天．
A．d+yB．d﹣rC．D．
【答案】C
【解答】解：工作總量＝md，
增加r個人后完成該項工作需要的天數＝，
故選：C．
2．（2023秋?長安區(qū)期中）若a＝2b，在如圖的數軸上標注了四段，則表示的點落在（）
A．段①B．段②C．段③D．段④
【答案】C
【解答】解：∵a＝2b，
∴
＝
＝
＝
＝
＝，
∴表示的點落在段③，
故選：C．
3．（2023秋?東城區(qū)校級期中）若x2﹣x﹣1＝0，則的值是（）
A．3B．2C．1D．4
【答案】A
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣1＝x，
∴x﹣＝1，
∴（x﹣）2＝1，
∴x2﹣2+＝1，
∴x2+＝3，
故選：A．
4．（2023秋?鼓樓區(qū)校級期中）對于正數x，規(guī)定，例如，，則＝（）
A．198B．199C．200D．
【答案】B
【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，
f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，
f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，
…
f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，
∴
＝2×100﹣1
＝199．
故選：B．
5．（2023秋?延慶區(qū)期中）當x分別取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，時，計算分式的值，再將所得結果相加，其和等于（）
A．﹣1B．1C．0D．2023
【答案】A
【解答】解：當x＝﹣a和時，
＝
＝0，
當x＝0時，，
則所求的和為0+0+0+?+0+（﹣1）＝﹣1，
故選：A．
6．（2022秋?永川區(qū)期末）若分式，則分式的值等于（）
A．﹣B．C．﹣D．
【答案】B
【解答】解：整理已知條件得y﹣x＝2xy；
∴x﹣y＝﹣2xy
將x﹣y＝﹣2xy整體代入分式得
＝
＝
＝
＝．
故選：B．
7．（2023春?鐵西區(qū)月考）某塊稻田a公頃，甲收割完這塊稻田需b小時，乙比甲多用0.3小時就能收割完這塊稻田，兩人一起收割完這塊稻田需要的時間是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：乙收割完這塊麥田需要的時間是（b+0.3）小時，
甲的工作效率是公頃/時，
乙的工作效率是公頃/時．
故兩人一起收割完這塊麥田需要的工作時間為＝（小時）．
故選：B．
8．（2023春?臨汾月考）相機成像的原理公式為，其中f表示照相機鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．下列用f，u表示v正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵，
去分母得：uv＝fv+fu，
∴uv﹣fv＝fu，
∴（u﹣f）v＝fu，
∵u≠f，
∴u﹣f≠0，
∴．
故選：D．
9．（2023?內江）對于正數x，規(guī)定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，計算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）
A．199B．200C．201D．202
【答案】C
【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，
∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，
f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）
＝2×100+1
＝201．
故選：C．
10．（2023春?靈丘縣期中）觀察下列等式：
＝1﹣，
＝﹣，
＝﹣，
…＝﹣
將以上等式相加得到
+++…+＝1﹣．
用上述方法計算：+++…+其結果為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故選A．
11．（2023秋?順德區(qū)校級月考）先閱讀并填空，再解答問題．
我們知道，
（1）仿寫：＝，＝，＝．
（2）直接寫出結果：＝．
利用上述式子中的規(guī)律計算：
（3）；
（4）．
【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．
【解答】解：（1），＝；＝，
故答案為：，；；
（2）原式＝1﹣+++...++
＝1﹣
＝；
故答案為：；
（3）
＝
＝1﹣+﹣+﹣+??+
＝1﹣
＝；
（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）
＝（）
＝
＝．
12．（2023秋?株洲期中）閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數可分為“真分數”和“假分數”，而假分數都可化為帶分數．如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；，這樣的分式就是真分式．類似地，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．
如：，；
解決下列問題：
（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；
（2）將假分式化為帶分式；
（3）如果x為整數，分式的值為整數，求所有符合條件的x的值．
【答案】（1）真；
（2）x﹣2+；
（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．
【解答】解：（1）分式是真分式；
故答案為：真；
（2）；
（3）原式＝，
∵分式的值為整數，
∴x+2＝±1或±13，
∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．
13．（2023秋?漣源市月考）已知，求的值．
解：由已知可得x≠0，則，即x+．
∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，
∴．
上面材料中的解法叫做“倒數法”．
請你利用“倒數法”解下面的題目：
（1）求，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，，，求的值．
【答案】（1）；（2）24；（3）．
【解答】解：（1）由，知x≠0，
∴．
∴，x?＝1．
∵＝x2+
＝（x﹣）2+2
＝42+2
＝18．
∴＝．
（2）由＝，知x≠0，
則＝2．
∴x﹣3+＝2．
∴x+＝5，x?＝1．
∵
＝x2+1+
＝（x+）2﹣2+1
＝52﹣1
＝24．
∴＝．
（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．
則＝，＝，y+zyz＝1，
∴+＝，+＝，+＝1．
∴2（++）＝++1＝．
∴++＝．
∵＝++＝，
∴＝．
14．（2022秋?興隆縣期末）設．
（1）化簡M；
（2）當a＝3時，記M的值為f（3），當a＝4時，記M的值為f（4）．
①求證：；
②利用①的結論，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；
③解分式方程．
【答案】（1）；
（2）①見解析，②，③x＝15．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝
＝；
（2）①證明：；
②f（3）+f（4）+???+f（11）
＝
＝
＝
＝；
③由②可知該方程為，
方程兩邊同時乘（x+1）（x﹣1），得：，
整理，得：，
解得：x＝15，
經檢驗x＝15是原方程的解，
∴原分式方程的解為x＝15．
15．（2023春?蜀山區(qū)校級月考）【閱讀理解】對一個較為復雜的分式，若分子次數比分母大，則該分式可以拆分成整式與分式和的形式，例如將拆分成整式與分式：
方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；
方法二：設x+1＝t，則x＝t﹣1，則原式＝＝．
根據上述方法，解決下列問題：
（1）將分式拆分成一個整式與一個分式和的形式，得＝；
（2）任選上述一種方法，將拆分成整式與分式和的形式；
（3）已知分式與x的值都是整數，求x的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．
【解答】解：（1）由題知，
，
故答案為：．
（2）選擇方法一：
原式＝＝．
選擇方法二：
設x﹣1＝t，則x＝t+1，則原式＝＝＝＝＝．
（3）由題知，
原式＝＝＝＝．
又此分式與x的值都是整數，即x﹣4是39的因數，
當x﹣4＝±1，即x＝3或5時，原分式的值為整數；
當x﹣4＝±3，即x＝1或7時，原分式的值為整數；
當x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17時，原分式的值為整數；
當x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43時，原分式的值為整數；
綜上所述：x的值為：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5時，原分式的值為整數．
16．（2023春?蘭州期末）閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數可分為“真分數”和“假分數”，而假分數都可以化為帶分數，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；再如：這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式），如：．
解決下列問題：
（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）將假分式化為整式與真分式的和的形式：＝ 2+ ．若假分式的值為正整數，則整數a的值為 1，0，2，﹣1 ；
（3）將假分式化為帶分式（寫出完整過程）．
【答案】（1）真分式；
（2）2+；1，2，﹣1；
（3）x﹣1﹣．
【解答】解：（1）由題意得：分式是真分式，
故答案為：真分式；
（2）＝＝2+，
當2+的值為正整數時，
2a﹣1＝1或±3，
∴a＝1，2，﹣1；
故答案為：2+；1，2，﹣1；
（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．
1．（2023?湖州）若分式的值為0，則x的值是（）
A．1B．0C．﹣1D．﹣3
【答案】A
【解答】解：∵分式的值為0，
∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，
解得：x＝1，
故選：A．
2．（2023?天津）計算的結果等于（）
A．﹣1B．x﹣1C．D．
【答案】C
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
故選：C．
3．（2023?鎮(zhèn)江）使分式有意義的x的取值范圍是 x≠5 ．
【答案】x≠5．
【解答】解：當x﹣5≠0時，分式有意義，
解得x≠5，
故答案為：x≠5．
4．（2023?上海）化簡：﹣的結果為 2 ．
【答案】2．
【解答】解：原式＝
＝
＝2，
故答案為：2．
5．（2023?安徽）先化簡，再求值：，其中x＝．
【答案】x+1，．
【解答】解：原式＝＝x+1，
當x＝﹣1時，
原式＝﹣1+1
＝．
6．（2023?廣安）先化簡（﹣a+1）÷，再從不等式﹣2＜a＜3中選擇一個適當的整數，代入求值．
【答案】；﹣1．
【解答】解：（﹣a+1）÷
＝?
＝．
∵﹣2＜a＜3且a≠±1，
∴a＝0符合題意．
當a＝0時，原式＝＝﹣1．
7．（2023?淮安）先化簡，再求值：÷（1+），其中a＝+1．
【答案】，．
【解答】解：原式＝÷（+）
＝÷
＝?
＝，
當a＝+1時，原式＝＝．
8．（2023?朝陽）先化簡，再求值：（+）÷，其中x＝3．
【答案】，1．
【解答】解：原式＝[+]?
＝?
＝，
當x＝3時，原式＝＝1．

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