TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14805" 【題型1 求正多邊形中心角】 PAGEREF _Tc14805 \h 1
\l "_Tc17843" 【題型2 求正多邊形的邊數(shù)】 PAGEREF _Tc17843 \h 2
\l "_Tc13324" 【題型3 正多邊形與圓中求角度】 PAGEREF _Tc13324 \h 3
\l "_Tc24212" 【題型4 正多邊形與圓中求面積】 PAGEREF _Tc24212 \h 5
\l "_Tc15344" 【題型5 正多邊形與圓中求周長(zhǎng)】 PAGEREF _Tc15344 \h 6
\l "_Tc5102" 【題型7 正多邊形與圓中求邊心距、邊長(zhǎng)】 PAGEREF _Tc5102 \h 8
\l "_Tc26354" 【題型8 正多邊形與圓中求最值】 PAGEREF _Tc26354 \h 9
\l "_Tc7007" 【題型9 尺規(guī)作圖-正多邊形】 PAGEREF _Tc7007 \h 10
\l "_Tc31325" 【題型10 正多邊形與圓中的規(guī)律問(wèn)題】 PAGEREF _Tc31325 \h 11
\l "_Tc6790" 【題型11 多邊形與圓中的證明】 PAGEREF _Tc6790 \h 12
【知識(shí)點(diǎn) 正多邊形和圓】
（1）正多邊形的有關(guān)計(jì)算
（2）正多邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，每個(gè)外角度數(shù)為
【題型1 求正多邊形中心角】
【例1】（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谥校┫铝袌D形中，繞它的中心旋轉(zhuǎn)60°后可以和原圖形重合的是（ ）
A．正六邊形B．正五邊形C．正方形D．正三角形
【變式1-1】（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若一個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)與半徑相等，則這個(gè)正多邊形的中心角是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【變式1-2】（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n邊形的一個(gè)中心角，則n的值為（ ）
A．8B．10C．12D．16
【變式1-3】（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形ABCDE和正三角形APQ都內(nèi)接于⊙O，則PC的度數(shù)為 °．
【題型2 求正多邊形的邊數(shù)】
【例2】（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若∠ADB=18°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．10B．12C．15D．20
【變式2-1】（2023秋·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB,BC和AC分別為⊙O內(nèi)接正方形，正六邊形和正n邊形的一邊，則n是（ ）．
A．六B．八C．十D．十二
【變式2-2】（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（ ）
A．6B．8C．10D．12
【變式2-3】（2023秋·安徽安慶·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD,∠C=120°，點(diǎn)E在弧AD上，連接OD、OE、AE、DE．
（1）∠AED的度數(shù)為 ．
（2）當(dāng)∠DOE=90°時(shí)，AE恰好為⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為 ．
【題型3 正多邊形與圓中求角度】
【例3】（2023秋·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，P為弧AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），則∠DPF的度數(shù)為（ ）

A．22.5°B．30°C．40°D．45°
【變式3-1】（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF和正方形AGDH都內(nèi)接于⊙O，連接BG，則弦BG所對(duì)圓周角的度數(shù)為（ ）
A．15°B．30°C．15°或165°D．30°或150°
【變式3-2】（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AF是⊙O的直徑，P是⊙O上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，F(xiàn)重合），則∠BPF的度數(shù)為 °．

【變式3-3】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在正五邊形ABCDE中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AF上運(yùn)動(dòng)，連接EG，DG，當(dāng)△DEG的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠EGD的度數(shù)為 ．

【題型4 正多邊形與圓中求面積】
【例4】（2023春·河北衡水·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，分別以其對(duì)角線AD、FB為邊作正方形，則兩個(gè)陰影部分的面積差S1?S2的值為（ ）

A．0B．1C．3D．2
【變式4-1】（2023秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開(kāi)的開(kāi)口b=103mm，則這個(gè)正六邊形的面積為（ ）
A．253mm2B．753mm2C．1503mm2D．2033mm2
【變式4-2】（2023秋·福建寧德·九年級(jí)統(tǒng)考期末）將三個(gè)正六邊形按如圖方式擺放，若小正六邊形的面積是6，則大正六邊形的面積是
【變式4-3】（2023秋·廣東湛江·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，AB=3，則圖中陰影部分的面積為 ．
【題型5 正多邊形與圓中求周長(zhǎng)】
【例5】（2023秋·四川廣安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則正六邊形的周長(zhǎng)為（ ）

A．63B．66C．3D．18
【變式5-1】（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，BF、CE是正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，若正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是a，則四邊形BCEF的周長(zhǎng)是 ．（用含a的代數(shù)式表示）
【變式5-2】（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？计谥校├罾蠋煄ьI(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過(guò)此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解π的意義．
(1)[定義]我們將正n邊形的周長(zhǎng)L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)C的比值，稱(chēng)作這個(gè)正n邊形的“正圓度”kn．如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為36，因此k3=___________；
(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”k4、k6；
(3)[總結(jié)]隨著n的增大，kn具有怎樣的規(guī)律，試通過(guò)計(jì)算，結(jié)合圓周率的誕生，簡(jiǎn)要概括．
【變式5-3】（2023春·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)G，H，I，J，K，L分別是正六邊形ABCDEF各邊的中點(diǎn)，則六邊形GHIJKL與六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)比為 ．
【題型6 正多邊形與圓中求半徑】
【例6】（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知⊙O的內(nèi)接正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則⊙O的半徑為（ ）
A．2B．22C．1D．12
【變式6-1】（2023秋·青海海東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16cm2，則該半圓的半徑為 ．
【變式6-2】（2023秋·河南許昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若正方形的外接圓的半徑為4，則這個(gè)正方形內(nèi)切圓的半徑為 ．
【變式6-3】（2023秋·天津紅橋·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則其外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為（ ）
A．2，1B．2，3C．3，2D．23，3
【題型7 正多邊形與圓中求邊心距、邊長(zhǎng)】
【例7】（2023秋·貴州黔西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知四個(gè)正六邊形按如圖所示擺放在圖中，頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在⊙O上，連接AD．若兩個(gè)大正六邊形的邊長(zhǎng)均為4，兩個(gè)小正六邊形全等，則小正六邊形的邊長(zhǎng)是（ ）
A．3?13B．13?1C．13+1D．23?1
【變式7-1】（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，半徑為2的⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，則邊心距OM的長(zhǎng)度為（ ）

A．1B．3C．32D．2
【變式7-2】（2023秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？计谀﹫A內(nèi)接正六邊形與圓外切正三角形的邊長(zhǎng)之比為 ．
【變式7-3】（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，BD，EC交于點(diǎn)G，已知半徑為3，則EG的長(zhǎng)為 ．
【題型8 正多邊形與圓中求最值】
【例8】（2023秋·新疆阿克蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是6，點(diǎn)P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是 ．

【變式8-1】（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖所示，已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），BC的中點(diǎn)D在y軸上，且在點(diǎn)A下方，點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為2，中心在原點(diǎn)的正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，把這個(gè)正六邊形繞中心旋轉(zhuǎn)一周，在此過(guò)程中DE的最小值為（ ）
A．3?3B．2C．4?3D．1
【變式8-2】（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，⊙O半徑為2，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在ADC上運(yùn)動(dòng)，連接BE，作AF⊥ BE，垂足為F，連接CF.則CF長(zhǎng)的最小值為 .
【變式8-3】（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知正方形MNOK和正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)均為2，把正方形放在正六邊形中，使OK邊與AB邊重合，如圖所示，按下列步驟操作：將正方形在正六邊形中繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使KM邊與BC邊重合，完成第一次旋轉(zhuǎn)；再繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使MN邊與CD邊重合，完成第二次旋轉(zhuǎn)；…在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)B，M之間距離的最小值是 ．
【題型9 尺規(guī)作圖-正多邊形】
【例9】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已如：⊙O與⊙O上的一點(diǎn)A
（1）求作：⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF；（ 要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法但保留作圖痕跡）
（2）連接CE，BF，判斷四邊形BCEF是否為矩形，并說(shuō)明理由．
【變式9-1】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知AC為⊙O的直徑．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作出⊙O的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫(xiě)作法）
【變式9-2】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：
①作出半徑OF的中點(diǎn)H．
②以點(diǎn)H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點(diǎn)G．
③AG長(zhǎng)即為正五邊形的邊長(zhǎng)、依次作出各等分點(diǎn)B，C，D，E．
已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝ ．（結(jié)果保留根號(hào)）
【變式9-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知正六邊形ABCDEF，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺，按要求畫(huà)圖：
(1)在圖1中，畫(huà)出CD的中點(diǎn)G；
(2)在圖2中，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)以G為頂點(diǎn)畫(huà)出一個(gè)菱形．
【題型10 正多邊形與圓中的規(guī)律問(wèn)題】
【例10】（2023春·山東威?！ぞ拍昙?jí)校聯(lián)考期中）如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長(zhǎng)為2，正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切……按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，A10B10C10D10E10F10的邊長(zhǎng)為 ．
【變式10-1】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）李老師帶領(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過(guò)此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解π的意義．
(1)[定義]我們將正n邊形的周長(zhǎng)L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)C的比值，稱(chēng)作這個(gè)正n邊形的“正圓度”kn．如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為36，因此k3=___________；
(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”k4、k6；
(3)[總結(jié)]隨著n的增大，kn具有怎樣的規(guī)律，試通過(guò)計(jì)算，結(jié)合圓周率的誕生，簡(jiǎn)要概括．
【變式10-2】（2023春·寧夏銀川·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，∠MON=60°，作邊長(zhǎng)為1的正六邊形A1B1C1D1E1F1，邊A1B1、F1E1分別在射線OM、ON上，邊C1D1所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)A2、F2，以A2F2為邊作正六邊形A2B2C2D2E2F2，邊C2D2所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)A3、F3，再以A3F3為邊作正六邊形A3B3C3D3E3F3，…，依此規(guī)律，經(jīng)第n次作圖后，點(diǎn)Bn到ON的距離是 ．
【變式10-3】（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）已知⊙O的半徑為a，按照下列步驟作圖：（1）作⊙O的內(nèi)接正方形ABCD（如圖1）；（2）作正方形ABCD的內(nèi)接圓，再作較小圓的內(nèi)接正方形A1B1C1D1（如圖2）；（3）作正方形A1B1C1D1的內(nèi)接圓，再作其內(nèi)接正方形A2B2C2D2（如圖3）；…；依次作下去，則正方形AnBnCnDn的邊長(zhǎng)是 ．
【題型11 多邊形與圓中的證明】
【例11】（2023秋·陜西渭南·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知AB、BC、CD是⊙O的內(nèi)接正十邊形的邊，連接AD、OB、OC，求證：AD∥BC．

【變式11-2】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂線分別交⊙O于點(diǎn)E、F，證明：五邊形AEBCF是⊙O的內(nèi)接正五邊形．
【變式11-3】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）（1）已知：如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)P為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，求證：PA=PB+PC．
下面給出一種證明方法，你可以按這一方法補(bǔ)全證明過(guò)程，也可以選擇另外的證明方法．
證明：在AP上截取AE=CP，連接BE
∵△ABC是正三角形
∴AB=CB
∵∠1和∠2的同弧圓周角
∴∠1=∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如圖2，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，求證：PA=PC+ 2PB．
（3）如圖3，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，點(diǎn)P為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄縋A、PB、PC三者之間有何數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論．
中心角
邊心距
周長(zhǎng)
面積
為邊數(shù)；為邊心距；為半徑；為邊長(zhǎng)

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