TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32716" 【題型1 利用二次函數(shù)求最大利潤】 PAGEREF _Tc32716 \h 1
\l "_Tc3106" 【題型2 利用二次函數(shù)求最優(yōu)方案】 PAGEREF _Tc3106 \h 2
\l "_Tc23931" 【題型3 利用二次函數(shù)求最大面積】 PAGEREF _Tc23931 \h 4
\l "_Tc6865" 【題型4 利用二次函數(shù)求最小周長】 PAGEREF _Tc6865 \h 5
\l "_Tc20830" 【題型5 利用二次函數(shù)解決拱橋問題】 PAGEREF _Tc20830 \h 6
\l "_Tc6655" 【題型6 利用二次函數(shù)解決隧道問題】 PAGEREF _Tc6655 \h 8
\l "_Tc4978" 【題型7 利用二次函數(shù)解決圖形運動問題】 PAGEREF _Tc4978 \h 10
\l "_Tc9347" 【題型8 利用二次函數(shù)解決運動員空中跳躍軌跡問題】 PAGEREF _Tc9347 \h 12
\l "_Tc21184" 【題型9 利用二次函數(shù)解決球類運行的軌跡問題】 PAGEREF _Tc21184 \h 15
\l "_Tc22187" 【題型10 利用二次函數(shù)解決噴頭噴出的球的軌跡問題】 PAGEREF _Tc22187 \h 17
【題型1 利用二次函數(shù)求最大利潤】
【例1】（2023春·廣東茂名·九年級校考開學(xué)考試）某工廠生產(chǎn)并銷售A，B兩種型號車床共14臺，生產(chǎn)并銷售1臺A型車床可以獲利10萬元；如果生產(chǎn)并銷售不超過4臺B型車床，則每臺B型車床可以獲利17萬元，如果超出4臺B型車床，則每超出1臺，每臺B型車床獲利將均減少1萬元．設(shè)生產(chǎn)并銷售B型車床x臺．
(1)當(dāng)x>4時，若生產(chǎn)并銷售B型車床比生產(chǎn)并銷售A型車床獲得的利潤多70萬元，問：生產(chǎn)并銷售B型車床多少臺？
(2)當(dāng)00，當(dāng)70≤x≤80時該企業(yè)獲得的最大利潤為2450元，求a的值．
【題型2 利用二次函數(shù)求最優(yōu)方案】
【例2】（2023春·湖南郴州·九年級統(tǒng)考期末）2022年秋天，某地發(fā)生旱情，為抗旱保豐收，當(dāng)?shù)卣贫ㄞr(nóng)戶投資購買抗旱設(shè)備的補(bǔ)貼方法：購買A型設(shè)備，政府補(bǔ)貼金額（y1：萬元）與投資的金額（x：萬元）的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系為：y1=kx(k≠0)，當(dāng)x=5時y1=4；購買B型設(shè)備，政府補(bǔ)貼金額（y2：萬元）與投資的金額（x：萬元）的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系為y2=ax2+bx(a≠0)，當(dāng)x=2時，y2=2.6，x=4時y2=3.2．
(1)分別求出y1,y2的函數(shù)表達(dá)式；
(2)有一農(nóng)戶投資10萬元同時購買A型和B型兩種設(shè)備，獲得的政府補(bǔ)貼為y萬元．請你設(shè)計一個能獲得最大補(bǔ)貼的方案，并求出按此方案能獲得的最大補(bǔ)貼．
【變式2-1】（2023春·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）某班計劃購買A，B兩種花苗，根據(jù)市場調(diào)查整理出表：
(1)求A，B兩種花苗的單價；
(2)經(jīng)過班級學(xué)生商討，決定購買A，B兩種花苗12盆（A，B兩種花苗都必須有），同時得到了優(yōu)惠方式：購買幾盆A種花，A種花苗每盆就降價幾元．請設(shè)計花費最少的購買方案．
【變式2-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級期末）2011年長江中下游地區(qū)發(fā)生了特大旱情．為抗旱保豐收，某地政府制定了農(nóng)戶投資購買抗旱設(shè)備的補(bǔ)貼辦法，其中購買Ⅰ型、Ⅱ型抗旱設(shè)備投資的金額與政府補(bǔ)貼的額度存在下表所示的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系．
(1)分別求y1和y2的函數(shù)解析式；
(2)有一農(nóng)戶同時對Ⅰ型、Ⅱ型兩種設(shè)備共投資10萬元購買，請你設(shè)計一個能獲得最大補(bǔ)貼金額的方案，并求出按此方案能獲得的最大補(bǔ)貼金額．
【變式2-3】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）某公司經(jīng)銷甲、乙兩種產(chǎn)品，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：
①銷售甲產(chǎn)品所獲利潤y （萬元）與銷售x （萬件）的關(guān)系為y=0.6x ；
②銷售乙產(chǎn)品所獲利潤y （萬元）與銷售x （萬件）的關(guān)系為y=ax2+bx；當(dāng)x＝1時y＝1.3；當(dāng)x＝2時，y＝2.4.
（1）求銷售乙產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該公司計劃購進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品共20萬件，要想使銷售總利潤最大，應(yīng)如何安排經(jīng)銷方案？總利潤最大為多少？
【題型3 利用二次函數(shù)求最大面積】
【例3】（2023春·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一塊矩形區(qū)域ABCD由籬笆圍著，并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開．已知籬笆的總長為18米（籬笆的厚度忽略不計），求當(dāng)矩形ABCD的面積最大時AB的長．

【變式3-1】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AG、AH為固定墻且∠GAH=135°，現(xiàn)利用固定墻和總長為40米的竹籬笆修建一個四邊形ABCD的儲料場，其中AD∥BC，∠C=90°．已知固定墻AG長為12米，BC邊上的一扇門寬為2米．
(1)當(dāng)CD長為18米時，求此時儲料場的面積；
(2)怎樣修建才能使儲料場的面積最大．
【變式3-2】（2023春·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期中）春回大地，萬物復(fù)蘇，又是一年花季到．某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長40 m，寬20 m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域．其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動區(qū)，其余空地為種植區(qū)，分別種植A，B，C三種花卉．活動區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長是10 m．A，B，C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元、4百元．
(1)設(shè)育苗區(qū)的邊長為x m，用含x的代數(shù)式表示下列各量：花卉A的種植面積是_____m2，花卉B的種植面積是______m2，花卉C的種植面積是_______m2．
(2)育苗區(qū)的邊長為多少時，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等？
(3)若花卉A與B的種植面積之和不超過560m2 ，求A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值．
【變式3-3】（2023春·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）問題探究：
（1）如圖1，已知線段AB＝2，AC＝4，連接BC，則三角形ABC面積最大值是 ；
（2）如圖2，矩形ABCD，對角線AC、BD相交于點O，且AC＋BD＝16，求矩形ABCD面積最大值；
問題解決：
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，且∠AOB＝120°．若AC＋BD＝10，則四邊形ABCD的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．
【題型4 利用二次函數(shù)求最小周長】
【例4】（2023春·九年級課時練習(xí)）甲船從A處起以15nmile/h的速度向正北方向航行，這時乙船從A的正東方向20nmile的B處起以20nmile/h的速度向西航行，多長時間后，兩船的距離最小？最小距離是多少？
【變式4-1】（2023春·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以直線x=1為對稱軸的拋物線y=?x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點，其中點B的坐標(biāo)是3,0．
(1)點A的坐標(biāo)為______；
(2)求拋物線的解析式；
(3)如圖2，設(shè)拋物線的頂點為D，若將拋物線向下平移，使平移后的拋物線經(jīng)過原點O，且與x軸的另一個交點為E，若在y軸上存在一點F，連接DE，DF，EF，使得△DEF的周長最小，求F點的坐標(biāo)．
【變式4-2】（2023春·江西贛州·九年級?？计谥校W(xué)以致用：問題1：怎樣用長為12cm的鐵絲圍成一個面積最大的矩形？
小學(xué)時我們就知道結(jié)論：圍成正方形時面積最大，即圍成邊長為3cm的正方形時面積最大為9cm2．請用你所學(xué)的二次函數(shù)的知識解釋原因．
思考驗證：問題2：怎樣用鐵絲圍一個面積為9m2且周長最小的矩形？
小明猜測：圍成正方形時周長最?。?br>為了說明其中的道理，小明翻閱書籍，找到下面的材料：
結(jié)論：在a+b?2ab(a、b均為正實數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b?2p，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，a+b有最小值2p．
a+b?2ab (a,b均為正實數(shù)）的證明過程：
對于任意正實數(shù)a、b，∵ (a?b)2?0,∴ a?2ab+b?0,
∴ a+b?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立．
解決問題：
（1）若x>0，則x+4x? （當(dāng)且僅當(dāng)x= 時取“=” )；
（2）運用上述結(jié)論證明小明對問題2的猜測；
（3）當(dāng)x>?1時，求y=x2+3x+1的最小值．
【變式4-3】（2023·江蘇無錫·江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)y=x2﹣4x的圖象與x軸、直線y=x的一個交點分別為點A、B，CD是線段OB上的一動線段，且CD=2，過點C、D的兩直線都平行于y軸，與拋物線相交于點F、E，連接EF．
（1）點A的坐標(biāo)為 ，線段OB的長= ；
（2）設(shè)點C的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時，求m的值；
②連接AC、AD，求m為何值時，△ACD的周長最小，并求出這個最小值．
【題型5 利用二次函數(shù)解決拱橋問題】
【例5】（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）某拋物線形拱橋的截面圖如圖所示．某數(shù)學(xué)小組對這座拱橋很感興趣，他們利用測量工具測出水面的寬AB為8米．AB上的點E到點A的距離AE=1米，點E到拱橋頂面的垂直距離EF=74米．他們以點A為坐標(biāo)原點，以AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
(2)求拱橋頂面離水面AB的最大高度．
(3)現(xiàn)有一游船（截面為矩形）寬度為4米，船頂?shù)剿娴母叨葹?米．要求游船從拱橋下面正中間通過時，船頂?shù)焦皹蝽斆娴木嚯x應(yīng)大于0.5米．請通過計算說明該游船是否能安全通過．
【變式5-1】（2023春·河南商丘·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是一個拋物線形拱橋的截面圖，在正常水位時，水位線AB與拱橋最高點的距離為9m，水面寬AB=30m．
(1)請你建立合適的平面直角坐標(biāo)系xOy，并根據(jù)建立的平面直角坐標(biāo)系求出該拋物線的解析式．
(2)已知一艘船（可近似看成長方體）在此航行時露出水面的高度為4m，若這艘船的寬度為18m，當(dāng)水位線比正常水位線高出1m時，這艘船能否從該拋物線形拱橋下方順利通過，請說明理由．
【變式5-2】（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖，水面寬AB與橋長CD均為12m，在距離D點3m的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．如圖2，橋面上方有3根高度均為5m的支柱CG、OH、DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為2m，下面結(jié)論正確的是 (填寫正確結(jié)論序號)．
①圖1拋物線型拱橋的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=?16x2．
②圖2右邊鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=13(x?3)2+2．
③圖2左邊鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=13(x+3)2+2．
④圖2在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，彩帶長度的最小值是3m．
【變式5-3】（2023春·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考期末）某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系（以AB中點為原點，拋物線對稱軸所在直線為y軸）中，拱橋高度OC=5m，跨度AB=20m．
(1)求拋物線的解析式．
(2)拱橋下，有一加固橋身的“腳手架”矩形EFGH（H，G分別在拋物線的左右側(cè)上），已知搭建“腳手架”EFGH的三邊所用鋼材長度為18.4m（EF在地面上，無需使用鋼材），求“腳手架”打樁點E與拱橋端點A的距離．
(3)已知公園要進(jìn)行改造，在原位置上將拱橋ACB改造為圓弧AC′B，跨度AB不變，且（2）中“腳手架”矩形EFGH仍然適用（E，F(xiàn)打樁位置不變，H，G依然在拱橋上），求改造后拱橋的高度OC′（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：170.56≈13.06）．
【題型6 利用二次函數(shù)解決隧道問題】
【例6】（2023·北京海淀·九年級期末）如圖1是某條公路的一個具有兩條車道的隧道的橫斷面．經(jīng)測量，兩側(cè)墻AD和BC與路面AB垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬AB=8米，為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面AB上取點E，測量點E到墻面AD的距離AE，點E到隧道頂面的距離EF．設(shè)AE=x米，EF=y米．通過取點、測量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：
(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出隧道頂面到路面AB的最大距離為___________米，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ax??2+ka

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