TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11833" 【題型1 求梯子滑落高度】 PAGEREF _Tc11833 \h 1
\l "_Tc12733" 【題型2 求旗桿高度】 PAGEREF _Tc12733 \h 6
\l "_Tc32411" 【題型3 求小鳥飛行距離】 PAGEREF _Tc32411 \h 9
\l "_Tc21489" 【題型4 求大樹折斷前的高度】 PAGEREF _Tc21489 \h 12
\l "_Tc6542" 【題型5 解一元一次不等式組】 PAGEREF _Tc6542 \h 16
\l "_Tc19332" 【題型6 解決水杯中筷子問題】 PAGEREF _Tc19332 \h 20
\l "_Tc29230" 【題型7 解決航海問題】 PAGEREF _Tc29230 \h 23
\l "_Tc14785" 【題型8 求河寬】 PAGEREF _Tc14785 \h 28
\l "_Tc7365" 【題型9 求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度】 PAGEREF _Tc7365 \h 31
\l "_Tc16685" 【題型10 判斷汽車是否超速】 PAGEREF _Tc16685 \h 34
\l "_Tc15245" 【題型11 選址使到兩地距離相等】 PAGEREF _Tc15245 \h 37
\l "_Tc26074" 【題型12 求最短路徑】 PAGEREF _Tc26074 \h 41
【題型1 求梯子滑落高度】
【例1】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┠车匾粯欠堪l(fā)生火災(zāi)，消防隊(duì)員決定用消防車上的云梯救人如圖（1），如圖（2），已知云梯最多只能伸長(zhǎng)到15m（即AB=CD=15m），消防車高3m，救人時(shí)云梯伸長(zhǎng)至最長(zhǎng)，在完成從12m（即BE=12m）高的B處救人后，還要從15m（即DE=15m）高的D處救人，這時(shí)消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為多少米？（延長(zhǎng)AC交DE于點(diǎn)O，AO⊥DE，點(diǎn)B在DE上，OE的長(zhǎng)即為消防車的高3m）
【答案】消防車從原處向著火的樓房靠近的距離AC為3m
【分析】在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理得到AO和OC，于是得到結(jié)論．
【詳解】解：在Rt△ABO中, ∵ ∠AOB=90°，AB=15m，OB=12?3=9（m），
∴ AO=AB2?OB2=152?92=12（m），
在Rt△ABO中，∵ ∠COD=90°，CD=15m，OD=15?3=12（m），
∴ OC=CD2?OD2=152?122=9（m），
∴ AC=OA?OC=3（m），
答：消防車從原處向著火的樓房靠近的距離AC為3m．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一根竹竿斜靠在左墻時(shí)，竹竿底端O到左墻角的距離OC為0.7米，頂端B距墻頂?shù)木嚯xAB為0.6米若保持竹竿底端位置不動(dòng)，將竹竿斜靠在右墻時(shí)，竹竿底端到右墻角的距離OF為1.5米，頂端E距墻項(xiàng)D的距離DE為1米，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，點(diǎn)D、E、F在一條直線上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：
(1)墻的高度；
(2)竹竿的長(zhǎng)度．
【答案】(1)墻高3米
(2)竹竿的長(zhǎng)2.5米
【分析】（1）設(shè)墻高x米，在RtΔBCO，RtΔEFO根據(jù)勾股定理即可表示出竹竿長(zhǎng)度的平方 ，聯(lián)立即可得到答案；
（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．
【詳解】（1）解：設(shè)墻高x米，
∵AC⊥CF，DF⊥CF，
∴∠BCO=∠EFO=90° ，
在RtΔBCO，RtΔEFO根據(jù)勾股定理可得，
BO2=(x?0.6)2+0.72 ，OE2=(x?1)2+1.52，
∵BO=OE ，
∴(x?1)2+1.52=(x?0.6)2+0.72，
解得：x=3 ，
答：墻高3米；
（2）由（1得），
BO2=(x?0.6)2+0.72 ，x=3 ，
∴BO=(3?0.6)2+0.72=2.5
答：竹竿的長(zhǎng)2.5米．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理實(shí)際應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵時(shí)根據(jù)兩種不同狀態(tài)竹竿長(zhǎng)不變列等式及正確計(jì)算．
【變式1-2】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一條筆直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墻面上，一端在墻面A處，另一端在地面B處，墻角記為點(diǎn)C．
(1)若AB=6.5米，BC=2.5米．
①竹竿的頂端A沿墻下滑1米，那么點(diǎn)B將向外移動(dòng)多少米？
②竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離，有可能相等嗎？如果不可能，請(qǐng)說明理由；如果可能，請(qǐng)求出移動(dòng)的距離（保留根號(hào)）．
(2)若AC=BC，則頂端A下滑的距離與底端B外移的距離，有可能相等嗎？若能相等，請(qǐng)說明理由；若不等，請(qǐng)比較頂端A下滑的距離與底端B外移的距離的大?。?br>【答案】(1)①69?52米；②竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離，有可能相等，理由見解析
(2)不可能相等，頂端A下滑的距離大于底端B外移的距離．
【分析】（1）先根據(jù)勾股定理可得AC=6米，①根據(jù)題意得：AA′=1m，可得到A′C=AC?AA′=5米，由勾股定理可得B′C的長(zhǎng)，即可求解；②設(shè)從A處沿墻AC下滑的距離為x米，點(diǎn)B也向外移動(dòng)的距離為x米，根據(jù)勾股定理，列出方程，即可求解；
（2）設(shè)AC=BC=a，從A處沿墻AC下滑的距離為m米，點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離為n米，則AB=A′B′=2a，根據(jù)勾股定理，列出方程，可得m?n=m2+n22a，即可求解．
【詳解】（1）解：∠C=90°，AB=A′B′=6.5米，
∴AC=AB2?BC2=6米，
①根據(jù)題意得：AA′=1m，
∴A′C=AC?AA′=5米，
∴B′C=A′B′2?A′C2=692米，
∴BB′=B′C?BC=692?2.5=69?52米，
即點(diǎn)B將向外移動(dòng)69?52米；
②竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離，有可能相等，理由如下：
設(shè)從A處沿墻AC下滑的距離為x米，點(diǎn)B也向外移動(dòng)的距離為x米，根據(jù)題意得：
6?x2+2.5+x2=6.52，
解得：x1=3.5,x2=0（舍去），
∴從A處沿墻AC下滑的距離為3.5米時(shí)，點(diǎn)B也向外移動(dòng)的距離為3.5米，
即竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離，有可能相等；
（2）解：不可能相等，理由如下：
設(shè)AC=BC=a，從A處沿墻AC下滑的距離為m米，點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離為n米，則AB=A′B′=2a，根據(jù)題意得：
a?m2+a+n2=2a2，
整理得：2am?n=m2+n2，
即m?n=m2+n22a，
∵a、m、n都為正數(shù)，
∴m?n=m2+n22a>0，即m>n．
∴頂端A下滑的距離大于底端B外移的距離．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）拉桿箱是人們出行的常用品，采用拉桿箱可以讓人們出行更輕松．如圖，一直某種拉桿箱箱體長(zhǎng)AB＝65cm，拉桿最大伸長(zhǎng)距離BC＝35cm，在箱體底端裝有一圓形滾輪，當(dāng)拉桿拉到最長(zhǎng)時(shí)，滾輪的圓心在圖中的A處，點(diǎn)A到地面的距離AD＝3cm，當(dāng)拉桿全部縮進(jìn)箱體時(shí)，滾輪圓心水平向右平移55cm到A′處，求拉桿把手C離地面的距離（假設(shè)C點(diǎn)的位置保持不變）．
【答案】拉桿把手C離地面的距離為63cm
【分析】過C作CE⊥DN于E，延長(zhǎng)AA'交CE于F，根據(jù)勾股定理即可得到方程652-x2=1002-（55+x）2，求得A'F的長(zhǎng)，即可利用勾股定理得到CF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出CE的長(zhǎng)．
【詳解】如圖所示，過C作CE⊥DN于E，延長(zhǎng)AA'交CE于F，則∠AFC＝90°，
設(shè)A'F＝x，則AF＝55+x，
由題可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65，
∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2，
Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，
∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，
解得x＝25，
∴A'F＝25，
∴CF＝A′C2?A′F2＝60（cm），
又∵EF＝AD＝3（cm），
∴CE＝60+3＝63（cm），
∴拉桿把手C離地面的距離為63cm．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．
【題型2 求旗桿高度】
【例2】（2023春·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）同學(xué)們想利用升旗的繩子、卷尺，測(cè)算學(xué)校旗桿的高度．愛動(dòng)腦的小華設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)方案：如圖，將升旗的繩子拉直剛好觸底，此時(shí)測(cè)得繩子末端C到旗桿AB的底端B的距離為1米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5米的點(diǎn)E處，此時(shí)測(cè)得繩子末端E距離地面的高度DE為1米．請(qǐng)你根據(jù)小華的測(cè)量方案和測(cè)量數(shù)據(jù)，求出學(xué)校旗桿的高度．
【答案】12.5米
【分析】過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，根據(jù)AC=AE，得出AB2+12=(AB?1)2+52，求出AB的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，如圖所示：
由題意可知：四邊形BDEF是長(zhǎng)方形，△ABC和△AEF是直角三角形，
∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，
在Rt△ABC和Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理可得：
AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，
即AC2=AB2+12，AE2=(AB?1)2+52，
又∵AC=AE，
∴AB2+12=(AB?1)2+52，
解得：AB=12.5．
答：學(xué)校旗桿的高度為12.5米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出關(guān)于AB方程AB2+12=(AB?1)2+52．
【變式2-1】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，大街小巷掛滿了彩旗．如圖是一面長(zhǎng)方形彩旗完全展平時(shí)的尺寸圖（單位：cm）．其中長(zhǎng)方形ABCD是由雙層白布縫制的穿旗桿用的旗褲，陰影部分DCEF為長(zhǎng)方形綢緞旗面，將穿好彩旗的旗桿垂直插在地面上．旗桿從旗頂?shù)降孛娴母叨葹?40cm，在無風(fēng)的天氣里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂時(shí)最低處離地面的最小高度h．
【答案】90cm
【分析】首先觀察題目，作輔助線構(gòu)造一個(gè)直角三角形，如圖，連接DE；已知彩旗為長(zhǎng)方形，由題意可知，無風(fēng)的天氣里，彩旗自然下垂時(shí)，彩旗最低處到旗桿頂部的長(zhǎng)度正好是長(zhǎng)方形彩旗完全展開時(shí)的對(duì)角線的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理可求出它的長(zhǎng)度；然后用旗桿頂部到地面高度減去這個(gè)數(shù)值，即可求得答案．
【詳解】彩旗自然下垂的長(zhǎng)度就是長(zhǎng)方形DCEF的對(duì)角線DE的長(zhǎng)度，連接DE，
在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得
DE＝DF2+EF2＝1202+902＝150．
h＝240－150＝90(cm)．
∴彩旗下垂時(shí)的最低處離地面的最小高度h為90 cm．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，此類題的難點(diǎn)在于正確理解題意，結(jié)合實(shí)際運(yùn)用勾股定理．
【變式2-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）太原的五一廣場(chǎng)視野開闊，是一處設(shè)計(jì)別致，造型美麗的廣場(chǎng)園林，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場(chǎng)所，某校八年級(jí)（1）班的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得圖中風(fēng)箏的高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：
①測(cè)得BD的長(zhǎng)為15米（注：BD⊥CE）；
②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為25米；
③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.7米．
(1)求風(fēng)箏的高度CE．
(2)過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，求BH的長(zhǎng)度．
【答案】(1)風(fēng)箏的高度CE為21.7米
(2)BH的長(zhǎng)度為9米
【分析】（1）在Rt△CDB中由勾股定理求得CD的長(zhǎng)，再加上DE即可；
（2）利用等積法求出DH的長(zhǎng)，再在Rt△BHD中由勾股定理即可求得BH的長(zhǎng)．
【詳解】（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得：
CD=C2?BD2=252?152=20（米），
所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7（米），
答：風(fēng)箏的高度CE為21.7米．
（2）由等積法知：12BD×DC=12BC×DH，
解得：DH=15×2025=12（米）．
在Rt△BHD中，BH=BD2?DH2=9（米），
答：BH的長(zhǎng)度為9米．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確運(yùn)用勾股定理是關(guān)鍵，注意計(jì)算準(zhǔn)確．
【變式2-3】（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一根直立的旗桿高8米，一陣大風(fēng)吹過，旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部（B）著地，離旗桿底部（A）4米，工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方1.25米D處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將旗桿從D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的危險(xiǎn)？
【答案】6
【分析】先根據(jù)勾股定理求得AC，進(jìn)而求得AD，根據(jù)勾股定理即可求得范圍．
【詳解】由題意可知AC+BC=8,AB=4，
則AC2+AB2=BC2，
即AC2+42=(8?AC)2，
解得AC=3，
若下次大風(fēng)將旗桿從D處吹斷，如圖，
∴AD=AC?1.25=3?1.25=1.75，
∴BD=AB?AD=8?1.75=6.25，
AB=BD2?AD2=6.252?1.752=6．
∴則距離旗桿底部周圍6米范圍內(nèi)有被砸傷的危險(xiǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【題型3 求小鳥飛行距離】
【例3】（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一只小鳥旋停在空中A點(diǎn)，A點(diǎn)到地面的高度AB=20米，A點(diǎn)到地面C點(diǎn)（B、C兩點(diǎn)處于同一水平面）的距離AC=25米．若小鳥豎直下降12米到達(dá)D點(diǎn)（D點(diǎn)在線段AB上），求此時(shí)小鳥到地面C點(diǎn)的距離．
【答案】17米
【分析】已知AB和AC的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)度，小鳥下降12米，則BD=AB-12，根據(jù)勾股定理即可求出CD的長(zhǎng)度．
【詳解】解：由勾股定理得；BC2=AC2?AB2=252?202=225，
∴BC=15（米），
∵BD=AB?AD=20?12=8（米），
∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=DB2+BC2=82+152=17，
∴此時(shí)小鳥到地面C點(diǎn)的距離17米．
答； 此時(shí)小鳥到地面C點(diǎn)的距離為17米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理得實(shí)際應(yīng)用，熟練地掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高3米，兩樹相距4米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了（ ）米．
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】此題可以過低樹的一端向高樹引垂線．則構(gòu)造了一個(gè)直角三角形：其斜邊是小鳥飛的路程，一條直角邊是4，另一條直角邊是兩樹相差的高度3．根據(jù)勾股定理得：小鳥飛了5米．
【詳解】解：如圖所示，
AB＝6m，CD＝3m，BC＝4m，過D作DE⊥AB于E，
則DE＝BC＝4m，BE＝CD＝3m，AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3m，
在Rt△ADE中，AD＝5m．
故選：C．
【點(diǎn)睛】能夠正確理解題意，準(zhǔn)確畫出圖形，熟練運(yùn)用勾股定理即可．
【變式3-2】（2023春·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）有一只喜鵲在一棵3m高的小樹上覓食，它的巢筑在距離該樹24m的一棵大樹上，大樹高14m，且巢離樹頂部1m．當(dāng)它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即趕過去，如果它飛行的速度為5m/s，那它至少需要多少時(shí)間才能趕回巢中？
【答案】它至少需要5.2s才能趕回巢中．
【分析】根據(jù)題意，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理解答．
【詳解】解：如圖，由題意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．
過A作AE⊥CD于E．則CE=13-3=10，AE=24，
∴在Rt△AEC中，
AC2=CE2+AE2=102+242．
∴AC=26，26÷5=5.2（s）．
答：它至少需要5.2s才能趕回巢中．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，同時(shí)注意：時(shí)間=路程÷速度．
【變式3-3】（2023春·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┘倨谥?，小明和同學(xué)們到某海島上去探寶，按照探寶圖，他們從A點(diǎn)登陸后先往東走8千米，又往北走2千米，遇到障礙后又往西走了3千米，再折向北走了6千米處往東一拐，僅走了1千米就找到寶藏，問登陸點(diǎn)A到寶藏埋藏點(diǎn)B的直線距離是多少千米？
【答案】10千米
【分析】通過行走的方向和距離得出對(duì)應(yīng)的線段的長(zhǎng)度．根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．
【詳解】解：過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D．
根據(jù)題意可知，AD=8﹣3+1=6，BD=2+6=8，
在Rt△ABD中，
∴AB=AD2+BD2=62+82=10．
答：登陸點(diǎn)A到寶藏處B的距離為10千米．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．讀懂題意，根據(jù)題意找到需要的等量關(guān)系，與勾股定理結(jié)合求線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
【題型4 求大樹折斷前的高度】
【例4】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在傾斜角為45°（即∠NMP=45°）的山坡MN上有一棵樹AB，由于大風(fēng)，該樹從點(diǎn)E處折斷，其樹頂B恰好落在另一棵樹CD的根部C處，已知AE=1m， AC=18m．
(1)求這兩棵樹的水平距離CF；
(2)求樹AB的高度．
【答案】(1)3m
(2)6m
【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)，證得AF=CF，根據(jù)勾股定理即可求得．
（2）在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理即可解得．
【詳解】（1）由題可知MP∥CF，∠F=90°
∴∠ACF=∠NMP=45°，
∴AF=CF
在Rt△ACF中，
CF2+AF2=AC2，
∴2CF2=18，
∴AF=CF=3（m）．
即這兩棵樹的水平距離為3m．
（2）在Rt△CEF中，
CE2=CF2+EF2
∴CE=32+42=5，
∴AB=AE+CE=5+1=6（m）．
即樹AB的高度為6m．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．
【變式4-1】（2023春·廣東云浮·八年級(jí)統(tǒng)考期中）海洋熱浪對(duì)全球生態(tài)帶來了嚴(yán)重影響，全球變暖導(dǎo)致華南地區(qū)汛期更長(zhǎng)、降水強(qiáng)度更大，使得登錄廣東的臺(tái)風(fēng)減少，但是北上的臺(tái)風(fēng)增多．如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中距地面5m處折斷，倒下后樹頂端著地點(diǎn)A距樹底端B的距離為12m，這棵大樹在折斷前的高度為（ ）

A．10mB．15mC．18mD．20m
【答案】C
【分析】如圖，勾股定理求出AC的長(zhǎng)，利用AC+BC求解即可．
【詳解】解：如圖，由題意，得：BC=5,AB=12，BC⊥AB，

∴AC=AB2+BC2=13，
∴這棵大樹在折斷前的高度為13+5=18m；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·山西陽(yáng)泉·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭(zhēng)蹴．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地距離PA的長(zhǎng)為1尺，將它向前水平推送10尺時(shí)，即P′C=10尺，秋千踏板離地的距離P′B和身高5尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長(zhǎng)？”，設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可列方程為 ．
【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2．
【分析】根據(jù)勾股定理列方程即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由題意知：
OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
（x+1﹣5）2+102＝x2．
故答案為：（x+1﹣5）2+102＝x2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用和列方程，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023春·廣東珠海·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一根直立的旗桿高8m,因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A4m.
（1）求旗桿距地面多高處折斷；
（2）工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方1.25m的點(diǎn)D處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的危險(xiǎn)？
【答案】（1）旗桿距地面3m處折斷；（2）距離桿腳周圍6米大范圍內(nèi)有被砸傷的危險(xiǎn)．
【分析】（1）由題意可知：AC+BC=8米，根據(jù)勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因?yàn)锳B=4米，即可求得AC的長(zhǎng)；（2）易求D點(diǎn)距地面3-1.25=1.75米，BD=8-1.75=6.25米，再根據(jù)勾股定理可以求得AB=6米，所以6米內(nèi)有危險(xiǎn)．
【詳解】（1）由題意可知：AC+BC=8米，
∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
又∵AB=4米，
∴AC=3米，BC=5米，
∴旗桿距地面3m處折斷；
（2）如圖，
∵D點(diǎn)距地面AD=3-1.25=1.75米，
∴BD=8-1.75=6.25米，
∴AB=BD2?AD2=6米，
∴距離桿腳周圍6米大范圍內(nèi)有被砸傷的危險(xiǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
【題型5 判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響】
【例5】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，鐵路MN和公路PQ在點(diǎn)O處交匯，∠QON=30°，公路PQ上A處距離O點(diǎn)240米，如果火車行駛時(shí)，火車頭周圍150米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN上沿MN方向以72千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)，A處受到噪音影響的時(shí)間為 秒．
【答案】9
【分析】過點(diǎn)A作AC⊥MN，求出最短距離AC的長(zhǎng)度，然后在MN上取點(diǎn)B，D，使得AB=AD=150米，根據(jù)勾股定理得出BC，CD的長(zhǎng)度，即可求出BD的長(zhǎng)度，然后計(jì)算出時(shí)間即可．
【詳解】解：過點(diǎn)A作AC⊥MN，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=12OA=120米，
在MN上取點(diǎn)B，D，使得AB=AD=150米，當(dāng)火車到B點(diǎn)時(shí)對(duì)A處產(chǎn)生噪音影響，
∵AB=150米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=AB2?AC2=1502?1202=90米，CD=AD2?AC2=1502?1202=90米，即BD=180米，
∵ 72千米/小時(shí)=20米/秒，
∴影響時(shí)間應(yīng)是：180÷20=9秒．
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出受影響的路段，從而利用勾股定理求出其長(zhǎng)度．
【變式5-1】（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）為了鼓勵(lì)大家積極接種新冠疫苗，某區(qū)鎮(zhèn)政府采用了移動(dòng)宣講的形式進(jìn)行廣播宣傳．如圖，筆直的公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊到公路MN的距離為300m，宣講車P周圍500m以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車P在公路上沿MN方向行駛．
(1)村莊能否聽到廣播宣傳？請(qǐng)說明理由．
(2)已知宣講車的速度是50m/min，如果村莊能聽到廣播宣傳，那么總共能聽多長(zhǎng)時(shí)間？
【答案】(1)能，理由見解析
(2)16
【分析】（1）根據(jù)村莊A到公路MN的距離為300米

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