（考試時(shí)間：120分鐘 總分：150分）
一?單選擇：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1?若，則的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
2.已知，則的虛部為（ ）
A.4 B.2 C.-2 D.-4
3.已知向量和的夾角為，則等于（ ）
A.15 B.12 C.6 D.3
4.在中，，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
5.已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，且三點(diǎn)共線，則（ ）
A. B.2 C.4 D.
6.已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，則等于（ ）
A.10 B.9 C.8 D.5
7.如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線分別與兩邊交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），設(shè)，則的值為（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
8.如圖，點(diǎn)是半徑為1的扇形圓弧上一點(diǎn)，，若，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.4
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9.已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（ ）
A.若，則
B.若，則
C.
D.若，則的最大值為3
10.已知向量，則下列說法正確的是（ ）
A.若，則
B.若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
C.若，則
D.若在方向上的投影為，則
11.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列說法正確的是（ ）
A.若，則
B.當(dāng)時(shí)，最小值為
C.當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，的取值范圍是
D.當(dāng)為銳角三角形時(shí)，的取值范圍是
12.已知，若點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（ ）
A.點(diǎn)一定在內(nèi)部 B.
C. D.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知向量，若，則__________.
14.三角形中，，則的邊長為__________.
15.如圖，在等腰梯形中，，則__________.
16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，三條中線相交于點(diǎn).已知的平分線與相交于點(diǎn).
（1）邊上的中線長為；
（2）與面積之比為；
（3）到的距離為；
（4）內(nèi)切圓的面積為.
上述四個(gè)結(jié)論，其中所有正確的序號(hào)為__________.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.（10分）已知向量滿足.
（1）求與的夾角的余弦值；
（2）求；
18.（12分）如圖，在平面四邊形中，，
（1）求邊的長；
（2）求的面積.
19.（12分）某海域的東西方向上分別有兩個(gè)觀測點(diǎn)（如圖），它們相距海里.現(xiàn)有一艘輪船在點(diǎn)發(fā)出求救信號(hào)，經(jīng)探測得知點(diǎn)位于點(diǎn)北偏東點(diǎn)北偏西，這時(shí)位于點(diǎn)南偏西且與相距80海里的點(diǎn)有一救援船，其航行速度為35海里/小時(shí).
（1）求點(diǎn)到點(diǎn)的距離；
（2）若命令處的救援船立即前往點(diǎn)營救，求該救援船到達(dá)點(diǎn)需要的時(shí)間.
20.（12分）如圖，在中，為邊上一點(diǎn)且.
（1）若，求的面積；
（2）求的取值范圍.
21.（12分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足.
（1）求角；
（2）已知點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，求的余弦值.
22.（12分）在中，角所對(duì)的邊分別為為邊上的中線，點(diǎn)分別為邊上動(dòng)點(diǎn)，交于.已知，且.
（1）求邊的長度；
（2）若，求的余弦值；
（3）在（2）的條件下，若，求的取值范圍.
長汀一中2026屆高一下學(xué)期第一次月考
數(shù)學(xué)參考答案
1-8BBBB DDAB
9.BCD 10.AD 11.BD 12.ABC
12.由，所以，設(shè)分別是的中點(diǎn)，所以，于是點(diǎn)是中位線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)一定在內(nèi)部，故正確；
又，所以，則，故正確；
由A可知，且，
所以，即，故C正確；
所以，故D錯(cuò)誤；故選：
13. 14. 15. 16.（2）（3）（4）
16.對(duì)于（1），如圖，在中，，
在中，，所以，
得到，所以（1）錯(cuò)誤；對(duì)于（2），
因?yàn)椋?，所以?br>又，得到，所以（2）正確；
對(duì)于（3），因?yàn)槿龡l中線相交于點(diǎn)為，由（1）知，所以，
又在中，，
所以，故到的距離為
，所以（3）正確；對(duì)于（4），設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，
又因?yàn)椋?br>所以，
又，所以，得到，
所以，內(nèi)切圓的面積為，所以（4）正確，
故答案為：（2）（3）（4）.
17.【詳解】（1），
；
（2）由（1）知，
；
18.【詳解】（1）在中，，由正弦定理得
.
（2）在中，由余弦定理得
.
.
.
19.（1）由題意知：，
所以，
在中，由正弦定理可得：即，
所以（海里）；
（2）在中，，
由余弦定理可得：
，
所以海里，所以需要的時(shí)間為（小時(shí)）.
20.（1），在中，，
解得：，易知為銳角，
，
（2）在中，，得：，
在中，，得：，
，
，
，
故的取值范圍為.
21.（1）由，得，
又
所以，
又，所以，
所以，即，
又，所以；
（2）點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
又，
，
，
，
.
22.（1）由已知，
由正弦定理角化邊可得，.由余弦定理角化邊可得，
，整理可得，，即.因?yàn)椋?
（2）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.
設(shè)的夾角為，則
.
又，
所以，
整理可得，解得或.
又，所以，所以，所以的余弦值為.
（3）由（2）可得，.
由已知可設(shè)，
所以.
因?yàn)?，所?
由可得，，即.
由三點(diǎn)共線，得，即.所以
.
因?yàn)?，所以，即，所以?br>所以，即，即，
所以，所以，
所以的取值范圍為.

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