福建省長汀縣第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考試卷數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（滿分：150分時(shí)長：120分鐘）
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1. 復(fù)數(shù)的虛部是（）
A. B. 4C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先進(jìn)行兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，然后再求復(fù)數(shù)的虛部，注意復(fù)數(shù)的虛部指的是.
【詳解】因?yàn)椋?br>故的虛部是6.
故選：D.
2. 已知向量，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)共線向量定理的坐標(biāo)形式即可求解
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以
故選：C
3. 已知實(shí)數(shù)a，b滿足（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得到，，再計(jì)算共軛復(fù)數(shù)得到答案.
【詳解】實(shí)數(shù)，滿足（其中i為虛數(shù)單位），
故，，，
復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，
故選：B
4. 在中，若，，，則的值等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)求得,再利用正弦定理求解即可.
【詳解】由于,所以,由正弦定理得,
所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.
5. “平面向量，平行”是“平面向量，滿足”的（）
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，向量平行的定義以及充分條件，必要條件的定義即可判斷．
【詳解】若平面向量，平行，則向量，方向相同或相反，所以或；
若，則，即向量，方向相同，以及向量，平行．
綜上，“平面向量，平行”是“平面向量，滿足”的必要非充分條件．
故選：B．
6. 已知，且滿足，則在上的投影向量為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)進(jìn)行求解，得到答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以在上的投影向量為.
故選：D
7. 如圖，在中，，P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要利用向量的線性運(yùn)算和即可求解.
【詳解】解：由題意得：
設(shè)，則
又由，不共線
，解得：
故選：D
8. 已知所在平面內(nèi)點(diǎn)，且滿足，則=（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則作出圖像，求出兩個(gè)三角形的高之比，即可求解.
【詳解】
令，，根據(jù)向量的加法的平行四邊形法則，
作出如圖所示平行四邊形，作于，于，
由，所以，為高，等于的高，
所以.
故選：D
二．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0
9. 若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）
A. 的虛部為
B. 的模為
C. 的共軛復(fù)數(shù)為
D. 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則，計(jì)算得到，從而判斷出虛部，求出模長及共軛復(fù)數(shù)，寫出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷其所在象限.
【詳解】由，所以，
所以的虛部為2，故A錯(cuò)誤；
，故正確；
的共軛復(fù)數(shù)為，故正確；
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為，位于第一象限，故D正確.
故選：BCD.
10. 已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（）
A. 若實(shí)數(shù)m，n使，則
B. 平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以表示成，其中m，n為實(shí)數(shù)
C. 對于m，，不一定該平面內(nèi)
D. 對平面內(nèi)的某一個(gè)向量，存在兩對以上實(shí)數(shù)m，n，使
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)基底的定義逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確；
對于C，對于m，，在該平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；
對于D，m，n是唯一的，故D錯(cuò)誤.
故選:AB.
11. 如圖，在中，是的三等分點(diǎn)，則（）
A. B. 若，則
C. 若，則D. 若
【答案】ABD
【解析】
【分析】將作為基底，利用向量的線性運(yùn)算表示目標(biāo)向量逐一計(jì)算即可.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，因?yàn)椋裕?br>，
又，
所以，故B正確；
對于C，，，
故，
又，
所以，故，故C錯(cuò)誤；
對于D，，
而，
代入得，
得，故選項(xiàng)D正確，
故選：ABD.
12. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】對于A，直接判斷即可；對于B，，結(jié)合即可判斷；對于C，，結(jié)合即可判斷；對于D，，結(jié)合即可判斷.
【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，所以只有一解；故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，
因?yàn)?，即，所以，所以有兩解（，或），故B正確；
對于C，因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，即，
因，所以有兩解（，或，），故C正確；
對于D，因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，
由于，故，所以只有一解，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上.
13. 如果向量滿足，且和的夾角，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】由平面向量數(shù)量積的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，且和的夾角，
則.
故答案為：
14. 設(shè)復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面的對應(yīng)的向量分別為?，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】依題意，復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面的對應(yīng)的向量分別為?，
所以，
所以，
所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：
15. 若的面積為，且為鈍角，則______；
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理和三角形的面積公式求出，再求出角即可.
【詳解】根據(jù)題意可得面積，
可得，即，又易知為銳角，可得；
故答案為：.
16. 如圖，已知矩形ABCD中，AD＝1，AB，E為邊AB的中點(diǎn)，P為邊DC上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），（0＜λ＜1），設(shè)線段AP與DE的交點(diǎn)為G，則的最小值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】由圖可得△AGE與△PGD相似，可得，表示出（1+2λ2），換元，構(gòu)造函數(shù)，利用不等式即可得到答案
【詳解】因△AGE與△PGD相似，所以，
則，
令，
則（t）﹣11，當(dāng)且僅當(dāng)，
即取到.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想，三角形相似的性質(zhì)等，屬于難題.
三?解答題?本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟
17. 已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位．
（1）當(dāng)z是純虛數(shù)時(shí)，求m的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求z的模．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解；
（2）根據(jù)模長公式即得.
【小問1詳解】
由z是純虛數(shù)，有，
解得；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
所以.
18. 已知，．
（1）若，，且、、三點(diǎn)共線，求的值
（2）當(dāng)為何值時(shí)，有與垂直
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出、的坐標(biāo)，由、、三點(diǎn)共線，可得與共線，列出方程即可得到的值；
（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得．
【小問1詳解】
，，
，，
，，三點(diǎn)共線，
與共線，
，解得；
【小問2詳解】
，，
與垂直，
，解得．
19. 在中，設(shè)角所對的邊長分別為，且．
（1）求角；
（2）若的面積，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理和三角函數(shù)值與角的關(guān)系可求出；
（2）由三角形的面積公式得到，再由余弦定理求出，最后再利用正弦定理求出外接圓半徑，求得最后結(jié)果.
小問1詳解】
因?yàn)?，整理?br>又由余弦定理得，所以，即
因?yàn)?，所以?br>【小問2詳解】
由（1）得，因?yàn)榈拿娣e，所以，所以，
由于，所以，
又由余弦定理：，所以．
所以，
所以由正弦定理得，所以．
20. 已知平面向量，滿足，，.
（1）求；
（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)由給定條件求出，再根據(jù)向量模的計(jì)算公式即可得解；
(2)根據(jù)向量夾角為銳角借助數(shù)量積列出不等關(guān)系即可作答.
【詳解】（1）依題意，，得，
，
所以；
（2）由向量與的夾角為銳角，可得，即有，解得，
而當(dāng)向量與同向時(shí)，可知，
綜上所述的取值范圍為.
21. 在△中，角的對邊分別為，已知，（1）求（2）若，△的面積為，求
【答案】：（1）（2）或
【解析】
【詳解】：（1）由得
即從而
（2）由于，所以又，即，解得由余弦定理，得
解方程組，得或
22. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，滿足，
（1）求；
（2）是線段邊上的點(diǎn)，若，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合二倍角的正弦公式即可得解；
（2）設(shè)，，，利用在和中，利用余弦定理求出的關(guān)系，再在中，利用余弦定理求出的關(guān)系，進(jìn)而可求出，即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
所以，所以；
【小問2詳解】
設(shè)，，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，，
所以，，整理得①，
在中，由余弦定理得，
則②，
由①②得，故，
將代入①式得，
所以的面積.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：
（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；
（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；
（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；
（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；
（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.

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