高一數(shù)學(xué)試題
（考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．的值為（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函數(shù)，則（ ）
A．1B．C．D．
5．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
6．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的值域是
C．直線是函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸
D．的遞減區(qū)間是，
7．若，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．以下四個(gè)命題，其中是真命題的有（ ）
A．命題“”的否定是“”
B．若，則
C．函數(shù)且的圖象過(guò)定點(diǎn)
D．冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為1
10．已知正數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．的最小值是2B．的最大值是1
C．的最小值是4D．的最大值是
11．中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面為“美觀扇面”，下列結(jié)論正確的是（參考數(shù)據(jù)：）（ ）

A．
B．若，扇形的半徑，則
C．若扇面為“美觀扇面”，則
D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時(shí)的扇形面積為
12．一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)不存在跟隨區(qū)間
B．若為的跟隨區(qū)間，則
C．二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”
D．若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13． ．
14．若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則常數(shù)a的取值范圍為 ．
15．已知，則 ．
16．已知函數(shù)，．對(duì)任意，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
四、解答題：本大題共6小題，共70分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．已知集合，.
(1)分別求，；
(2)已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18．（1）化簡(jiǎn)：.
（2）已知，且在同一象限，求的值.
19．已知函數(shù)（且）.
(1)求的定義域；
(2)判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；
(3)求不等式的解集.
20．一研究小組在對(duì)某學(xué)校的學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中發(fā)現(xiàn)，其注意力指數(shù)與聽(tīng)課時(shí)間之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖像的一部分，當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)，且圖像的一部分.根據(jù)研究，當(dāng)注意力指數(shù)不小于80時(shí)聽(tīng)課效果最佳.
(1)求的函數(shù)關(guān)系式；
(2)有一道數(shù)學(xué)難題，講解需要22分鐘，問(wèn)老師能否經(jīng)過(guò)合理安排在學(xué)生聽(tīng)課效果最佳時(shí)段講完？請(qǐng)說(shuō)明理由.
21．已知函數(shù)，
(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求不等式的解集；
(3)若方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
22．已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，，.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)指出函數(shù)的單調(diào)性（說(shuō)明理由，不需要證明）；
(3)設(shè)對(duì)任意，都有成立；請(qǐng)問(wèn)是否存在的值，使最小值為，若存在求出的值.
參考答案與解析
1．B
【分析】先求出集合中的范圍，再在數(shù)軸上表示出兩集合的范圍，即可求出.
【解答】根據(jù)題意，，
所以.
故選:B.
2．A
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式將角式子轉(zhuǎn)化成即可得出結(jié)果.
【解答】易知；
所以.
故選：A
3．C
【分析】分別利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)單調(diào)性，限定的取值范圍即可得出結(jié)論.
【解答】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增可知，即；
由三角函數(shù)單調(diào)性可知；
利用指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增可得；
所以.
故選：C
4．B
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式直接運(yùn)算即可.
【解答】，所以，所以.
故選：B
5．C
【分析】根據(jù)奇偶性排除D，再取特值排除AB.
【解答】因?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；
故選：C.
6．D
【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式，得到其最小正周期，值域，對(duì)稱軸和遞減區(qū)間，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，得到答案.
【解答】函數(shù)
所以函數(shù)的最小正周期，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
由解析式可知，所以的值域?yàn)椋赃x項(xiàng)B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，，
不是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
令，，
可得，，
的遞減區(qū)間是，，所以選項(xiàng)D正確.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正切型函數(shù)的周期、值域、對(duì)稱性和單調(diào)區(qū)間，屬于簡(jiǎn)單題.
7．A
【分析】將寫(xiě)成，利用誘導(dǎo)公式，化為，然后利用余弦函數(shù)的二倍角公式可得出答案.
【解答】
故選：A
8．D
【分析】根據(jù)已知得出函數(shù)的周期，由已知作出函數(shù)的圖象，以及的圖象，結(jié)合圖象，以及函數(shù)值，即可得出答案.
【解答】由已知可得，，所以周期為2.
又函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
根據(jù)已知，作出函數(shù)的圖象，以及的圖象

因?yàn)?，，由圖象可知，與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有9個(gè)，
所以，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)評(píng)：作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，即可得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
9．ACD
【分析】對(duì)于A，根據(jù)全稱命題的否定可判斷；對(duì)于B，根據(jù)條件，利用作差法即可判斷；對(duì)于C，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷；對(duì)于D，由冪函數(shù)的解析式及性質(zhì)可判斷.
【解答】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“”的否定是“，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，則，又 ，得到，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以過(guò)定點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，得到或，
又在上為減函數(shù)，所以，即，所以，故選項(xiàng)D正確，
故選：ACD.
10．ABD
【分析】根據(jù)題中條件及基本不等式，逐項(xiàng)分析即可.
【解答】因?yàn)椋裕?br>則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即的最小值是2，故A正確；
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即的最大值是1，故B正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即的最小值是，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
即的最大值是，故D正確，
故選:ABD.
11．AC
【分析】首先確定所在扇形的圓心角，結(jié)合扇形面積公式可確定A正確；由可求得，代入扇形面積公式可知B錯(cuò)誤；由即可求得，知C正確；由扇形面積公式可直接判斷出D錯(cuò)誤.
【解答】對(duì)于A，與所在扇形的圓心角分別為，，
，A正確；
對(duì)于B，，，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，，C正確；
對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
12．BC
【分析】根據(jù)“跟隨區(qū)間”的定義對(duì)選項(xiàng)逐一分析，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、值域等知識(shí)確定正確答案.
【解答】對(duì)于A選項(xiàng)，由題，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間與上均為增函數(shù)，
若存在跟隨區(qū)間則有，即為的兩根．
即的根，故，故A錯(cuò)誤．
對(duì)于B選項(xiàng)，若為的跟隨區(qū)間，
因?yàn)樵趨^(qū)間為增函數(shù)，故其值域?yàn)椋?br>根據(jù)題意有，解得或，因?yàn)楣?，故B正確．
對(duì)于C選項(xiàng)，若存在“3倍跟隨區(qū)間”，則可設(shè)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，?dāng)時(shí)，易得在區(qū)間上單調(diào)遞增，
此時(shí)易得為方程的兩根，
求解得或.故定義域，則值域?yàn)椋蔆正確．
對(duì)于D選項(xiàng)，若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，
因?yàn)闉闇p函數(shù)，
故由跟隨區(qū)間的定義可知，
即，
因?yàn)?，所以?br>易得．
所以，
令代入化簡(jiǎn)可得，
同理也滿足，
即在區(qū)間上有兩不相等的實(shí)數(shù)根．
故，解得，故D錯(cuò)誤．
故選：BC
13．6
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算法則求解.
【解答】.
故答案為：6.
14．
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可得到答案.
【解答】因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù)，
則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，
故若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則，可得．
故答案為：.
15．##
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，以及“1”的妙用即可將轉(zhuǎn)化為的形式，代入即可求得結(jié)果.
【解答】由題意知，
又因?yàn)椋瑢⑸鲜椒肿臃帜竿瑫r(shí)除以得
代入即可得，
故答案為：
16．
【分析】根據(jù)和的值域以及恒成立、存在性等知識(shí)求得的取值范圍.
【解答】，
所以.
的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
所以，
由于任意，存在，使得，
所以，解得，所以的取值范圍是.
故答案為：
17．(1)，
(2)或
【分析】（1）解出兩個(gè)集合內(nèi)的不等式即可求解；
（2）用集合間包含關(guān)系相關(guān)知識(shí)即可求解.
【解答】（1）因?yàn)榻獾?，即?br>而解得，即，
所以， .
（2）當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，符合條件；
當(dāng)，即時(shí)，，
要使，只需，即.
故要使，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.
18．（1）0；（2）.
【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)整理；（2）先根據(jù)三角函數(shù)值判斷所在象限，進(jìn)而利用平方關(guān)系可求，代入兩角和的余弦公式運(yùn)算求值.
【解答】（1）.
（2）∵，且在同一象限，則為第二象限角，
∴，
故.
19．(1)
(2)是奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析
(3)當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
【分析】（1）由函數(shù)有意義所需條件，求的定義域；
（2）由函數(shù)奇偶性的定義，判斷并證明的奇偶性；
（3）分類討論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式.
【解答】（1）要使函數(shù)有意義，則，解得 ，即函數(shù)的定義域?yàn)?.
（2）是奇函數(shù)，理由如下：
由(1)知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，
即函數(shù)是奇函數(shù)。
（3）若，則，即，
若，則 ， 解得；
若，則 ，解得
即當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
20．(1)
(2)能，理由見(jiàn)解答
【分析】(1)根據(jù)所給的函數(shù)圖像先求出當(dāng)t∈(0,14]時(shí)的二次函數(shù)解析式，再由點(diǎn)，代入函數(shù)求出t∈[14,40]時(shí)的解析式，用分段函數(shù)表達(dá)即可.
(2)對(duì)分段函數(shù)，分別解不等式，求出的取值范圍，然后取并集，再計(jì)算時(shí)間的長(zhǎng)度，然后對(duì)老師能否經(jīng)過(guò)合理安排在學(xué)生聽(tīng)課效果最佳時(shí)講完做出判斷.
【解答】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，
將點(diǎn)(14,81)代入得，
∴當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)代入，得.
所以
（2）當(dāng)時(shí)， ，
解得:，
所以；
當(dāng)時(shí)，，
解得，所以，
綜上時(shí)學(xué)生聽(tīng)課效果最佳.
此時(shí).
所以，教師能夠合理安排時(shí)間講完題目.
故老師能經(jīng)過(guò)合理安排在學(xué)生聽(tīng)課效果最佳時(shí)段講完.
21．(1)和
(2)
(3)
【分析】（1）由的取值范圍求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）依題意可得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（3）首先求出在上的單調(diào)性，求出端點(diǎn)的函數(shù)值，依題意與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【解答】（1）由，則，
令或，
解得或，
所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
（2）由，即，
所以，所以，，
解得，，
所以不等式的解集為.
（3）由，則，
令，解得，
令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，
因?yàn)榉匠淘谏嫌袃蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
22．(1)；
(2)減函數(shù)；
(3).
【分析】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以恒成立，據(jù)此可求出的值；
（2）由（1）可求出，討論，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷的單調(diào)性；
（3）根據(jù)題意，結(jié)合（1）對(duì)原不等式變形可得，
又根據(jù)的單調(diào)性得，整理得，
從而轉(zhuǎn)化為求的最小值，再解關(guān)于的不等式，
對(duì)函數(shù)換元討論求最小值，得到關(guān)于的方程解之即可得到答案.
【解答】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù)，所以恒成立，
即恒成立，
所以，又，所以；
（2）
由（1）知
因?yàn)樵谑菧p函數(shù)，又，
所以在上為減函數(shù)；
（3）因?yàn)閷?duì)任意都有,
所以對(duì)任意都有，
由在上為減函數(shù)；
所以對(duì)任意都有，
所以對(duì)任意都有，
因?yàn)椋?br>所以即，解得
因?yàn)椋?br>令，則，
令，它的對(duì)稱軸為，
當(dāng)，即時(shí)，
在上是增函數(shù)，
，
解得舍去，
當(dāng)即時(shí)，
此時(shí)，
解得，所以.
【點(diǎn)評(píng)】小問(wèn)(3)屬于單調(diào)性和奇偶性綜合應(yīng)用問(wèn)題，以及函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行恒等變形，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，求最值解不等式得到的范圍，再通過(guò)換元把轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)閉區(qū)間上最值問(wèn)題.本小題難度較大，對(duì)數(shù)學(xué)能力要求較高.

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