1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；
2、通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例、周長(zhǎng)的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方；
3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實(shí)際問題；
4、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小，在同一直角坐標(biāo)系中，感受位似變換后點(diǎn)的坐標(biāo)變化；
一、相似圖形及比例線段
1．相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).
要點(diǎn)：
(1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；
(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩 個(gè)圖形全等；
2.相似多邊形
如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．
要點(diǎn)：
（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．
（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比.
3. 比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．
要點(diǎn)：
（1）若a:b=c:d ，則ad=bc；（d也叫第四比例項(xiàng)）
（2）若a:b=b:c ，則 =ac（b稱為a、c的比例中項(xiàng)）．
4.平行線分線段成比例：
基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
二、相似三角形
相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.
要點(diǎn)：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.
判定方法（三）：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.
要點(diǎn)：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.
判定方法（四）：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.
2.相似三角形的性質(zhì)：
（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；
（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；
相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
要點(diǎn)：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.
(3) 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；
（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。
3.相似多邊形的性質(zhì)：
（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．
（2）相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比．
（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．
三、位似
1.位似圖形定義: 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．
2.位似圖形的性質(zhì):
（1）位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；
（2) 位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；
（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.
要點(diǎn)：
(1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.
（2）位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)
為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.
題型一 成比例線段
【例1】下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，6cmB．4cm，5cm，6cm，10cm
C．1cm，2cm，5cm，6cmD．3cm，4cm，5cm，6cm
【答案】A
【分析】四條線段成比例，根據(jù)線段的長(zhǎng)短關(guān)系，從小到大排列，判斷中間兩項(xiàng)的積是否等于兩邊兩項(xiàng)的積，相等即成比例．
【解析】解：A、，四條線段成比例，符合題意；
B、，四條線段不成比例，不符合題意；
C、，四條線段不成比例，不符合題意；
D、，四條線段不成比例，不符合題意；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．
鞏固訓(xùn)練：
1．如果，那么的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【解析】解：，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，線段上一點(diǎn)將線段分成兩部分，兩部分中較短的線段與較長(zhǎng)線段的比值等于較長(zhǎng)的線段與整條線段的比值等于，這個(gè)點(diǎn)就叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，進(jìn)行求解即可．
【解析】解：由題意，得：，
∴；
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割點(diǎn)．熟記定義，是解題的關(guān)鍵．
3．如果，是的比例中項(xiàng)，則下面結(jié)論正確的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)可得，從而得出．
【解析】解：∵是的比例中項(xiàng)，
∴，即．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查比例中項(xiàng)得性質(zhì)．如果a、b、c三個(gè)量成連比例，即，則b叫做a和c的比例中項(xiàng)．它的性質(zhì)：．
題型二 平行線分線段成比例
【例2】如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，交邊于點(diǎn)E，若，，則線段的長(zhǎng)為（ ）

A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得計(jì)算即可．
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是找到．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，若直線，且，，則（ ）

A．5B．6
C．9D．10
【答案】C
【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得．
【解析】解：直線，且，
，
又，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．
2．如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項(xiàng)即可．
【解析】解：A．由，得，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．由，得，又由，得，則，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；
C．由，得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
3．圖，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)E．若的周長(zhǎng)為10，則平行四邊形的周長(zhǎng)為（ ）

A．16B．32C．36D．4
【答案】B
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得，，，，證是的中位線，則，，求出，則，即可得出答案．
【解析】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位線，
∴，，
∵的周長(zhǎng)等于10，
∴，
∴，
∴，
∴的周長(zhǎng)；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理，平行線分線段成比例等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理，求出是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在中，D是邊上的中點(diǎn)，E在上，且，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】取的中點(diǎn)M，連接，根據(jù)三角形中位線定理得，再根據(jù)平行線分線段成比例得，即可得出答案．
【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)M，連接，
∵D是邊上的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選:B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，本題輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．
題型三 相似多邊形
【例3】下列說法不正確的是（ ）
A．所有的正五邊形都相似B．所有的正方形都相似
C．所有的正三角形都相似D．所有的等腰三角形都相似
【答案】D
【分析】相似形就是形狀相同的兩個(gè)圖形，即對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)圖形，依據(jù)定義即可進(jìn)行判斷．
【解析】解：A．所有的正五邊形都相似，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．所有的正方形都相似，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．所有的正三角形都相似，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．所有的等腰三角形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，所有的等腰三角形不一定相似，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的識(shí)別．解題的關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)圖形相似的依據(jù)：對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，兩個(gè)條件必須同時(shí)具備．
鞏固訓(xùn)練：
1．以下命題中，①兩個(gè)直角三角形一定相似；②兩個(gè)等邊三角形一定相似；③兩個(gè)菱形一定相似；④任意兩個(gè)矩形一定相似；⑤兩個(gè)正六邊形一定相似．其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)相似圖形的定義，形狀相同的圖形是相似圖形．具體的說就是對(duì)應(yīng)的角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷．
【解析】解：①任意兩個(gè)直角三角形，不能判斷它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，所以不一定相似；
②任意兩個(gè)等邊三角形，它們的內(nèi)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．所以一定相似；
③任意兩個(gè)菱形，只能判斷對(duì)應(yīng)邊的比相等，不能判斷對(duì)應(yīng)的角相等．所以不一定相似；
④任意兩個(gè)矩形，它們的對(duì)應(yīng)角相等，不能判斷對(duì)應(yīng)邊的比相等．所以不一定相似；
⑤任意兩個(gè)正六邊形，它們的內(nèi)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．所以一定相似．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似圖形，解題的關(guān)鍵是判斷對(duì)應(yīng)的角是否相等和對(duì)應(yīng)的邊是否成比例．
2．兩個(gè)相似多邊形的面積比是，其中較小多邊形的周長(zhǎng)為，則較大多邊形的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用面積比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周長(zhǎng)比等于相似比進(jìn)行計(jì)算即可．
【解析】解：兩相似多邊形的面積比是，
∴兩相似多邊形的相似比為：，
∴兩相似多邊形的周長(zhǎng)比為：，
∵較小多邊形的周長(zhǎng)為，
∴較大多邊形的周長(zhǎng)為：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．熟練掌握相似多邊形的面積比等于相似比的平方，周長(zhǎng)比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，四邊形四邊形，若 ，，則（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和計(jì)算的度數(shù)即可．
【解析】解：四邊形四邊形，
，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，也考查了四邊形的內(nèi)角和．
題型四 相似三角形的判定
【例4】．如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，與不平行，添加下列條件之一仍不能判定的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由于，則根據(jù)相似三角形的判定方法可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解析】解：，
當(dāng)時(shí)，，故A不合題意；
當(dāng)時(shí)，，故C不合題意；
當(dāng)時(shí)，，故D不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，下列條件不能判定的是（ ）

A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，以及根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，分別判斷得出即可．
【解析】解：A、∵，，
∴，故此選項(xiàng)不合題意；
B、∵，，
∴，故此選項(xiàng)不合題意；
C、∵，
∴，
又∵，
∴，故此選項(xiàng)不合題意；
D、不能判定，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.
2．如圖，為線段上的一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】由相似三角形的判定逐一進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：，且，
，
，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；
，
，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；
，
，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；
由條件無法證明，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，則圖中的三角形中與相似的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用相似三角形的判定方法結(jié)合正方形的性質(zhì)分析得出答案．
【解析】解：由題意可得：，，
，，，，
，，
，
又，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確得出對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
4．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，畫2個(gè)相似三角形，正確的畫法有（ ）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】先計(jì)算出三角形的各邊再判斷兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊是否成比例，即可得．
【解析】解：第一個(gè)網(wǎng)格中的兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比例：，這兩個(gè)三角形是相似三角形；
第二個(gè)網(wǎng)格中的兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比例：，這兩個(gè)三角形是相似三角形；
第三個(gè)網(wǎng)格中的兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比例：，這兩個(gè)三角形是相似三角形；
第四個(gè)網(wǎng)格中的兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比例：，這兩個(gè)三角形不是相似三角形；
綜上，正確的畫法有3個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定．
題型五 相似三角形的性質(zhì)
【例5】．如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)中線比是，那么它們的面積比是 ．
【答案】16：9
【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于其相似比，面積比等于相似比的平方即可求解．
【解析】解：∵兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比是，
∴它們相似比是，
∴它們的面積比為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解．（1）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方．（3）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，且，如果，那么的長(zhǎng) ．

【答案】/
【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，即，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，，．如果的面積為，那么的面積為（ ）

A．B．C．5D．
【答案】C
【分析】首先證明，由相似三角形的性質(zhì)可得：的面積∶的面積為1∶4，設(shè)，那么，因?yàn)榈拿娣e為，得出的面積．
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴的面積∶的面積為1∶4，
則設(shè)，那么，
∵的面積為，
∴，
即，
所以的面積為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)；熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方，是中考常見題型，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．
3．如圖，已知正方形的頂點(diǎn)D、E在的邊上，點(diǎn)G、F分別在邊上，如果，的面積是32，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】A
【分析】過點(diǎn)A作于H，交于M，如圖，先利用三角形面積公式計(jì)算出，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，再證明，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得方程，然后解關(guān)于x的方程即可．
【解析】解：如圖，過點(diǎn)A作于H，交于M，
∵的面積是32，，
∴，
∴，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，
∵，
∴，
∴ ，
，解得∶，
即這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是4．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．
題型六 圖形的位似
【例6】．如圖，與位似，位似中心為點(diǎn)O，位似比為，則的比值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用位似變換的性質(zhì)判斷即可．
【解析】解：∵與位似，位似中心為點(diǎn)O，位似比為，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查位似變換，解題的關(guān)鍵是理解位似變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，與位似，點(diǎn)為位似中心，位似比為，若的周長(zhǎng)為6，則的周長(zhǎng)是（ ）

A．16B．9C．6D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)位似變換的定義、相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解析】解：和是位似圖形，位似比為，
和的相似比為，
的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．如圖，中，A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長(zhǎng)放大到原來的2倍．設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】過點(diǎn)B作軸于D，過點(diǎn)作軸于，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，得到點(diǎn)B的橫坐標(biāo)．
【解析】解：如圖所示，過點(diǎn)B作軸于D，過點(diǎn)作軸于，

∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是，的橫坐標(biāo)是，
∴，
由題意得，，相似比為1：2，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，位似圖形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
題型七 圖形的相似綜合解答題
【例7】．已知：線段，且．
(1)求的值；
(2)如果線段，滿足，求的值．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）根據(jù)比例的性質(zhì)得出，即可得出的值；
（2）首先設(shè)，則，，，利用求出的值即可得出答案．
【解析】（1）解：，
，
；
（2）設(shè)，
則，，，
，
，
，
，，．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知得出，，進(jìn)而得出的值是解題關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，已知，；，，．求的長(zhǎng)．

【答案】
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，代入計(jì)算即可．
【解析】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．測(cè)量物體高度
小明想測(cè)量一棵樹的高度，在陽光下，小明測(cè)得一根長(zhǎng)為米的竹竿的影長(zhǎng)為米．同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量一棵樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖），其影長(zhǎng)為米，落在地面上的影長(zhǎng)為米，則樹高為多少米．
小明在某一時(shí)刻測(cè)得的桿子在陽光下的影子長(zhǎng)為，他想測(cè)量電線桿的高度，但其影子恰好落在土坡的坡面和地面上，量得，，與地面成．求電線桿的高度．
【答案】（1）樹高為米．（2）．
【分析】（1）在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似．本題中：經(jīng)過樹在教學(xué)樓上的影子的頂端作樹的垂線和經(jīng)過樹頂?shù)奶柟饩€以及樹所成三角形，與竹竿，影子光線形成的三角形相似，這樣就可求出垂足到樹的頂端的高度，再加上墻上的影高就是樹高．
（2）先根據(jù)題意畫出圖形，作DE⊥BC交BC延長(zhǎng)線于E，作DF⊥AB于F，再根據(jù)CD的長(zhǎng)以及坡角求出落在斜坡上的影長(zhǎng)，即AF的影長(zhǎng)，然后根據(jù)1 m桿的影子長(zhǎng)為2 m，求解電線桿AF的高度，再加DE的長(zhǎng)，即為電線桿AB的高度．
【解析】（1）設(shè)從墻上的影子的頂端到樹的頂端的垂直高度是x米，則
，
解得：x=4，
所以樹高AB=4+1.2=5.2（米），
答：樹高為5.2米；
作交延長(zhǎng)線于，作于，
由題意可知：，
∵，
∴，
∴，
又∵某一時(shí)刻測(cè)得的桿子在陽光下的影子長(zhǎng)為，
∴，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴電線桿的高度．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確畫出圖形并熟練應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意；影子平行于物體時(shí)，影子和物體的實(shí)際高度相等；影子垂直于物體時(shí)，根據(jù)：同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例進(jìn)行計(jì)算．
3．如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、．
(1)以O(shè)點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將放大到原來的2倍得到；
(2)如果周長(zhǎng)為m，則的周長(zhǎng)為___________________；
(3)若線段BC上有一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)____________．
【答案】(1)詳見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，畫出即可；
（2）根據(jù)位似比等于相似比，周長(zhǎng)比等于相似比，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)以原點(diǎn)為位似中心的圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【解析】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）∵以O(shè)點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將放大到原來的2倍得到，
∴，相似比為；
∴的周長(zhǎng)比為；
∵的周長(zhǎng)為m，
∴的周長(zhǎng)為；
故答案為：．
（3）從這兩個(gè)相似三角形坐標(biāo)位置關(guān)系來看，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)正好是原坐標(biāo)乘以的坐標(biāo)，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形．熟練掌握位似圖形的定義和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，已知在中，是的中線，，點(diǎn)在邊上，．

(1)求證：；
(2)求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）先證明，可得，再證明，再結(jié)合，從而可得結(jié)論；
（2）先證明，可得，可得，再證明，可得，可得，從而可得答案．
【解析】（1）證明： 為的中線，
，
，
，
，
，，，
，
，
（2），
．
，
∵，
，
，，
，
，
，
由①②可得，．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的證明三角形相似是解本題的關(guān)鍵．
5．如圖，在正方形中，E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且．

(1)求證：；
(2)與相似嗎？為什么？
【答案】(1)見解析
(2)相似，理由見解析
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得,，再根據(jù)可得，進(jìn)而說明，再結(jié)合，即可證明結(jié)論；
（2）設(shè)，利用E為邊的中點(diǎn)，，得到，則可計(jì)算出,由勾股定理逆定理可得以及再說明即可證明結(jié)論．
【解析】（1）解：∵正方形，
∴,
∵，
∴，
∵點(diǎn)F在上，
∴,
∴,
∵,
∴．
（2）解：與相似，理由如下：
設(shè)，
∵E為邊的中點(diǎn)，，
∴，
∴，,,
∴,即,
∴,
∵,
∴,
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定、正方形的性質(zhì)、勾股定理逆定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解答本題的關(guān)鍵．
6．如圖1，在平行四邊形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線與交于點(diǎn)M，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，．

(1)求證：；
(2)求的值；
(3)如圖2，將直線向下平移與交于點(diǎn)E，過E作交于F，若，直接寫出的值．（用含m的代數(shù)式表示）
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得，，再根據(jù)，，通過等量代換即可證明；
（2）先證，，再證，即可求解；
（3）先證，，根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論可得，設(shè)，則，用含m的代數(shù)式表示相關(guān)線段，代入求解即可．
【解析】（1）證明：，
，
，
，
，，
，
又，
；
（2）解：由（1）得，
又，
，
，
中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，
，
，
；
（3）解：如圖，

，
，
結(jié)合（1）中結(jié)論，可得，
又，
，
，
在中，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
又，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)，熟練進(jìn)行等量代換．
7．矩形中，，是邊上一點(diǎn)，以為邊在矩形在內(nèi)部構(gòu)造矩形．

(1)特例發(fā)現(xiàn)
如圖，當(dāng)時(shí)， ；
(2)類比探究
如圖，如圖，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，連接，當(dāng)時(shí)，求的值；
(3)拓展運(yùn)用
如圖，矩形在旋轉(zhuǎn)的過程中，落在邊上時(shí)，若、、三點(diǎn)共線，時(shí)，當(dāng)時(shí)，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，由矩形的性質(zhì)可得，，由線段和差關(guān)系可求，即可求解；
（2）通過證明，可得；
（3）由相似三角形的性質(zhì)可求，的長(zhǎng)，由勾股定理可求的長(zhǎng)，通過證明，可求解．
【解析】（1）解：如圖，延長(zhǎng)交于，

，
，，
矩形和矩形是正方形，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）解：如圖，連接，，

，
，，
矩形和矩形是正方形，
，，，
，，
∴
；
（3）解：，，
設(shè)，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．

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