1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；
2、通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例、周長(zhǎng)的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方；
3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題；
4、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小，在同一直角坐標(biāo)系中，感受位似變換后點(diǎn)的坐標(biāo)變化；
一、相似圖形及比例線段
1．相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).
要點(diǎn)：
(1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；
(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩 個(gè)圖形全等；
2.相似多邊形
如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說(shuō)它們是相似多邊形．
要點(diǎn)：
（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．
（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比.
3. 比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．
要點(diǎn)：
（1）若a:b=c:d ，則ad=bc；（d也叫第四比例項(xiàng)）
（2）若a:b=b:c ，則 =ac（b稱為a、c的比例中項(xiàng)）．
4.平行線分線段成比例：
基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
二、相似三角形
相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.
要點(diǎn)：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.
判定方法（三）：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.
要點(diǎn)：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.
判定方法（四）：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.
2.相似三角形的性質(zhì)：
（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；
（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；
相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
要點(diǎn)：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.
(3) 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；
（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。
3.相似多邊形的性質(zhì)：
（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．
（2）相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比．
（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．
三、位似
1.位似圖形定義: 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．
2.位似圖形的性質(zhì):
（1）位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；
（2) 位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；
（3）位似圖形中不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.
要點(diǎn)：
(1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.
（2）位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)
為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.
題型一 成比例線段
【例1】下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，6cmB．4cm，5cm，6cm，10cm
C．1cm，2cm，5cm，6cmD．3cm，4cm，5cm，6cm
鞏固訓(xùn)練：
1．如果，那么的值為（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)為（ ）

A．B．C．D．
3．如果，是的比例中項(xiàng)，則下面結(jié)論正確的是（ ）．
A．B．C．D．
題型二 平行線分線段成比例
【例2】如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，交邊于點(diǎn)E，若，，則線段的長(zhǎng)為（ ）

A．6B．5C．4D．3
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，若直線，且，，則（ ）

A．5B．6
C．9D．10
2．如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（ ）

A．B．C．D．
3．圖，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)E．若的周長(zhǎng)為10，則平行四邊形的周長(zhǎng)為（ ）

A．16B．32C．36D．4
4．如圖，在中，D是邊上的中點(diǎn)，E在上，且，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
題型三 相似多邊形
【例3】下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．所有的正五邊形都相似B．所有的正方形都相似
C．所有的正三角形都相似D．所有的等腰三角形都相似
鞏固訓(xùn)練：
1．以下命題中，①兩個(gè)直角三角形一定相似；②兩個(gè)等邊三角形一定相似；③兩個(gè)菱形一定相似；④任意兩個(gè)矩形一定相似；⑤兩個(gè)正六邊形一定相似．其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
2．兩個(gè)相似多邊形的面積比是，其中較小多邊形的周長(zhǎng)為，則較大多邊形的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，四邊形四邊形，若 ，，則（ ）

A．B．C．D．
題型四 相似三角形的判定
【例4】．如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，與不平行，添加下列條件之一仍不能判定的是（ ）

A．B．C．D．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，下列條件不能判定的是（ ）

A． B．
C．D．
2．如圖，為線段上的一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

A． B．
C．D．
3．如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，則圖中的三角形中與相似的是（ ）

A．B．C．D．
4．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，畫(huà)2個(gè)相似三角形，正確的畫(huà)法有（ ）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
題型五 相似三角形的性質(zhì)
【例5】．如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)中線比是，那么它們的面積比是 ．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，且，如果，那么的長(zhǎng) ．

2．如圖，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，，．如果的面積為，那么的面積為（ ）

A．B．C．5D．
3．如圖，已知正方形的頂點(diǎn)D、E在的邊上，點(diǎn)G、F分別在邊上，如果，的面積是32，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是（ ）
A．4B．8C．D．
題型六 圖形的位似
【例6】．如圖，與位似，位似中心為點(diǎn)O，位似比為，則的比值為（ ）

A．B．C．D．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，與位似，點(diǎn)為位似中心，位似比為，若的周長(zhǎng)為6，則的周長(zhǎng)是（ ）

A．16B．9C．6D．4
2．如圖，中，A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍．設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是（ ）

A．B．C．D．
題型七 圖形的相似綜合解答題
【例7】．已知：線段，且．
(1)求的值；
(2)如果線段，滿足，求的值．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，已知，；，，．求的長(zhǎng)．

2．測(cè)量物體高度
小明想測(cè)量一棵樹(shù)的高度，在陽(yáng)光下，小明測(cè)得一根長(zhǎng)為米的竹竿的影長(zhǎng)為米．同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量一棵樹(shù)的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖），其影長(zhǎng)為米，落在地面上的影長(zhǎng)為米，則樹(shù)高為多少米．
小明在某一時(shí)刻測(cè)得的桿子在陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)為，他想測(cè)量電線桿的高度，但其影子恰好落在土坡的坡面和地面上，量得，，與地面成．求電線桿的高度．
3．如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、．
(1)以O(shè)點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將放大到原來(lái)的2倍得到；
(2)如果周長(zhǎng)為m，則的周長(zhǎng)為_(kāi)__________________；
(3)若線段BC上有一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)____________．
4．如圖，已知在中，是的中線，，點(diǎn)在邊上，．

(1)求證：；
(2)求證：．
5．如圖，在正方形中，E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且．

(1)求證：；
(2)與相似嗎？為什么？
6．如圖1，在平行四邊形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線與交于點(diǎn)M，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，．

(1)求證：；
(2)求的值；
(3)如圖2，將直線向下平移與交于點(diǎn)E，過(guò)E作交于F，若，直接寫(xiě)出的值．（用含m的代數(shù)式表示）
7．矩形中，，是邊上一點(diǎn)，以為邊在矩形在內(nèi)部構(gòu)造矩形．

(1)特例發(fā)現(xiàn)
如圖，當(dāng)時(shí)， ；
(2)類比探究
如圖，如圖，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，連接，當(dāng)時(shí)，求的值；
(3)拓展運(yùn)用
如圖，矩形在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，落在邊上時(shí)，若、、三點(diǎn)共線，時(shí)，當(dāng)時(shí)，則的長(zhǎng)為 ．

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