第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）要得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象（）
A．向左平移1個(gè)單位B．向右平移1個(gè)單位
C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位
【答案】D
【解析】由向右平移個(gè)單位，則.
故選：D
2．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某款電子產(chǎn)品的售價(jià)（萬元/件）與上市時(shí)間（單位：月）滿足函數(shù)關(guān)系（a，b為常數(shù)，且），若上市第2個(gè)月的售價(jià)為2.8萬元，第4個(gè)月的售價(jià)為2.64萬元，那么在上市第1個(gè)月時(shí)，該款電子產(chǎn)品的售價(jià)約為（）（參考數(shù)據(jù)：）
A．3.016萬元B．2.894萬元C．3.048萬元D．2.948萬元
【答案】B
【解析】由題得，，得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，不合題意舍去，
當(dāng)時(shí)，，則，所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上市第1個(gè)月時(shí)，該款電子產(chǎn)品的售價(jià)約為2.894萬元．
故選：B．
3．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)同時(shí)滿足性質(zhì)：①；②對(duì)于，，則函數(shù)可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由函數(shù)奇偶性的定義，若函數(shù)滿足，則函數(shù)為奇函數(shù)，
由函數(shù)單調(diào)性的定義，若函數(shù)滿足，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
選項(xiàng)中四個(gè)函數(shù)定義域均為，，都有
對(duì)于A，，故為奇函數(shù)，滿足性質(zhì)①，
∵與均在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，滿足性質(zhì)②；
對(duì)于B，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，為非奇非偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，性質(zhì)①，②均不滿足；
對(duì)于C，，故為奇函數(shù)，滿足性質(zhì)①，
令，，解得，，
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故在不單調(diào)，不滿足性質(zhì)②；
對(duì)于D，由冪函數(shù)的性質(zhì)，為偶函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞增，不滿足性質(zhì)①，滿足性質(zhì)②.
故選：A.
4．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（）
A．為奇函數(shù)B．為偶函數(shù)
C．為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)
【答案】B
【解析】方法一：因?yàn)?，所以?br>所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，將的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，關(guān)于軸對(duì)稱，
即為偶函數(shù).
方法二：因?yàn)椋?br>則，所以為偶函數(shù)；
又，故，，
所以，，故為非奇非偶函數(shù)；
又，故，，
所以，，故為非奇非偶函數(shù)；
又，故，，
所以，，故為非奇非偶函數(shù).
故選：B
5．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x，有（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)，，
則，顯然，且，AB錯(cuò)誤；
，D正確，C錯(cuò)誤.
故選：D
6．（2023·江西新余·統(tǒng)考二模）鐘靈大道是連接新余北站和新余城區(qū)的主干道，是新余對(duì)外交流的門戶之一，而仰天崗大橋就是這一條主干道的起點(diǎn)，其橋拱曲線形似懸鏈線，橋型優(yōu)美，被廣大市民們美稱為“彩虹橋”，是我市的標(biāo)志性建筑之一，函數(shù)解析式為，則下列關(guān)于的說法正確的是（）
A．，為奇函數(shù)
B．，在上單調(diào)遞增
C．，在上單調(diào)遞增
D．，有最小值1
【答案】B
【解析】由題意易得定義域?yàn)镽，，即為偶函數(shù)，
故A錯(cuò)誤；
令，則且隨增大而增大，
此時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性得單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原則得在上單調(diào)遞增，故B正確；
結(jié)合A項(xiàng)得在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
結(jié)合B項(xiàng)及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
7．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意正數(shù)，，都有，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，則，即，
令，，則，又，則，
不妨取任意正數(shù)，
，
因?yàn)?，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又是定義在上的奇函數(shù)，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
令，則，
令，，則，
∴，
又因?yàn)椋?，由和，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可以得到或，
故選：B.
8．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．
B．
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【解析】對(duì)于A，易知，，
所以，所以，錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋裕?br>由知，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，
雖然，但是，
故對(duì)，不恒成立，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，函數(shù)，
則，，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以，
即，所以，
所以，
又，
所以，
所以，
即，
所以，正確.
故選：D
9．（多選題）（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）下列計(jì)算正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A中，原式，所以A正確；
對(duì)于B中，原式，所以B正確；
對(duì)于C中，原式，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，原式，所以D正確.
故選：ABD.
10．（多選題）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，為導(dǎo)函數(shù)，，，則下列說法正確的是（）
A．為偶函數(shù)B．當(dāng)且時(shí)，恒成立
C．的值域?yàn)镈．與曲線無交點(diǎn)
【答案】AD
【解析】對(duì)A，，，∴為偶函數(shù)，A對(duì)；
對(duì)B，，因?yàn)椋?br>所以當(dāng)，，B錯(cuò)；
對(duì)C，由可得，
∵，∴，∴，C錯(cuò)；
對(duì)D，由，方程無解，∴與曲線無交點(diǎn)，D對(duì).
故選：AD
11．（多選題）（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）已知，函數(shù)的圖象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，函數(shù)圖象為曲線，A可能；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的圖象是不含端點(diǎn)的射線，B可能；
當(dāng)時(shí)，取，有，即函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，
又，隨著的無限增大，函數(shù)呈爆炸式增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)速度比的大，
因此存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，C可能，D不可能.
故選：ABC
12．（多選題）（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足．若對(duì)，都有成立，則整數(shù)的值可能是（）
A．B．C．0D．1
【答案】BC
【解析】由可得，
若對(duì)，都有成立，即，
整理可得，所以對(duì)都成立；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，所以，即；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，所以，即；
所以的取值范圍是，則整數(shù)的值可能是.
故選：BC
13．（2023·全國(guó)·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，則當(dāng)取得最小值時(shí)，_______.
【答案】
【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域可知，
則依題意得，而，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故.
故答案為：.
14．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，給出兩個(gè)性質(zhì)：
①在上是增函數(shù)；
②對(duì)任意，．
寫出一個(gè)同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②的函數(shù)解析式，_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】取函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，
函數(shù)在上為增函數(shù)，滿足性質(zhì)①；
因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪ⅲ?br>所以對(duì)任意，，滿足性質(zhì)②.
故答案為：（答案不唯一）
15．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）由函數(shù)的觀點(diǎn)，不等式的解集是______
【答案】
【解析】令，由于均為單調(diào)遞增函數(shù)，因此為上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，故的解為，
故答案為：
16．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（且），若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】由題意知若，即，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，，
∵的解集為，
∴，，且的解集為，
∴與是的兩根，
故，∴，
又，∴，
又，∴ ，
故答案為：
17．（2023·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)已知，求的取值范圍．
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，
則，解得；
經(jīng)檢驗(yàn)，故成立；
（2）因?yàn)?br>對(duì)任意，有
所以在上單調(diào)遞增
又，所以
解得
18．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）計(jì)算下列各式的值.
(1)；
(2).
【解析】（1）；
（2）.
19．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知為定義在上的偶函數(shù)，，且．
(1)求函數(shù)，的解析式；
(2)求不等式的解集．
【解析】（1）由題意易知，，則，
即，
故為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，
又①，則，
故②，
由①②解得，；
（2）由，可得，
所以，即，
令，則，
解得，
所以，即，
所以，
解得，
故不等式的解集為．
20．（2023·河南平頂山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)且）為定義在R上的奇函數(shù)
(1)利用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【解析】（1）證明：由函數(shù)為奇函數(shù)，有，解得，
當(dāng)時(shí)，，，符合函數(shù)為奇函數(shù)，可知符合題意．
設(shè)，有
，
由，有，有，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）由
．
（1）當(dāng)時(shí)，不等式為恒成立，符合題意；
（2）當(dāng)時(shí)，有，解得，
由上知實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（3）由，方程可化為，
若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于方程有兩個(gè)不相等的正根，
故有，即解得．
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
21．（2023·云南昆明·安寧市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值.
(2)當(dāng)時(shí)，求的值.
【解析】（1）由定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，則，可得，
所以，則滿足，
所以.
（2）當(dāng)時(shí)，令，則，
由（1）知為奇函數(shù)，則，
所以.
22．（2023·天津南開·南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（為常數(shù)，且，）．
(1)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，，
對(duì)任意的都有成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，即對(duì)恒成立，
令，則恒成立，即，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知：在上單調(diào)遞增，故，
∴的取值范圍是.
（2）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，對(duì)?x?R都有，即恒成立，即恒成立，
∴，解得，則，
此時(shí)，由可得：有實(shí)數(shù)解
令（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則，
∴方程，即在上有實(shí)數(shù)解，而在上單調(diào)遞增，
∴.
1．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，
令，
為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，
，
，，，則A正確，B錯(cuò)誤；
與的大小不確定，故CD無法確定.
故選：A.
2．（2013·全國(guó)·高考真題）若存在正數(shù)x使2x（x-a）＜1成立，則a 的取值范圍是
A．（-∞，+∞）B．(-2, +∞)C．(0, +∞)D．（-1，+∞）
【答案】D
【解析】由題意知，存在正數(shù)，使，所以，而函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以，故選D.
3．（2016·全國(guó)·高考真題）已知，，，則
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，，?br>因?yàn)閮绾瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，
即.
故選：A.
4．（2014·陜西·高考真題）下了函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A選項(xiàng)：由，，得，所以A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：由，，得；又函數(shù)是定義在上增函數(shù)，所以B正確；C選項(xiàng)：由，，得，所以C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：函數(shù)是定義在上減函數(shù)，所以D錯(cuò)誤；故選B.
考點(diǎn)：函數(shù)求值；函數(shù)的單調(diào)性.
5．（2017·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】由題意得：當(dāng)時(shí)，恒成立，即；當(dāng)時(shí)，恒成立，即；當(dāng)時(shí)，，即.綜上，x的取值范圍是.
6．（2015·山東·高考真題）已知函數(shù) 的定義域和值域都是，則_____________.
【答案】
【解析】若，則在上為增函數(shù),所以，此方程組無解；
若，則在上為減函數(shù),所以，解得，所以.
考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).
7．（2013·湖南·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（1）設(shè)集合不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊，且.則所對(duì)應(yīng)的的零點(diǎn)的取值集合為________.
（2）若是三角形的三條邊，則下列結(jié)論正確的是________.
①.
②，使不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng).
③若三角形是鈍角三角形，則，使.
【答案】 ①②③
【解析】（1）依題意，不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊，
因?yàn)?，所以，即?br>此時(shí)令，，，
且，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.
所以所對(duì)應(yīng)的的零點(diǎn)的取值集合為.
（2）若是三角形的三條邊，則，，
對(duì)于①，，，
所以，.①正確.
對(duì)于②，不妨令，此時(shí)，不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng). ②正確
對(duì)于③，，因?yàn)槿切问氢g角三角形，為鈍角.
由余弦定理可知，所以，故③正確.
故答案為：；①②③

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