2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進(jìn)行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
第01講 數(shù)列的基本知識與概念
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”（斐波那契數(shù)列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕草等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則k等于（ ）
A．12B．13C．89D．144
【答案】A
【解析】由斐波那契數(shù)列的性質(zhì)可得：
所以k等于12.
故選:A.
2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·?？寄M預(yù)測）若數(shù)列滿足，則（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?br>所以，
所以是周期為4的數(shù)列，故.
故選：B
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）著名的波那契列：，，，，，，，滿足，，那么是斐波那契數(shù)列中的
（ ）
A．第項B．第項C．第項D．第項
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以
.
故選：C
4．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）數(shù)列滿足，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以.
故選：C
5．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若數(shù)列中，，，且，記數(shù)列的前n項積為，則的值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，得，，，，，，
發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，且前6項積為1，則，，
所以原式的值為，
故選：D．
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）黃山市歙縣三陽鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護(hù)項目，至今已有500多年的歷史，表演時由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光彩奪目，好看又壯觀.小明同學(xué)在研究數(shù)列時，發(fā)現(xiàn)其遞推公式就可以利用“疊羅漢”的思想來處理，即 ，如果該數(shù)列的前兩項分別為，其前項和記為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，
所以
，
.
故選：D.
7．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列，若，則（ ）
A．9B．11C．13D．15
【答案】B
【解析】由，
令，則，則，
令，則，則.
故選：B.
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】數(shù)列是遞增數(shù)列，且，
則，解得，
故的取值范圍是
故選：D
9．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列說法中，正確的有（ ）
A．已知，則數(shù)列是遞增數(shù)列
B．?dāng)?shù)列的通項，若為單調(diào)遞增數(shù)列，則
C．已知正項等比數(shù)列，則有
D．已知等差數(shù)列的前項和為，則
【答案】AD
【解析】對于A中，由，可得，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以A正確；
對于B中，若數(shù)列的通項，
則恒成立，
所以，所以B錯誤；
對于C中，正項遞增的等比數(shù)列，若，
可得，此時，
所以C不正確；
對于D中，等差數(shù)列的前項和為且，
根據(jù)構(gòu)成等差數(shù)列，即構(gòu)成等差數(shù)列，
可得，解得，所以D正確.
故選：AD.
10．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k不能取的值是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】AB
【解析】由題意得：
數(shù)列是遞減數(shù)列
對于一切的恒成立
即對于一切的恒成立
故對于一切的恒成立，當(dāng)時，有最大值
故，所以
故選：AB
11．（多選題）（2023·河北滄州·高三滄州市一中?？茧A段練習(xí)）對任意的，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則函數(shù)的圖象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由且，即，即函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)都滿足，結(jié)合選項可知函數(shù)的圖象不可能是BCD，
故選：BCD.
12．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，則數(shù)列中的項的值可能為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】AC
【解析】由題意可得，
，
，
所以數(shù)列是周期為2的數(shù)列，
所以數(shù)列中的項的值可能為，．
故選：AC．
13．（多選題）（2023·廣東佛山·高三佛山一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】因?yàn)?，?br>所以，故A錯誤；
，，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，
所以，故B錯誤；
因?yàn)?，?br>所以，故C正確；
，故D正確；
故選：CD
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，且，則___________．
【答案】
【解析】由，，可得，，，…，
所以是以3為周期的周期數(shù)列，
因?yàn)椋?br>所以，
故答案為：0．
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則______．
【答案】
【解析】由數(shù)列滿足，且，
可得，，，，，，…，
所以是以4為周期的周期數(shù)列，所以．
故答案為：.
16．（2023·陜西榆林·高三陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)且，已知數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則a的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以解得，
故答案為: .
17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若存在常數(shù)，使得對任意的正整數(shù)n都有，則的最小值為______.
【答案】/4.5
【解析】因?yàn)椋?br>由已知，所以，，
設(shè)，則，，，
所以，，
所以，所以，
故，所以，，，
所以，所以B－A的最小值為，
故答案為：.
18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，為正整數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】當(dāng)時，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞減，
當(dāng)時，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取到最小值，
因?yàn)閿?shù)列滿足，
若，則是數(shù)列的最小項，
所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為: .
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列的最大項為第______項．
【答案】4
【解析】解法一：∵，
∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，
即，故數(shù)列的最大項為第4項．
解法二：設(shè)數(shù)列中的最大項為，則
即解得．
∵，∴．故數(shù)列的最大項為第4項．
20．（2023·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50%，預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同，公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩下的資金全部投入下一年生產(chǎn)，設(shè)第年年底企業(yè)上繳資金后剩余資金為萬元.
（1）用表示，，并寫出與的關(guān)系式；
（2）若公司希望經(jīng)過5年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金的值.（精確到0.01）
【解析】（1）由題意得：，
，
.
（2）由（1）得

整理得

由，即，
解得萬元 .
1．（2015?上海）若無窮等差數(shù)列的首項，公差，的前項和為，則
A．單調(diào)遞減B．單調(diào)遞增C．有最大值D．有最小值
【答案】
【解析】無窮等差數(shù)列的首項，公差，
是遞減數(shù)列，且先正值，后負(fù)值；
的前項和為先增加，后減??；
有最大值；
故選：．
2．（2022·全國甲卷·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】[方法一]:常規(guī)解法
因?yàn)椋?br>所以，，得到，
同理，可得，
又因?yàn)椋?br>故，；
以此類推，可得，，故A錯誤；
，故B錯誤；
，得，故C錯誤；
，得，故D正確.
[方法二]：特值法
不妨設(shè)則
故D正確.
3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，易得，依次類推可得
由題意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
綜上：．
故選：B．
4．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?，?br>由
，即
根據(jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
，
由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
由裂項求和法得：
所以，即．
故選：A．
5．（2021·全國甲卷·統(tǒng)考高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【解析】由題，當(dāng)數(shù)列為時，滿足，
但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．
若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．
故選：B．
6．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（ ）．
A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項
【答案】B
【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，
則其通項公式為：，
注意到，
且由可知，
由可知數(shù)列不存在最小項，
由于，
故數(shù)列中的正項只有有限項：，.
故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.
故選：B.
7．（2004·江蘇·高考真題）設(shè)數(shù)列的前n項和為，（對于所有），且，則的數(shù)值是___________．
【答案】
【解析】因?yàn)?，（對于所有）?br>所以，當(dāng)時，，
所以，解得.
所以，的數(shù)值是
故答案為：
8．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：
①的第2項小于3； ②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列； ④中存在小于的項．
其中所有正確結(jié)論的序號是__________．
【答案】①③④
【解析】由題意可知，，，
當(dāng)時，，可得；
當(dāng)時，由可得，兩式作差可得，
所以，，則，整理可得，
因?yàn)?，解得，①對?br>假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，
所以，，可得，解得，不合乎題意，
故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；
當(dāng)時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；
假設(shè)對任意的，，則，
所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.
故答案為：①③④.
9．（2004·浙江·高考真題）如圖，的在個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，設(shè)為線段BC的中點(diǎn)，為線段CO的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，對于每一個正整數(shù)n，為線段的中點(diǎn)，令的坐標(biāo)為，．
(1)求及；
(2)證明；
(3)若記，證明是等比數(shù)列．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，，，
， ，
，
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，
所以，
所以為常數(shù)列，
所以；
（2）由（1），
所以；
（3），
又，
所以是公比為，首項為的等比數(shù)列．

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