2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認真分析條件與目標的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
第02講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)校考三模）已知向量（2，1），（，3），則向量在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為向量（2，1），（，3），
所以向量在方向上的投影向量為
，
故選：C
2．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若向量，，則與的夾角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
又因為，所以，即與的夾角等于.
故選：D
3．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量，滿足，且，，則（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】，所以，
故選：D
4．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若等邊的邊長為2，平面內(nèi)一點滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
，
.
故選：C.
5．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，已知的半徑為2，，則（ ）

A．1B．-2C．2D．
【答案】C
【解析】由題知，為正三角形，所以，所以.
故選：C
6．（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測）在當中，且，已知為邊的中點，則（ ）.
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】因為為邊的中點，所以，
即，
而，，，
故，所以.
故選：D
7．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知向量，且滿足，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，所以，得，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：C
8．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？既＃┤鐖D直線l以及三個不同的點A，，O，其中，設(shè)，，直線l的一個方向向量的單位向量是，下列關(guān)于向量運算的方程甲：，乙：，其中是否可以作為A，關(guān)于直線l對稱的充要條件的方程（組），下列說法正確的是（ ）

A．甲乙都可以B．甲可以，乙不可以
C．甲不可以，乙可以D．甲乙都不可以
【答案】A
【解析】對于方程甲：因為、為、在方向上的投影，
可得表示點A，到直線l的距離相等，
則點A，分別在關(guān)于直線l對稱的平行線上，

因為，可得，則，
且，可得，
所以A，關(guān)于直線l對稱，反之也成立，故甲滿足；
對于乙：在中，因為，
則為邊的中線所在的直線，且點A在直線上的投影為的中點，
所以A，關(guān)于直線l對稱，反之也成立，故乙滿足；
故選：A.
9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知非零向量，，滿足，，，.則向量與的夾角（ ）
A．45°B．60°C．135°D．150°
【答案】C
【解析】∵，，
∴.∵，
∴，，則，
設(shè)向量與的夾角為，與反向,則.
故選：C.
10．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？寄M預(yù)測）在中，點D，E滿足，，且．若，則的可能值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依題意，作圖如下，

由，可得，
所以，即，也即，
又因為,
所以，
所以，
所以，
當且僅當時取得等號，
所以，
所以結(jié)合選項的可能值為，
故選：D.
11．（多選題）（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知平面向量，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量為
C．與垂直的單位向量的坐標為
D．若向量與非零向量共線，則
【答案】AD
【解析】由題意知，，，
則，因此A正確；
在方向上的投影向量為
，因此B錯誤；
與垂直的單位向量的坐標為
或，因此C錯誤；
因為，，
若向量與向量共線，則，
解得，因此D正確.
故選：AD.
12．（多選題）（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？寄M預(yù)測）已知，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與向量垂直且模長是2的向量是和
B．與向量反向共線的單位向量是
C．向量在向量上的投影向量是
D．向量與向量所成的角是銳角，則的取值范圍是
【答案】BC
【解析】對于A，向量的模不符合，故A不正確.
對于B，向量的相反向量為，與相反向量同向的單位向量是，故B正確.
對于C，向量在向量上的投影為，
與向量同向的單位向量，所以向量在向量上的投影向量是，故C正確.
對于D，時，向量與同向共線，夾角為0，不是銳角，故D不正確.
故選：BC.
13．（多選題）（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考三模）△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因為，所以，所以，
又因為，所以,
所以，所以，A錯誤；
因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，
所以的夾角為，即的夾角為，
所以，
所以，B正確；
，C正確，D錯誤；
故選:BC.
14．（多選題）（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．的余弦值為D．
【答案】ABD
【解析】連接PC，并延長交AB于Q，
中，，，，
則，,
，
，
，
選項A:
.判斷正確；
選項B:
.判斷正確；
選項C:
.判斷錯誤；
選項D: .
判斷正確.
故選：ABD
15．（多選題）（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，記，則（ ）

A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量為
【答案】BC
【解析】，故A錯誤；
因為，故B正確；
，又，所以，故C正確；
在方向上的投影向量為，故D錯誤.
故選：.
16．（2023·陜西西安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若向量，不共線，且，則________.
【答案】
【解析】因為向量，，
所以，
因為，
所以，
所以或，
又向量，不共線，
所以，所以，
所以，即，
所以，
故答案為：.
17．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量，，若，則向量在上的投影向量的模長為___________.
【答案】
【解析】因為向量，，，，
若，則，
即，即，解得:,
向量在上的投影向量的模長為:
.
故答案為：.
18．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知正六邊形的邊長為1，為邊的中點，為正六邊形的中心，則______．
【答案】
【解析】根據(jù)題意得，，，
故．
故答案為：
19．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，，，滿足，且，，則＝______．
【答案】
【解析】，
所以，，
以向量的起點為原點，向量的方向為軸正方向，建立如圖所示的坐標系，
不妨設(shè)，
則，，設(shè)

∵，
所以或，
或，
則或，
故答案為：．
1．（2023?乙卷（文））正方形的邊長是2，是的中點，則
A．B．3C．D．5
【答案】
【解析】正方形的邊長是2，是的中點，
所以，，，，
則．
故選：．
2．（2023?甲卷（文））已知向量，，則，
A．B．C．D．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，向量，，
則，，
則有，，，
故，．
故選：．
3．（2023?甲卷（理））向量，，且，則，
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因為向量，，且，所以，
所以，
即，，
解得，，
所以，
又，，
所以，
，
所以，．
故選：．
4．（2022?乙卷（文））已知向量，滿足，，，則
A．B．C．1D．2
【答案】
【解析】因為向量，滿足，，，
所以，
兩邊平方得，
，
解得，
故選：．
5．（2023?天津）在中，，，點為的中點，點為的中點，若設(shè)，，則可用，表示為 ；若，則的最大值為 ．
【答案】；．
【解析】在中，，，點為的中點，點為的中點，，，
則；
設(shè)，，
由余弦定理可得：，
又，
即，當且僅當時取等號，
又，
則，
則
，
即的最大值為．
故答案為：；．
6．（2023?上海）已知向量，，則 ．
【答案】4．
【解析】向量，，
．
故答案為：4．
7．（2023?新高考Ⅱ）已知向量，滿足，，則 ．
【答案】
【解析】，，
，，
，，
．
故答案為：．
8．（2022?天津）在中，，，是中點，，試用，表示為 ，若，則的最大值為 ．
【答案】；．
【解析】中，，，是中點，，如圖：
．
，，
，即，
即，即，
當且僅當時，等號成立，故的最小值為，故的最大值為，
即的最大值為，
故答案為：；．
9．（2022?上海）若平面向量，且滿足，，，則 ．
【答案】
【解析】由題意，有，則，設(shè)，
則得，，
由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得：，
則，
，
則．
故答案為：．
10．（2022?浙江）設(shè)點在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是 ．
【答案】，．
【解析】以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，
則，，，，，，，，
設(shè)，
則，
，，
，
，
即的取值范圍是，，
故答案為：，．
11．（2022?甲卷（文））已知向量，．若，則 ．
【答案】．
【解析】向量，．，
，
則，
故答案為：．
12．（2022?甲卷（理））設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則 ．
【答案】11
【解析】由題意可得，
則．
故答案為：11．

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