一、選擇題
1．如圖,空間四邊形OABC中,,,,且,則( )
A.B.C.D.
2．如圖所示,在正方體中,E為棱BC的中點(diǎn),則直線與平面所成角的正弦值為( )
A.B.C.D.
3．已知數(shù)列是等比數(shù)列,,,則公式q等于( )
A.B.3C.3D.
4．已知點(diǎn),,過點(diǎn)的直線l與線段AB相交,則l的斜率的取值范圍為( )
A.B.
C.D.
5．已知雙曲線的下,上焦點(diǎn)分別為,,是雙曲線上一點(diǎn)且,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.B.
C.D.
6．已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P在橢圓上,且,,則橢圓的離心率e等于( )
A.B.C.D.
7．設(shè)是定義在R上的偶函數(shù),為其導(dǎo)函數(shù),,當(dāng)時(shí),有恒成立,則不等式的解集為( )
A.B.
C.D.
8．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知三條直線:直線,,不能圍成一個(gè)封閉圖形,則實(shí)數(shù)a的值可以是( )
A.B.1C.2D.3
10．一條直線經(jīng)過點(diǎn),被圓截得的弦長等于8,這條直線的方程為( )
A.B.C.D.
11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則下列說法正確的是( )
A.B.為的最小值
C.D.
12．若函數(shù)在區(qū)間上有最小值,則實(shí)數(shù)a的可能取值是( )
A.0B.1C.2D.3
三、填空題
13．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程為________.
14．已知點(diǎn),若,兩點(diǎn)在直線l上,則點(diǎn)A到直線l的距離為________.
15．若橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為6,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離________.
16．已知,則________.
四、解答題
17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為,動(dòng)點(diǎn)P滿足
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程
（2）若直線l過點(diǎn)且與軌跡C相切,求直線l的方程.
18．已知如圖1直角梯形ABCD,,,,,E為AB的中點(diǎn),沿EC將梯形ABCD折起(如圖2),使平面平面AECD.
（1）證明:平面AECD;
（2）在線段CD上是否存在點(diǎn)F,使得平面FAB與平面EBC所成的銳二面角的余弦值為,若存在,求出點(diǎn)F的位置:若不存在,請說明理由.
19．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）若,令,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
20．已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間及極值;
（2）求在區(qū)間上的最值.
21．已知拋物線,O是坐標(biāo)原點(diǎn),F是C的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),,.
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）設(shè)點(diǎn)在C上,過Q作兩條互相垂直的直線QA,QB,分別交C于A,B兩點(diǎn)(異于Q點(diǎn)).證明:直線AB恒過定點(diǎn).
22．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)的切線方程;
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.
參考答案
1．答案：A
解析：如圖所示,
因?yàn)?
又因?yàn)?,
所以.
故選:A.
2．答案：D
解析：根據(jù)題意,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2,
則,,,,,
則,,,
設(shè)平面的法向量為,
則,解得,令,則,,
所以平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)直線與平面所成角為,
則.
故選:D
3．答案：D
解析：數(shù)列是等比數(shù)列,,,公式為q,
則有,即,得.
故選:D
4．答案：D
解析：如圖所示:
,,
由圖象知:當(dāng)l的斜率不存在時(shí),直線與線段AB相交,
故l的斜率的取值范圍為.
故選:D.
5．答案：C
解析：因?yàn)殡p曲線的下,上焦點(diǎn)分別為,,
所以設(shè)雙曲線的方程為,半焦距為;
又因?yàn)槭请p曲線上一點(diǎn)且,
所以,即,則;
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選:C.
6．答案：B
解析：由題設(shè)知是直角三角形,
,,,
,.
又由橢圓的定義,得,,
故.
故選:B.
7．答案：B
解析：設(shè),,則,
當(dāng)時(shí),有恒成立,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,
是定義在R上的偶函數(shù),
,即是定義在上的奇函數(shù),
在上也單調(diào)遞增.
又,,.
不等式的解可等價(jià)于即的解,
或,
不等式的解集為.
故選:B.
8．答案：B
解析：函數(shù),則,
令得,
函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn),
等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),
在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象(如圖)
當(dāng)時(shí),直線與的圖象相切,
由圖可知,當(dāng)時(shí),與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選B.
9．答案：ABC
解析：若,,中有兩條相互平行,或三條線過同一點(diǎn)都不可以圍成封閉圖形,
若,由兩直線平行與斜率之間的關(guān)系可得;
若,由兩直線平行與斜率之間的關(guān)系可得;
聯(lián)立,可得,可知,的交點(diǎn)為,
若,,交于同一點(diǎn),可得,
故選:ABC.
10．答案：AD
解析：由圓的方程,得到圓心坐標(biāo)為,半徑,
直線被圓截得的弦長為8,弦心距,
若此弦所在的直線方程斜率不存在時(shí),顯然滿足題意;
若此弦所在的直線方程斜率存在,設(shè)斜率為,
所求直線的方程為,
圓心到所設(shè)直線的距離,解得:,
此時(shí)所求方程為,即,
綜上,此弦所在直線的方程為或.
故選:AD
11．答案：AC
解析：,
,
對于也成立,
所以,故A正確;
當(dāng)時(shí),,當(dāng)n=17時(shí),當(dāng)時(shí),,
只有最大值,沒有最小值,故B錯(cuò)誤;
因?yàn)楫?dāng)時(shí),,,故C正確;
,
故D錯(cuò)誤.
故選:AC.
12．答案：ABC
解析：因?yàn)楹瘮?shù),
所以,
令,得,
當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),取得極小值,
則,解得,
又因?yàn)樵谏线f減,且,
所以,
綜上:,
所以實(shí)數(shù)a的可能取值是0,1,2
故選:ABC
13．答案：或.
解析：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線,代入點(diǎn),得,得,
即;
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線,代入點(diǎn),得,得,
即,化簡得.
綜上可知,滿足條件的直線方程為或.
故答案為:或.
14．答案：3
解析：依題意,而,
故與方向相同的單位向量為,
則所求距離.
故答案為:3
15．答案：14
解析：由,則,由P在橢圓上,故有,
又,所以.
故答案為:14.
16．答案：
解析：因?yàn)?
所以,所以,
解得,
故答案為:.
17．答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）設(shè),由,得,
化簡得,
所以P點(diǎn)的軌跡的方程為.
（2）由（1）知,軌跡表示圓心為,半徑為2的圓,
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),方程為,圓心到直線l的距離為2,l與C相切;
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè),即,
于是,解得,因此直線l的方程為,即,
所以直線l的方程為或.
18．答案：（1）證明見解析
（2）存在,F為CD中點(diǎn)
解析：（1）在直角梯形ABCD中,,E為AB的中點(diǎn),即,,
四邊形AECD為平行四邊形,
而,,則為正方形,
連接AC,如圖,
則,
因?yàn)槠矫嫫矫鍭ECD,平面平面,平面AECD,
于是得平面BED,
而平面BED,則有,
又,,AC,平面AECD,
所以平面AECD.
（2）由（1）得平面AECD,所以,
所以EA,EB,EC兩兩垂直,
分別以,,方向?yàn)閤,y,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,
如圖所示,
則,,設(shè),
所以,,
設(shè)平面FAB的法向量為,
則,
取,得,
取平面EBC的法向量為,
因?yàn)?
所以或(舍去),
故線段CD上存在點(diǎn)F,且F為CD中點(diǎn)時(shí),使得平面FAB與平面EBC所成的銳二面角的余弦值為.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由題意知:,
即:化簡得.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）因?yàn)?br>所以①
:②
化簡得:.
20．答案：（1）單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為和;極小值;極大值10
（2）最大值為10;最小值為
解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽,.
令,得或.
當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如表所示.
故的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為和.
當(dāng)時(shí),有極小值;當(dāng)時(shí),有極大值.
（2）由（1）可知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以在上的最大值為.
又,,,所以在區(qū)間上的最小值為.
21．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）由,,可得,
代入.
解得或(舍),
所以拋物線的方程為:.
（2）由題意可得,直線AB的斜率不為0,
設(shè)直線AB的方程為,設(shè),,
由,得,從而,
則.
所以,
,
,
,
故,
整理得.即,
從而或,
即或.
若,則,過定點(diǎn),與Q點(diǎn)重合,不符合;
若,則,過定點(diǎn).
綜上,直線AB過異于Q點(diǎn)的定點(diǎn).
22．答案：（1）
（2）答案見解析
解析：（1）由,則,,
,,切線方程:,
則.
（2）由,
求導(dǎo)得,
①當(dāng)時(shí),,
,解得,,解得,
則:單減區(qū)間:,單增區(qū)間:;
②當(dāng)時(shí),令,解得或(舍去)
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
則:單減區(qū)間:,單增區(qū)間:;
③當(dāng)時(shí),令,解得或,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
則:單減區(qū)間:和,單增區(qū)間:;
④當(dāng)時(shí),,則:單減區(qū)間:;
⑤當(dāng)時(shí),令,解得或,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
則:單減區(qū)間:和,單增區(qū)間:;
綜上,當(dāng)時(shí),單減區(qū)間:,單增區(qū)間:
當(dāng)時(shí),單減區(qū)間:和,單增區(qū)間:
當(dāng)時(shí),單減區(qū)間:
當(dāng)時(shí),單減區(qū)間:和,單增區(qū)間:.
x
3
0
0
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減

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