1.直線m的方程為 3x?y+2=0，則直線m的傾斜角為( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
2.圓x2+y2+2x?4y?6=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是( )
A. (?1,?2)，11B. (?1,2)，11C. (?1,?2)， 11D. (?1,2)， 11
3.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a1=1，q=2，Sn=31，則n等于( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
4.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，則下列向量中與MB1相等的向量是( )
A. 12a?12b?c
B. ?12a?12b?c
C. ?12a+12b?c
D. 12a+12b?c
5.在中國(guó)古代，人們用圭表測(cè)量日影長(zhǎng)度來(lái)確定節(jié)氣，一年之中日影最長(zhǎng)的一天被定為冬至．從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺，小寒、雨水、清明日影長(zhǎng)之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長(zhǎng)之和為( )
A. 25.5尺B. 34.5尺C. 37.5尺D. 96尺
6.橢圓x225+y29=1與橢圓x225?k+y29?k=1(00)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，I和G分別是△PF1F2的內(nèi)心和重心，若IG與x軸平行，則橢圓的離心率為( )
A. 12B. 33C. 32D. 63
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且a5=2，則( )
A. 公差d的取值范圍是(?∞,12)B. 2a7=a9+2
C. a8+a4>a6+a5D. a1+a9=4
10.下列說(shuō)法中，正確的有( )
A. 過(guò)點(diǎn)P(1,2)且在x軸，y軸截距相等的直線方程為x+y?3=0
B. 直線y=kx?2在y軸的截距是2
C. 直線x? 3y+1=0的傾斜角為30°
D. 過(guò)點(diǎn)(5,4)且傾斜角為90°的直線方程為x?5=0
11.對(duì)于非零空間向量a，b，c，現(xiàn)給出下列命題，其中為真命題的是( )
A. 若a?b>0，則a，b的夾角是銳角
B. 若a=(2,3,3)，b=(?3,?1,3)，則a⊥b
C. 若a?b=b?c，則a=c
D. 若a=(1,1,0)，b=(0,2,0)，c=(0,0,3)，則a，b，c可以作為空間中的一組基底
12.已知拋物線C：y2=2px(p>0)與圓O：x2+y2=5交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4，直線l過(guò)C的焦點(diǎn)F，且與C交于M，N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A. 若直線l的斜率為 33，則|MN|=16
B. |MF|+2|NF|的最小值為3+2 2
C. 若以MF為直徑的圓與y軸的公共點(diǎn)為(0, 62)，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為32
D. 若點(diǎn)G(2,2)，則△GFM周長(zhǎng)的最小值為4+ 5
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=2n2+n+1，那么它的通項(xiàng)公式是______ ．
14.過(guò)雙曲線x24?y23=1的左頂點(diǎn)，且與直線2x?y+1=0平行的直線方程為______ ．
15.已知函數(shù)f(x)=x(x?c)2在x=2處有極大值，則c=______．
16.正四棱錐P?ABCD，底面四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形，PA= 5，其內(nèi)切球?yàn)榍騁，平面α過(guò)AD與棱PB，PC分別交于點(diǎn)M，N，且與平面ABCD所成二面角為30°，則平面α截球G所得的圖形的面積為______．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
17.(本小題10分)
已知a=(2,?1,?4)，b=(?1,k,2)．
(1)若(a?b)//(a+b)，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)若(a+3b)⊥(a+b)，求實(shí)數(shù)k的值．
18.(本小題12分)
已知圓C：(x?1)2+(y?2)2=25，直線l：(2m+1)x+(m+1)y?7m?4=0(m∈R)．
(1)求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)；
(2)當(dāng)m=0時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．
19.(本小題12分)
已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=35，且滿足an+1=3an2an+1．
(1)求證：數(shù)列{1an?1}為等比數(shù)列．
(2)若1a1+1a2+1a3+?+1an0．
22.(本小題12分)
已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合，一條漸近線的傾斜角為30．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于P點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，求△QAB的面積的取值范圍．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：設(shè)直線m的傾斜角為α，
因?yàn)橹本€ 3x?y+2=0的斜率為 3，
所以tanα= 3，
又∵0°≤α0，但夾角為0，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，a?b=2×(?3)?3×1+3×3=0，
故a⊥b，故B正確，
對(duì)于C，根據(jù)向量的數(shù)量積定義知，a?b=b?c時(shí)，a=c不一定成立，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，假設(shè)c=λa+μb0=λ，0=λ+2μ，3=0，矛盾，
所以向量a,b,c不共面，則a,b,c可以作為空間中的一組基底，故D正確．
故選：BD．
對(duì)于A，未排除夾角為0時(shí)的情況，
對(duì)于B，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解，
對(duì)于C，根據(jù)向量數(shù)量積的定義，即可求解，
對(duì)于D，驗(yàn)證三者向量是否共面，即可求解．
本題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
12.【答案】ABC
【解析】解：由拋物線C：y2=2px(p>0)與圓O：x2+y2=5交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4，
得到第一象限交點(diǎn)(1,2)在拋物線C：y2=2px(p>0)上，
所以22=2p，解得p=2，所以C：y2=4x，則F(1,0)，
對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)直線l：x=my+1，與y2=4x聯(lián)立得y2?4my?4=0，
設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=?4，
所以|MN|= 1+m2|y1?y2|= 1+m2? (y1+y2)2?4y1y2=4(1+m2)，
當(dāng)直線l的斜率為 33時(shí)，m= 3,|MN|=16，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，由拋物線的定義，1|MF|+1|NF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=m(y1+y2)+4(y1y2)216+m(y1+y2)+3=4m2+44m2+4=1，
所以|MF|+2|NF|=(|MF|+2|NF|)?(1|MF|+1|NF|)=3+2|NF||MF|+|MF||NF|≥3+2 2，
當(dāng)且僅當(dāng)|MF|=1+ 2,|NF|=1+ 22時(shí)等號(hào)成立，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，如圖，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M′，交y軸于M1，
取MF的中點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為D1，
則MM1//OF，DD1是梯形OFMM1的中位線，
由拋物線的定義可得|MM1|=|MM′|?|M1M′|=|MF|?1，
所以|DD1|=|OF|+|MM1|2=1+|MF|?12=|MF|2，
所以以MF為直徑的圓與y軸相切，
所以(0, 62)為圓與y軸的切點(diǎn)，所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為 62，
又因?yàn)镈為MF的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為 6，
又點(diǎn)M在拋物線上，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為32，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)G作GH垂直于準(zhǔn)線，垂足為H，
所以△GFM的周長(zhǎng)為|MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM′|+ 5≥|GH|+ 5=3+ 5，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)時(shí)取等號(hào)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：ABC．
首先求出拋物線的解析式，設(shè)出MN方程，與拋物線方程聯(lián)立進(jìn)行求解，當(dāng)m= 3時(shí)，|MN|=16，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A；再根據(jù)韋達(dá)定理和不等式求最小值后判斷選項(xiàng)B；畫出大致圖像過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M′，交y軸于M1，結(jié)合拋物線定義判斷選項(xiàng)C；過(guò)G作GH垂直于準(zhǔn)線，垂足為H，結(jié)合△GFM的周長(zhǎng)為|MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM′|+ 5≥|GH|+ 5=3+ 5進(jìn)而判斷選項(xiàng)D即可．
本題考查了拋物線的性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．
13.【答案】an=4,n=14n?1,n≥2
【解析】解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2×12+1+1=4，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=2n2+n+1?[2(n?1)2+(n?1)+1]=4n?1．
因此an=4,n=14n?1,n≥2，
故答案為：an=4,n=14n?1,n≥2．
利用當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1即可得出．
本題考查了“當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1”數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，屬于基礎(chǔ)題．
14.【答案】2x?y+4=0
【解析】解：由雙曲線方程知，其左頂點(diǎn)為(?2,0)，
根據(jù)直線平行關(guān)系知，所求直線的斜率為2，
所以所求直線為y=2(x+2)，則2x?y+4=0．
故答案為：2x?y+4=0．
由雙曲線方程確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線平行確定斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程．
本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了兩直線平行的斜率關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
15.【答案】6
【解析】【分析】
本題考查函數(shù)的極值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．
由已知函數(shù)f(x)=x(x?c)2在x=2處有極大值，則必有f′(2)=0，且在x=2的左側(cè)附近f′(x)>0，右側(cè)附近f′(x)4 33．
即△QAB的面積的取值范圍是(4 33,+∞)．
【解析】(1)由雙曲線C的焦點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，一條漸近線的傾斜角為30°，列方程組，解得a，b，即可求得雙曲線方程；
(2)設(shè)直線方程為：y=k(x?2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得x1+x2，x1x2，再計(jì)算S△QAB，利用配方法可得答案．
本題考查雙曲線的方程，考查直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

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