滿分：150分 考試時間：120分鐘
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．
1. 化簡的結(jié)果等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，且，則x＝（ ）
A. 9 B. 6 C. 5 D. 3
3. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則角C＝（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，若，則x的值為（ ）
A. －2B. －1C. 1D. 2
5. 已知向量，的夾角為，且，，則（ ）
A. 1B. C. 2D.
6. 在△ABC中，若三邊之比，則等于（ ）
A. B. C. 2D. －2
7. 在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點C的三等分點，點F在BE上，若，則（ ）
A. B. C. D.
十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于120°時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點．在費馬問題中所求的點稱為費馬點．已知分別是三個內(nèi)角的對邊，且，，若點P為的費馬點，
則（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知平面向量，，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. 向量與的夾角為D. 向量在上的投影向量為
10. 在中，已知，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 這個三角形被唯一確定B. 一定是鈍角三角形
C. D. 若，則的面積是
11. 如圖所示，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角兩條數(shù)軸，、分別是與，軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為斜坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標(biāo)，記為.在的斜坐標(biāo)系中，，.則下列結(jié)論中，錯誤的是（ ）
A B.
C. D. 在上的投影向量為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，若，，，則______．
13. 設(shè)向量滿足，，，則 _______．
14. 如圖，點，在無法到達的河對岸，為測量出，兩點間的距離，在河岸邊選取，兩個觀測點，測得，，，，則，兩點之間的距離為____________（結(jié)果用m表示）.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.（13分） 已知向量，．
（1）求與的坐標(biāo)； （2）求向量，的夾角的余弦值．
16. （15分）在銳角中，的對邊分別為，且
（1）確定角的大?。? （2）若，且，求邊.
17．（15分）已知，.
（1）若，且、、三點共線，求的值.
（2）當(dāng)實數(shù)為何值時，與垂直？
18．（17分）在中，角，，的對邊分別為，，，．
（1）求；（2）若點是上的點，平分，且，求面積的最小值．
19．（17分）對于三維向量，定義“變換”：，其中，．記，．
（1）若，求及；
（2）證明：對于任意，經(jīng)過若干次變換后，必存在，使；
（3）已知，將再經(jīng)過次變換后，最小，求的最小值．
高一數(shù)學(xué)3月月考參考答案
單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
1.【詳解】根據(jù)向量的三角形法則，可得.故選：B.
2.【詳解】解：因為向量，且，所以，解得x＝6.故選：B
3.【詳解】由余弦定理可得，，．故選：．
4.【詳解】因為，所以，即，解得，故選：D.
5.詳解】解：．故答案為：A.
6.【詳解】根據(jù)正弦定理可得.故選：B.
7.【詳解】由題可知，
∵點F在BE上，∴，∴．
∴，．∴．故選：C．
8. 【詳解】,
即 ,
又 ,

即 ,, 又.
由三角形內(nèi)角和性質(zhì)知：△ABC內(nèi)角均小于120°，結(jié)合題設(shè)易知：P點一定在三角形的內(nèi)部，
再由余弦定理知, ,,
,
.
由等號左右兩邊同時乘以可得：
，
. 故選：C.
二、多選題
9. 【詳解】，所以，故A錯誤；
，故B正確；
，，，，故C錯誤；
向量在上的投影向量為，故D正確． 故選：BD
10. 【詳解】依題意可設(shè)，則
對于A，當(dāng)取不同的值時，三角形顯然不同，故A錯誤；
對于B，因為，
所以，則三角形為鈍角三角形，故B正確；
對于C，由正弦定理可知，，故C正確；
對于D，因為，即，即，
又因為，所以則，故D錯誤. 故選:BC.
11. 【詳解】由題意得：，，
對于A項，，
由題意得：，故A正確；
對于B項，，
，故B不正確；
對于C項，，故C項不正確；
對于D項，在上的投影向量為：，又，，
，故D不正確.
故選：BCD
填空題：
12. 【詳解】由余弦定理得即，
解得（舍）， 故答案為:.
13. 【詳解】解：因為，，，所以
. 故答案為：.
14. 【詳解】因為，所以.
因為，所以，所以為等邊三角形，所以.
在中，,,
所以.
由正弦定理得：，即，解得：.
在中，,,,由余弦定理解得：
故答案為：
四.解答題：
15. 【詳解】（1），．
（2），，，
,．
16. 【詳解】（1）由及正弦定理得
因為，故 又銳角，所以.
（2）由余弦定理，，得解得:或.
17．【解析】（1）由題意可得，，
且、、三點共線，則可得，
即，解得；
（2）由題意可得，，
因為與垂直，
則可得，解得
18．【解析】（1）由題意知中，，
故，
即,
即,
所以，
而，
故，即，
又，故；
（2）由于點是上的點，平分，且，
則，
由，
得，
即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，
即面積的最小值為
19．【解析】（1）因為，，，
所以
（2）設(shè)，
假設(shè)對，則均不為0．
所以．即．
因為，
所以．所以．
與矛盾，故假設(shè)不正確．
綜上，對于任意，經(jīng)過若干次變換后，必存在，使．
（3）設(shè)，因為，
所以有或．
當(dāng)時，可得三式相加得．
又，可得．
當(dāng)時，也可得，于是．
設(shè)的三個分量為這三個數(shù)，
當(dāng)時，的三個分量為這三個數(shù)，所以．
當(dāng)時，的三個分量為，
則的三個分量為的三個分量為，所以．
所以，由，可得．
因為，所以任意的三個分量始終為偶數(shù)，且都有一個分量等于2．
所以的三個分量只能是三個數(shù)，
的三個分量只能是三個數(shù)．
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以的最小值為505．

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