?2022-2023學年廣東省東莞市高一（下）期末數(shù)學試卷
一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1. 復數(shù)(ii+1)2(i是虛數(shù)單位)等于(????)
A. i2 B. ?i2 C. 12 D. ?12
2. 已知向量a=(1,2)，b=(λ,4)，且a//b，則|a+b|=(????)
A. 5 B. 15 C. 3 5 D. 13
3. 利用隨機模擬解決問題的方法稱為蒙特卡洛方法，用此方法可以快速進行大量重復試驗，進而用頻率估計概率.甲、乙兩名選手進行比賽，采用三局兩勝制決出勝負，若每局比賽甲獲勝的概率為0.4，乙獲勝的概率為0.6.利用計算機產(chǎn)生1～5之間的隨機整數(shù)，約定出現(xiàn)隨機數(shù)1或2時表示一局比賽甲獲勝，由于要比賽3局，所以3個隨機數(shù)為一組，現(xiàn)產(chǎn)生了20組隨機數(shù)如下：
354?151?314?432?125?334?541?112?443?534?312?324?252?525?453?114?344?423?123?243，則依此可估計甲選手最終贏得比賽的概率為(????)
A. 0.40 B. 0.35 C. 0.30 D. 0.25
4. 已知不重合的直線l，m和不重合的平面α，β，下列命題正確的是(????)
A. 若l//α，l//β，則α//β
B. 若α∩β=l，m?α，m⊥l，則α⊥β
C. 若l⊥α，l⊥β，則α//β
D. 若l?α，m?β，l⊥m，則α⊥β
5. 平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).下面四幅頻率分布直方圖中，最能說明平均數(shù)大于中位數(shù)的是(????)
A. B.
C. D.
6. 正方體ABCD?A1B1C1D1中，與AC所成角為60°的直線是(????)
A. A1B1 B. AC1 C. BD1 D. C1D
7. 如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=1，∠DAB=π3，將三角形ABC沿AC翻折得三角形AB′C，使得AB′交CD于E，則DE=(????)

A. 23 B. 35 C. 34 D. 45
8. 對敏感性問題調(diào)查的關(guān)鍵是要設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能如實回答問題.為調(diào)查學生是否有在校使用手機的情況時，某校設(shè)計如下調(diào)查方案：調(diào)查者在沒有旁人的情況下，獨自從一個箱子中隨機抽一只球，看過顏色后即放回，若抽到白球，則回答問題A：抽到紅球，則回答問題B，且箱子中只有白球和紅球．
問題A：你的生日的月份是否為偶數(shù)？(假設(shè)生日的月份為偶數(shù)的概率為12)
問題B：你是否有在校使用手機？
已知該校在一次實際調(diào)查中，箱子中放有白球2個，紅球3個，調(diào)查結(jié)束后共收到1000張有效答卷，其中有270張回答“是”，如果以頻率估計概率，估計該校學生有在校使用手機的概率是(精確到0.01)(????)
A. 0.09 B. 0.12 C. 0.20 D. 0.27
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）
9. 某學習小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學生去參加知識競賽，則下列說法正確的是(????)
A. 事件“恰有1名女生”與事件“恰有2名女生”是互斥事件
B. 事件“至少有1名女生”與事件“至少有1名男生”是互斥事件
C. 事件“恰有1名男生”與事件“恰有2名女生”是對立事件
D. 事件“至少有1名女生”與事件“全是男生”是對立事件
10. 在△ABC中，∠ABC=π6，BC=2 3，AC=2，則AB可能的取值有(????)
A. 3 B. 2 C. 3 D. 4
11. 已知復平面內(nèi)復數(shù)z1對應的點為Z1，復數(shù)z2對應的點為Z2，O為坐標原點，則下列說法正確的是(????)
A. 若Z1與Z2關(guān)于實軸對稱，則z1+z2為實數(shù)
B. 若Z1與Z2關(guān)于實軸對稱，則|z1|?|z2|=z1z2
C. 若OZ1⊥OZ2，則z1z2=0
D. 若OZ1⊥OZ2，則：|z1+z2|=|z1?z2|
12. 如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，AA1=AB=6，E，F(xiàn)分別為BB1，A1C1的中點，記過A，E，F(xiàn)三點的平面與B1C1的交點為D，則下列說法正確的是(????)
A. D為B1C1的中點
B. 三棱錐B1?DEF的體積為3 32
C. 截面AEDF的周長為6 5+2 13
D. 截面AEDF的面積為24
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 已知A與B為互斥事件，且P(A∪B)=0.5，P(A)=0.2，則P(B)= ______ ．
14. 某射擊運動員在射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)分別為：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，則該運動員本次射擊測試命中環(huán)數(shù)的第70百分位數(shù)為______ ．
15. 已知z1是虛數(shù)，z2=z1+2z1是實數(shù)，則|z1|= ______ ．
16. 已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，從正方體的8個頂點中選出4個點構(gòu)成一個體積大于16的三棱錐，則這4個點可以是______ .(寫出一組即可)
四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. (本小題10.0分)
已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且(b+a)(sinB?sinA)=c(sinC?sinA)．
(1)求B；
(2)若b=2，△ABC的面積為 3，求△ABC的周長．
18. (本小題12.0分)
拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，設(shè)事件A=“第一次的點數(shù)大于3”，事件B=“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”．
(1)求事件A的概率；
(2)判斷事件A與事件B是否相互獨立，并說明理由．
19. (本小題12.0分)
如圖，在矩形ABCD中，點E是BC的中點，點F是BD的三等分點(DF=13DB)．
(1)用AB，AD表示AF，EF；
(2)如果|AD|= 2，|AB|=1，求△AEF的面積．

20. (本小題12.0分)
如圖，AE，CD都垂直于平面ABC，平面BCD⊥平面BDE，且BC=CD=2AE，F(xiàn)為BD的中點，求證：
(1)EF//平面ABC；
(2)EF⊥平面BCD．

21. (本小題12.0分)
樹人中學男女學生比例約為2：3，某數(shù)學興趣社團為了解該校學生課外體育鍛煉情況(鍛煉時間長短(單位：小時)，采用樣本量比例分配的分層抽樣，抽取男生m人，女生n人進行調(diào)查.記男生樣本為x1，x2，…，xm，樣本平均數(shù)、方差分別為x?、s12；女生樣本為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)、方差分別為y?、s22；總樣本平均數(shù)、方差分別為w?、s2．

(1)證明：i=1m(xi?w?)2=m[s12+(x??w?)2]；
(2)該興趣社團通過分析給出以下兩個統(tǒng)計圖，假設(shè)兩個統(tǒng)計圖中每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)均勻分布，根據(jù)兩圖信息分別估計男生樣本、女生樣本的平均數(shù)；
(3)已知男生樣本方差s12=5.5，女生樣本方差s22=5.7，請結(jié)合(2)問的結(jié)果計算總樣本方差s2的估計值．
22. (本小題12.0分)
如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，平面A1ABB1⊥平面ABC，AA1= 2，∠A1AB=θ．
(1)當θ=π4時，求異面直線AC與BB1所成角的余弦值；
(2)若存在球與三棱柱ABC?A1B1C1各個面都相切，求θ的正弦值．


答案和解析

1.【答案】A?
【解析】解：∵ii+1=i(1?i)(i+1)(1?i)=?i2+i1?i2=12+12i，
∴(ii+1)2=(12+12i)2=14+12i+14i2=12i．
故選：A．
由復數(shù)的四則運算法則直接計算即可．
本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】C?
【解析】解：根據(jù)題意，向量a=(1,2)，b=(λ,4)，
若a//b，則有2λ=4，解可得λ=2，
則a+b=(3,6)，故|a+b|= 9+36=3 5．
故選：C．
根據(jù)題意，由向量平行的坐標表示方法求出λ的值，即可得a+b的坐標，由向量模的計算公式計算可得答案．
本題考查向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)，涉及向量的坐標計算，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】B?
【解析】解：由題意可知，在20組隨機數(shù)中，表示甲獲勝的有：151，125，112，312，252，114，123，共7個，
故此可估計甲選手最終贏得比賽的概率為720=0.35．
故選：B．
根據(jù)已知條件，求出甲獲勝的隨機數(shù)個數(shù)，即可求解．
本題主要考查簡單隨機抽樣的應用，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】C?
【解析】解：若l//α，l//β，則α//β或α與β，故A錯誤；
若α∩β=l，m?α，m⊥l，則α與β可能一般相交，也可能垂直，故B錯誤；
若l⊥α，l⊥β，則α//β，故C正確；
若l?α，m?β，l⊥m，則α//β或α與β相交，相交也不一定垂直，故D錯誤．
故選：C．
由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐一分析四個選項得答案．
本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．

5.【答案】A?
【解析】解：在頻率分布直方圖中，
中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積相等，
平均數(shù)是每組頻率的中間值乘頻數(shù)之和，
C項，根據(jù)直方圖，易得平均數(shù)小于中位數(shù)，不符合；
B，D項，根據(jù)直方圖，易得平均數(shù)等于中位數(shù)，不符合；
A項，根據(jù)直方圖，易得平均數(shù)大于中位數(shù)．
故選：A．
在頻率分布直方圖中，中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積相等，平均數(shù)是每組頻率的中間值乘頻數(shù)之和，由此能求出結(jié)果．
本題主要考查平均數(shù)和中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】D?
【解析】解：如圖，設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1．
???????????????????
????對于選項A.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，有AB//A1B1，
????所以∠BAC(或其補角)為異面直線A1B1與AC所成的角，
????在Rt△BAC中，AB=BC，AB⊥BC，所以∠BAC=45°，選項A錯．
???對于選項B.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，有AC= 2，CC1=1．
????在Rt△ACC1中，tan∠C1AC=CC1AC= 22≠ 3，選項B錯．
????對于選項C.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，
????顯然AC⊥平面BDD1.所以AC⊥BD1，選項C錯．
?????對于選項D.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AC=CD1=AD1= 2，
?????所以三角形D1AC為等邊三角形，所以∠ACD1=60°．
?故答案為：D．
以正方體為模型，考查平面內(nèi)直線與直線所成的角，需要把直線統(tǒng)一到同一個三角形中解決問題．
本題以正方體為模型，考查平面內(nèi)直線與直線所成的角，比較基礎(chǔ)．

7.【答案】B?
【解析】解：因為在平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=1，∠DAB=π3，
所以AB=DC=2，AD=BC=1，∠ABC=∠ADC=2π3，
因為將三角形ABC沿AC翻折得三角形AB′C，使得AB′交CD于E，
所以CB′=BC=1，∠ABC=∠CB′E=2π3，
因為AD=CB′，∠ADE=∠CB′E，∠AED=∠CEB′，
所以△ADE≌△CB′E，
所以DE=B′E，
設(shè)DE=x，
則EC=2?x，B′E=x，
在△CB′E中由余弦定理得CE2=CB′2+B′E2?2CB′?B′E?cos∠CB′E，
可得(2?x)2=1+x2?2x?(?12)，
解得x=35，即DE=35．
故選：B．
由已知條件可得△ADE≌△CB′E，則DE=B′E，設(shè)DE=x，則EC=2?x，B′E=x，然后在△CB′E中利用余弦定理可求出x，從而可得答案．
本題考查了余弦定理在解三角形中的應用，考查了三角形中的幾何計算，考查了計算能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．

8.【答案】B?
【解析】解：從箱子中隨機抽一只球，抽到白球的概率為25，抽到紅球的概率為35，
所以回答問題A的人數(shù)是1000×25=400人，回答問題B的人數(shù)是1000×35=600人，
回答A問題中答“是”的人數(shù)是400×12=200人，
所以回答B(yǎng)問題中答“是”的人數(shù)是270?200=70人，
所以估計該校學生有在校使用手機的概率是70600≈0.12．
故選：B．
先分別求出回答問題A和問題B的學生人數(shù)，再求出回答B(yǎng)問題中答“是”的人數(shù)，利用頻率估計概率求解即可．
本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．

9.【答案】AD?
【解析】解：對于A，事件“恰有1名女生”與事件“恰有2名女生”不可能同時發(fā)生，為互斥事件，故A正確；
對于B，事件“至少有1名女生”與事件“至少有1名男生”能同時發(fā)生，不為互斥事件，故B錯誤；
對于C，事件“恰有1名男生”與事件“恰有2名女生”是互斥事件，故C錯誤；
對于D，事件“至少有1名女生”與事件“全是男生”是對立事件，故D正確．
故選：AD．
根據(jù)已知條件，結(jié)合互斥事件、對立事件的定義，即可求解．
本題主要考查互斥事件、對立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】BD?
【解析】解：因為在△ABC中，∠ABC=π6，BC=2 3，AC=2，
所以由余弦定理AC2=AB2+BC2?2AB?BC?cosB，可得22=AB2+(2 3)2?2AB?2 3? 32，
整理可得AB2?6AB+8=0，
解得AB=4或2．
故選：BD．
由已知利用余弦定理可得AB2?6AB+8=0，解方程即可求解AB的值．
本題考查了余弦定理在解三角形中的應用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】ABD?
【解析】解：設(shè)z1=a+bi，a，b∈R，z2=c+di，c，d∈R，
對于A，Z1與Z2關(guān)于實軸對稱，則a=cb=?d，∴z1+z2=2a∈R，故A正確；
對于B，Z1與Z2關(guān)于實軸對稱，則a=cb=?d，∴|z1||z2|= a2+b2? c2+d2=a2+b2，
z1z2=(a+bi)(a?bi)=a2+b2，故B正確；
對于C，∵OZ1⊥OZ2，∴ac+bd=0，∴z1z2=(a+bi)(c+di)=ac?bd+(ad+bc)i不一定為0，故C錯誤；
對于D，∵OZ1⊥OZ2，∴ac+bd=0，∴|z1+z2|= (a+c)2+(b+d)2= a2+b2+c2+d2+2(ac+bd)= a2+b2+c2+d2，
|z1?z2|= (a?c)2+(b?d)2= a2+b2+c2+d2?2(ac+bd)= a2+b2+c2+d2，故D正確．
故選：ABD．
由復數(shù)的相關(guān)知識逐一判斷各選項即可．
本題考查復數(shù)的幾何意義和模的計算，還考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．

12.【答案】BCD?
【解析】解：如圖，延長AF，CC1交點P，再連接EP，
則EP∩B1C1=D，連接ED，
根據(jù)題意易知F為AP的中點，
∴C1為PC的中點，又E為BB1的中點，
∴易知△B1DE∽△C1DP，
∴B1DC1D=B1EC1P=12，
∴D為B1C1的靠近B1的三等分點，∴A選項錯誤；
又F為A1C1的中點，
∴△FDB1的面積為13×12S△A1B1C1=13×12×12×62× 32=3 32，
∴三棱錐B1?DEF的體積為13×S△FDB1×EB1=13×3 32×3=3 32，∴B選項正確；
又易知AE=AF=3 5，DE= 32+22= 13，
由余弦定理易得FD= 32+42?2×3×4×12= 13，
∴截面AEDF的周長為6 5+2 13，∴C選項正確；
過D作DG⊥BC，垂足點為G，連接AG，
則BG=2，又AB=6，∠ABC=60°
∴由余弦定理易得AG= 62+22?2×6×2×12=2 7，又DG=6，
∴AD= AG2+DG2= 28+36=8，
又△AFD≌△AED，設(shè)∠AFD=θ，
則cosθ=45+13?642×3 5× 13=?1 65，
∴sinθ= 1?cos2θ= 1?165=8 65，
∴截面AEDF的面積為2S△AFD=2×AF×FD×sinθ=2×12×3 5× 13×8 65=24，∴D選項正確．
故選：BCD．
延長AF，CC1交點P，再連接EP，則EP∩B1C1=D，連接ED，再根據(jù)各個選項，具體分析求解即可．
本題考查正三棱柱的中的截面問題，三棱錐的體積的求解，截面周長與面積的求解，屬中檔題．

13.【答案】0.3?
【解析】解：∵A、B為互斥事件，
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)即P(B)=P(A∪B)?P(A)=0.5?0.2=0.3．
故答案為：0.3．
根據(jù)題目已知A、B是互斥事件，P(A∪B)=P(A)+P(B)，代入即可算出P(B)．
本題考查互斥事件的和事件的運算，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】8.5?
【解析】解：根據(jù)題意，10射擊命中環(huán)數(shù)從小到大依次為：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，
而10×70%=7，則該運動員本次射擊測試命中環(huán)數(shù)的第70百分位數(shù)為12(8+9)=8.5．
故答案為：8.5．
根據(jù)題意，由百分位數(shù)的計算公式計算可得答案．
本題考查百分位數(shù)的計算，注意百分位數(shù)的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】 2?
【解析】解：設(shè)z1=a+bi，a，b∈R，
∴z2=z1+2z1=(a+bi)+2a+bi=a+bi+2(a?bi)(a+bi)(a?bi)
=a+bi+2a?2bia2+b2=(a+2aa2+b2)+(b?2ba2+b2)i，
∵z2=z1+2z1是實數(shù)，
∴b?2ba2+b2=0，∴b=0或a2+b2?2=0，
∵z1是虛數(shù)，∴b≠0，∴a2+b2=2，
∴|z1|= a2+b2= 2．
故答案為： 2．
設(shè)z1=a+bi，a，b∈R，由復數(shù)的運算法則求出z2，再由z2為實數(shù)求得a2+b2=2，從而求得．
本題考查復數(shù)的運算和復數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】B1，D1，A，C(或A1，D，B，C1)?
【解析】解：①若從正方體某一面的四個頂點中任選3個頂點，再從余下的點中選一個與它們不共面的點，例如選A?1，A，B1，D1，
由正方體的性質(zhì)可得AA1⊥平面A1B1D1，A1B1⊥A1D1，AA1=A1B1=A1D1=1，
所以三棱錐A?A1B1D1的體積為13×12×1×1×1=16，不符合題意；
②若選某一面的一條對角線的端點，再選與其平行的平面中與前一條對角線不平行的對角線的端點，例如選B?1，D1，A，C，
所以三棱錐B1?D1AC的體積為1?4×16=13，符合題意；
同理可得，選A?1，D，B，C1也符合題意．

故答案為：B1，D1，A，C或A1，D，B，C1(寫一組即可)．
分兩種情況討論：①若從正方體某一面的四個頂點中任選3個頂點，再從余下的點中選一個與它們不共面的點，②若選某一面的一條對角線的端點，再選與其平行的平面中與前一條對角線不平行的對角線的端點，然后分別求兩種三棱柱的體積，即可．
本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握正方體的結(jié)構(gòu)特征，棱柱體積的求法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感和運算能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：(1)因為(b+a)(sinB?sinA)=c(sinC?sinA)，
由正弦定理可得(b+a)(b?a)=c(c?a)，
整理可得b2=a2+c2?ac，
而由正弦定理可得b2=a2+c2?2accosB，
所以cosB=12，B∈(0,π)，
解得B=π3；
(2)由(1)及S△ABC=12acsinB=12ac? 32= 3，可得ac=4，
由余弦定理可得b2=a2+c2?2accosB=(a+c)2?3ac，
b=2，
所以(a+c)2=4+12=16，
所以a+c=4，
即三角形的周長為a+b+c=2+4=6．
所以△ABC的周長為6．?
【解析】(1)由題意及正弦定理，余弦定理可得B角的余弦值，再由B角的范圍，可得B角的大?。?br /> (2)由(1)及題意，可得ac的大小，再由余弦定理可得a+c的值，進而求出三角形的周長．
本題考查正弦定理，余弦定理及三角形的面積公式的應用，屬于中檔題．

18.【答案】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，所有基本事件為：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種，
(1)事件A包含的基本事件為：(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共18種，
所以P(A)=1836=12；
(2)事件A與事件B相互獨立，理由如下：
事件B包含的基本事件為：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共18種，
所以P(B)=1836=12，
事件A與B同時發(fā)生的基本事件為：(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共9種，
所以P(AB)=936=14，
因為P(AB)=P(A)P(B)，
所以事件A與事件B相互獨立．?
【解析】(1)利用古典概型的概率公式求解；
(2)利用獨立事件的定義判斷．
本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了獨立事件的定義，屬于中檔題．

19.【答案】解(1)因為點E是BC的中點，點F是BD的三等分點，
則AF=AB+BF=AB+23BD=AB+23(AD?AB)=13AB+23AD，
EF=BF?BE=23BD?12BC=23(AD?AB)?12AD=?23AB+16AD，
(2)建立如圖所示的坐標系，由題意有：E( 22,1)，F(xiàn)(2 23,13)，
則AE=( 22,1)，AF=(2 23,13)，
∴cos=1 32×1= 63，∴sin= 33，
故S△AEF=12|AE||AF|sin=12× 32×1× 33= 24．?
【解析】(1)直接利用向量的加減法運算求解；
(2)建立坐標系，將E，F(xiàn)的坐標找出．利用向量的模和夾角公式計算三角形面積．
本題考查平面向量的線性運算，坐標法表示平面向量及運算，屬基礎(chǔ)題．

20.【答案】證明：(1)如圖，取BC的中點G，連接AG，F(xiàn)G，
因為F為BD的中點，F(xiàn)G為△BCD的中位線，所以FG//CD，F(xiàn)G=12CD，
又因為AE，CD都垂直于平面ABC，且CD=2AE，所以AE//CD，AE=12CD，
所以FG//AE，F(xiàn)G=AE，所以四邊形AEFG為平行四邊形，所以EF//AG，
又因為EF?平面ABC，AG?平面ABC，所以EF//平面ABC．
(2)連接CF，因為BC=CD，F(xiàn)為BD的中點，所以CF⊥BD，
又因為平面BCD⊥平面BDE，平面BCD∩平面BDE=BD，CF?平面BCD，
所以CF⊥平面BDE.因為EF?平面BDE，所以CF⊥EF，
因為CD⊥平面ABC，AG?平面ABC，所以CD⊥AG，
又因為EF//AG，所以CD⊥EF，
因為CF∩CD=C，CF，CD?平面BCD，
所以EF⊥平面BCD．
?
【解析】(1)由已知及三角形中位線性質(zhì)，得到直線與直線平行，然后運用直線與平面平行的判定定理證明；
(2)已知平面與平面垂直，需要運用平面與平面垂直的性質(zhì)定理，需要作出兩平面交線的垂線，再結(jié)合已知條件利用直線與平面垂直的判定定理證明．
本題運用三角形中位線的性質(zhì)、平面與平面垂直的性質(zhì)定理，考查直線與平面平行的判定定理和直線與平面垂直的判定定理，屬于中檔題．

21.【答案】解：(1)證明：i=1m(xi?w?)2=i=1m(xi?x?+x??w?)2=i=1m[(xi?x?)2+2(xi?x?)(x??w?)+(x??w?)2]
=i=1m(xi?x?)2+2(x??w?)i=1m(xi?x?)+i=1m(x??w?)2
=i=1m(xi?x?)2+2(x??w?)(i=1mxi?mx?)+m(x??w?)2，
因為s12=1mi=1m(xt?x?)2，x?=1mi=1mxi，
所以t=1mxi?mx?=0，
則i=1m(xi?w?)2=m[s12+(x??w?)2]；
(2)因為每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)均勻分布，
所以可用各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，
由頻率分布直方圖估計男生樣本課外體育鍛煉時間的平均數(shù)
x?=1×0.05×2+3×0.1×2+5×0.175×2+7×0.1×2+9×0.075×2=5.2，
由扇形圖估計女生樣本課外體育鍛煉時間的平均數(shù)
y?=1×0.15+3×0.25+5×0.30+7x0.2+9×0.1=4.7；
(3)因為樹人中學男女學生比例約為2：3，
采用按比例分配的分層隨機抽樣，
此時m：n=2：3，
若男生樣本方差s12=5.5，女生樣本方差s22=5.7，
可得樹人中學學生課外運動時間的平均數(shù)w?=mx?+ny?m+n=0.4×5.2+0.6×4.7=4.9，
則總樣本方差s2=1m+n[i=1m(xi?w?)2+i=1m(yi?w?)2]=1m+n{m[s12+(x??w?)2]+n[s22+(y??w?)2]}
=mm+n[s12+(x??w?)2]+mm+n[s22+(y??w?)2]=25[5.5+(5.2?4.9)2]+35[5.7+(4.7?4.9)2]=5.68．?
【解析】(1)由題意，根據(jù)方差個平均數(shù)計算公式進行求證即可；
(2)由每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)均勻分布，此時可用各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，結(jié)合頻率分布直方圖以及扇形圖所給信息，代入平均數(shù)公式中求解即可；
(3)結(jié)合(1)中所得結(jié)論，代入方差公式中進行求解即可．
本題考查平均數(shù)、方差和標準差，考查了邏輯推理和運算能力．

22.【答案】解：(1)因為AA1//BB1，所以∠A1AC?(或其補角)為異面直線AC與BB1的所成角，
如圖，取AB的中點O，連接OC，OA1
．
因為三角形ABC為等邊三角形，O為AB的中點，所以O(shè)C⊥AB，
又因為平面A1ABB1⊥平面ABC，平面A1ABB1∩平面ABC=AB，OC?平面ABC，
所以O(shè)C⊥平面A1ABB1，因為OA1?平面A1ABB1，所以??OC⊥OA1，
因為O為AB的中點，在△AOA1中，AO=1，AA1= 2，∠A1AB=π4．
所以A1O2=AO2+AA12?2AO?AA1cosπ4=1．
所以A1C2=A1O2+OC2=4．
在△AA1C中，cos∠A1AC=AA12+AC2?A1C22AA1?AC= 24，
所以異面直線AC與BB1所成角的余弦值為 24．
?(2)在平面A1ABB1內(nèi)過O作AA1的垂線，交AA1于D，交BB1于D1，連接CD，CD1．

?由(1)知OC⊥平面A1ABB1，且OC⊥AA1，
又因為AA1⊥DD1，DD1∩OC=O，OC，DD1?平面DD1C，
?所以AA1⊥平面DD1C，
若存在球與三棱柱各個面都相切，則球的半徑R等于△DD1C內(nèi)切圓半徑，
在Rt△AOD中，AO=1，∠OAD=θ，則OD=sinθ，
在Rt△COD中，CO= 3，OD=sinθ，則?CD= sin2θ+3．
同理可得OD1=sinθ，CD1= sin2θ+3．
故SΔDD1C=12(CD+CD1+DD1)R=12OC?DD1．
得12(2 sin2θ+3+2sinθ)R=12?2sinθ? 3，即( sin2θ+3+sinθ)R?= 3sinθ?①．
?因為球與三棱柱各個面都相切，所以2R等于三棱柱的高，所以2R= 2sin?θ?②．
聯(lián)立①②得( sin2θ+3+sinθ)R= 3? 2R，即 sin2θ+3+sinθ= 6，
解得sinθ= 64，所以θ的正弦值為 64．?
【解析】(1)運用平面與平面垂直的性質(zhì)定理及等腰三角形三線合一的性質(zhì)求邊，通過平行線平移法作出異面直線所成的角，然后用余弦定理求解；
(2)三棱柱的內(nèi)切球，利用分割法求解．
本題考查通過平行線平移法作出異面直線所成的角和三棱柱的內(nèi)切球相關(guān)問題，屬于中檔題．

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