1.已知兩條直線l1：5x?2y+1=0和l2：ax+3y+2=0相互垂直，則a=( )
A. ?152B. 215C. ?65D. 65
2.數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2，an+1=an?1an+1，則數(shù)列{an}的前2023項(xiàng)的乘積為( )
A. ?1B. ?13C. 23D. 1
3.若函數(shù)y=f(x)在x=x0處的切線方程為y=x?3，則limΔx→0f(x0?Δx)?f(x0+2Δx)Δx=( )
A. 2B. 3C. ?2D. ?3
4.直線y=x+b與曲線y=1? 4?x2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( )
A. (1?2 2,1+2 2)B. (1?2 2,?1]
C. [?1,1+2 2)D. [3,1+2 2)
5.已知點(diǎn)F為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若|FA|?|FB|=3，則p=( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
6.若M，N為圓C：(x?2)2+(y?2)2=1上任意兩點(diǎn)，P為直線3x+4y?4=0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠MPN的最大值是( )
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
7.已知x+y=0，則 x2+y2?2x?2y+2+ (x?2)2+y2的最小值為( )
A. 5B. 2 2C. 10D. 2 5
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
8.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是( )
A. (x+3x)′=1+3x2B. (2sinxx2)′=2xcs?4sinxx3
C. [(3x+5)3]′=3(3x+5)2D. (2x+csx)′=2xln2?sinx
9.已知橢圓M：x24+y2=1，若P在橢圓M上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓M的左，右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有( )
A. 若|PF1|=|PF2|，則∠PF1F2=30°
B. △F1PF2面積的最大值為 3
C. |PF1|?|PF2|的最大值為2 3
D. 滿(mǎn)足△F1PF2是直角三角形的點(diǎn)P有4個(gè)
10.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為DD1的中點(diǎn)，N為正方形ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的有( )
A. 若MN=2，則MN的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為π
B. 若MN與平面ABCD所成的角為π3，則N的軌跡為圓
C. 若N到直線BB1與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線
D. 若D1N與AB所成的角為π3，則N的軌跡為雙曲線
11.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=12,an=12an?1+λ2n(n≥2,n∈N*)，其中λ∈{?1,0,1}，下列說(shuō)法正確的是( )
A. 當(dāng)λ=0時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列
B. 當(dāng)λ=?1時(shí)，數(shù)列{(?2)nan}是等差數(shù)列
C. 當(dāng)λ=1時(shí)，數(shù)列{an?n2n}是常數(shù)列
D. 數(shù)列{an}總存在最大項(xiàng)
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
12.曲線y=2lnx?x在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 ．
13.已知點(diǎn)F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l，直線l與雙曲線C有唯一交點(diǎn)P，且|FP|=6，則雙曲線C的方程為_(kāi)_____．
14.若曲線y=(2x?a)ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．
15.若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1= 2,an+an+1=2 n+2+ n，則a4= ______，S2n= ______．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
16.(本小題10分)
設(shè){an}是公比為正的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1和S3是一元二次方程x2?8x+7=0的兩根．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn=n2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
17.(本小題12分)
已知圓C：(x?2)2+(y?4)2=25和直線l：(2m+1)x+(m+1)y?11m?8=0．
(1)證明：不論m為何實(shí)數(shù)，直線l都與圓C相交；
(2)當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，求直線l的方程；
(3)已知點(diǎn)P(x,y)在圓C上，求x2+y2的最大值．
18.(本小題12分)
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿(mǎn)足?2ac=1+tanBtanC．
(1)求角B的大小；
(2)若b=4 5，D為AC邊上的一點(diǎn)，BD=2，且BD是∠ABC的平分線，求△ABC的面積．
19.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=13x3+ax2?3a2x.
(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)在[0,2]上的最大值和最小值；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
20.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ADP⊥平面ABCD，PD=2，PB=2 7．
(1)求證：AP⊥平面CDP；
(2)若點(diǎn)E在線段AC上，直線PE與直線DC所成的角為π4，求平面PDE與平面PAC夾角的余弦值．
21.(本小題12分)
已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e=12，過(guò)F1的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且△PQF2的周長(zhǎng)為8．
(1)求橢圓E的方程；
(2)已知過(guò)點(diǎn)T(4,0)與橢圓E相切的直線分別為l1，l2，直線l：y=x+t與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，與l1，l2分別交于點(diǎn)M，N，若|AM|=|BN|，求t的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因?yàn)閮蓷l直線l1：5x?2y+1=0和l2：ax+3y+2=0相互垂直，
所以5a+3×(?2)=0，
則a=65．
故選：D．
由已知結(jié)合兩直線垂直的條件建立關(guān)于a的方程，可求．
本題主要考查了直線垂直條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】B
【解析】解：數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2，an+1=an?1an+1，則a2=a1?1a1+1=2?12+1=13，
a3=a2?1a2+1=13?113+1=?12，a4=a3?1a3+1=?12?1?12+1=?3，a5=a4?1a4+1=?3?1?3+1=2，?，
以此類(lèi)推可知，對(duì)任意的n∈N*，an+4=an，且a1a2a3a4=2×13×(?12)×(?3)=1，
又因?yàn)?023=4×505+3，
因此，數(shù)列{an}的前2023項(xiàng)的乘積為
T2023=a1a2a3?a2023=(a1a2a3a4)505?a1a2a3=1505×2×13×(?12)=?13．
故選：B．
推導(dǎo)出，對(duì)任意的n∈N*，an+4=an，計(jì)算出數(shù)列{an}前五項(xiàng)的值，結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列{an}的前2023項(xiàng)的乘積．
本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】D
【解析】【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．
利用導(dǎo)數(shù)的定義直接解答即可．
【解答】解：因?yàn)閘imΔx→0f(x0?Δx)?f(x0+2Δx)Δx
=limΔx→0f(x0?Δx)?f(x0)+f(x0)?f(x0+2Δx)Δx
=?limΔx→0f(x0?Δx)?f(x0)?Δx?2·limΔx→0f(x0+2Δx)?f(x0)2Δx
=?3f′(x0)=?3．
4.【答案】B
【解析】解：由y=1? 4?x2≤1，可得y?1=? 4?x2，整理可得x2+(y?1)2=4，其中y≤1，
所以，曲線y=1? 4?x2表示圓x2+(y?1)2=4的下半圓，如下圖所示：
當(dāng)直線y=x+b與曲線y=1? 4?x2相切時(shí)，由圖可知，b0即可求出a的取值范圍．
本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于中檔題．
15.【答案】 5?3 2n+1?1
【解析】解：∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1= 2,an+an+1=2 n+2+ n，
∴an+an+1=2( n+2? n)( n+2+ n)( n+2? n)= n+2? n，
∴a1+a2= 3?1，解得a2= 3? 2?1，
又a2+a3= 4? 2，解得a3= 4? 3+1，
又a3+a4= 5? 3，解得a4= 5? 4?1= 5?3；
S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+……+(a2n?1+a2n)=( 3?1)+( 5? 3)+( 7? 5)+……+( 2n+1? 2n?1)= 2n+1?1．
故答案為： 5?3； 2n+1?1．
依題意可得an+an+1= n+2? n，再將n賦值即可求得a4，由S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+……+(a2n?1+a2n)直接計(jì)算即可得出答案．
本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件得到an+an+1= n+2? n，考查化簡(jiǎn)變形能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
16.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2?8x+7=0的兩根為1和7，而{an}是公比q>0，
若a1=7，則S3>7，與S3=1矛盾，
∴a1=1，S3=7，
∴1×(1?q3)1?q=7，解得q=2或?3(舍去)，
∴an=2n?1；
(2)bn=n2×2n?1=n2n，
∴Tn=12+222+…+n2n①，
∴12Tn=122+223+…+n2n+1②，
①?②得，12Tn=12+122+…+12n?n2n+1=12(1?12n)1?12?n2n+1=1?12n?n2n+1=1?n+22n+1，
∴Tn=2?n+22n．
【解析】(1)先求出a1=1，S3=7，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出q，進(jìn)而得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)利用錯(cuò)位相減法求解．
本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．
17.【答案】解：(1)證明：∵直線l：(2m+1)x+(m+1)y?11m?8=0，
∴(2x+y?11)m+(x+y?8)=0，
令2x+y?11=0x+y?8=0，解得x=3y=5，
∴直線l過(guò)定點(diǎn)(3,5)，
而(3?2)2+(5?4)20，sinC>0，
∴?2ac=sinAsinCcsB，
由正弦定理得?2sinAsinC=sinAsinCcsB，則csB=?12，
又∵B∈(0,π)，解得B=2π3；
(2)∵BD平分∠ABC，BD=2，S△ABC=S△ABD+S△BCD，
，
化簡(jiǎn)得ac=2a+2c，
在△ABC中，由余弦定理可得，
又∵b=4 5，
∴a2+c2+ac=80，
聯(lián)立ac=2a+2ca2+c2+ac=80,
解得ac=20或ac=?16(舍去)，
．
【解析】本題主要考查三角形面積公式，以及正、余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理、三角函數(shù)的恒等變換公式，角B的取值范圍，即可求解；
(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形的面積公式，以及余弦定理，即可求解．
19.【答案】解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，則函數(shù)f(x)=13x3+x2?3x，f′(x)=x2+2x?3=(x+3)(x?1)，
令f′(x)=0，解得x=?3或x=1，
當(dāng)0≤x

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