一、選擇題
1．集合的真子集個數(shù)為( )
A.3B.4C.5D.6
2．函數(shù),則( )
A.B.C.1D.2
3．某班的全體學生參加數(shù)學測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,,,.若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學生人數(shù)是( )
A.40B.45C.50D.60
4．已知,則( )
A.B.C.D.
5．已知是邊長為3的等邊三角形,三棱錐全部頂點都在表面積為的球O的球面上,則三棱錐的體積的最大值為( )
A.B.C.D.
6．已知雙曲線以正方形ABCD的兩個頂點為焦點,且經(jīng)過該正方形的另兩個頂點,設(shè)雙曲線E的一條漸近線斜率為k,則為( )
A.B.C.D.
7．某學校派出五名教師去三所鄉(xiāng)村學校支教，其中有一對教師夫婦參與支教活動.根據(jù)相關(guān)要求，每位教師只能去一所學校參與支教，并且每所學校至少有一名教師參與支教，同時要求教師夫婦必須去同一所學校支教，則不同的安排方案有( )種
A.B.C.D.
8．設(shè)A,B為兩個事件,已知,,,則( )
C.0.4D.0.5
二、多項選擇題
9．要得到如圖所示圖象,可由圖象經(jīng)過怎樣的變換得到( )
A.橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變,再將橫坐標向右平移個單位,縱坐標不變
B.橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變,再將橫坐標向右平移個單位,縱坐標不變
C.橫坐標向右平移個單位,縱坐標不變,再將橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變
D.橫坐標向右平移個單位,縱坐標不變,再將橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變
10．以下四個正方體中，滿足平面CDE的有( )
A.B.
C.D.
11．已知曲線C的方程為( )
A.當時,曲線C是半徑為2的圓
B.當時,曲線C為雙曲線,其漸近線方程為
C.存在實數(shù)k,使得曲線C為離心率為的雙曲線
D.“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要不充分條件
三、填空題
12．已知,復數(shù)是純虛數(shù),則___________.
13．為凈化水質(zhì),向一個游泳池加入某種化學藥品,加藥后池水中該藥品的濃度C(單位:mg/L)隨時間t(單位:h)的變化關(guān)系為,則經(jīng)過_______h后池水中藥品的濃度達到最大.
14．的展開式中,的系數(shù)為______.
四、解答題
15．某公司培訓員工某項技能,培訓有如下兩種方式:
方式一:周一到周五每天培訓1小時,周日測試
方式二:周六一天培訓4小時,周日測試
公司有多個班組,每個班組60人,現(xiàn)任選兩組(記為甲組,乙組)先培訓;甲組選方式一,乙組選方式二,并記錄每周培訓后測試達標的人數(shù)如表:
（1）用方式一與方式二進行培訓,分別估計員工受訓的平均時間(精確到0.1),并據(jù)此判斷哪種培訓方式效率更高?
（2）在甲乙兩組中,從第三周培訓后達標的員工中采用分層抽樣的方法抽取6人,再從這6人中隨機抽取2人,求這2人中至少有1人來自甲組的概率.
16．在①,
②,
③這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并解答該問題.
在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足_______,.
（1）若,求的面積;
（2）求周長l的取值范圍.
17．北京時間年月日,歷時天的東京奧運會落下帷幕,中國代表團以金?銀?銅?打破項世界紀錄?創(chuàng)造項奧運會紀錄的傲人成績,順利收官.作為“夢之隊”的中國乒乓球隊在東京奧運會斬獲金銀的好成績,參賽的名選手全部登上領(lǐng)獎臺.我國是乒乓球生產(chǎn)大國,某廠家生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格的乒乓球,第一批占60%,次品率為6%;第二批占40%,次品率為5%.為確保質(zhì)量,現(xiàn)在將兩批乒乓球混合,工作人員從中抽樣檢查·
（1）從混合的乒乓球中任取1個.
(i)求這個乒乓球是合格品的概率;
(ii)已知取到的是合格品,求它取自第一批乒乓球的概率.
（2）從混合的乒乓球中有放回地連續(xù)抽取2次,每次抽取1個,記兩次抽取中,抽取的乒乓球是第二批的次數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
18．如圖,在四棱錐中,底面ABCD是直角梯形,側(cè)棱底面ABCD,AB垂直于AD和BC,,,M是棱SB的中點.
（1）求證:平面SCD;
（2）求平面SCD與平面SAB所成的角的余弦值;
（3）設(shè)點N是線段CD上的動點,MN與平面SAB所成的角為,求的最大值.
19．已知橢圓，的一個頂點坐標為，離心率為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線，與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段的中點為M，點，求證：點M不在以為直徑的圓上.
參考答案
1．答案：A
解析：根據(jù)題意可知集合中有3個元素,所以共有個,
即有,,三個真子集.
故選:A
2．答案：D
解析：由,
得,
則.
故選:D.
3．答案：C
解析：由頻率分布直方圖可得低于60分的人的頻率為,
由于低于60分的人數(shù)是15,則該班的學生人數(shù)是,
故選:C
4．答案：C
解析：.
故選:C
5．答案：C
解析：球O的半徑為R,則,解得：,
由已知可得：,其中球心O到平面ABC的距離為,故三棱錐的高的最大值為3,
體積最大值為.
故選：C.
6．答案：C
解析：設(shè)正方形ABCD的邊長為,曲線E以正方形頂點A,B為焦點,過正方形頂點C,D,如圖所示,
則,代入曲線的方程,,即,
又因為,
所以,即,
等式兩邊同時除以得,
設(shè),則,即,
解得或(不合題意,舍去),
即,所以,
故選:C.
7．答案：C
解析：先將五個人分為三組，每組的人數(shù)分別為3、1、1或2、2、1，
若三組的人數(shù)分別為3、1、1，則教師夫婦必在三人的一組，
則教師夫婦這組還需從剩余的三人中抽1人，此時，不同的分組方法數(shù)為種；
若三組人數(shù)分別為2、2、1，則兩人一組的有一組是教師夫婦，
只需將剩余三人分為兩組，且這兩組的人數(shù)分別為2、1，此時，不同的分組方法種數(shù)為種.
接下來，將所分的三組分配給三所不同的學校，因此，不同的安排方案種數(shù)為種.故選：C.
8．答案：B
解析：由,,得,
所以.
故選：B.
9．答案：BC
解析：由題意設(shè)圖象對應的函數(shù)為,
由圖象可知：,
,所以,,
當時,,
得,,
即,,取,得,故,
故由的圖象到的圖象可以：
先將縱坐標不變橫坐標變?yōu)樵瓉淼?再向右平移得到的圖象;
先向右平移,再將縱坐標不變橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫降膱D象.
故選：BC.
10．答案：BD
解析：對A，，，與CE所成角為，故AB與平面CDE不垂直，故A錯誤；
對B，在正方體中，平面ABD，平面ABD，所以，又，，DE，平面CDE，所以平面CDE，故B正確；
對C，連接AF，BF，如圖，
在正方體中，由正方體面上的對角線相等可知，為正三角形，所以，又，AB與CE所成的角為，所以AB與平面CDE不垂直，故C不正確；
對D，連接MB，BN，如圖，
因為平面CMEB，平面CMEB，所以，又，
，BM，平面AMB，所以平面AMB，又平面AMB，所以，同理可得，再由，EC，平面ECD，所以平面CDE，故D正確.
故選：BD
11．答案：ABD
解析：A.當時,曲線方程為,所以是半徑為2的圓,故正確;
B.當時,曲線方程為,所以是雙曲線,且其漸近線方程為,故正確;
C.若曲線C為離心率為的雙曲線,則,方程無解,故錯誤;
D.當時,,曲線C為焦點在y軸上的橢圓,故不充分,當曲線C為焦點在x軸上的橢圓時,則,解得,故必要,故正確;
故選：ABD.
12．答案：
解析：因,復數(shù)純虛數(shù),
于是得,解得,
所以.
故答案為:
13．答案：2
解析：
當且僅當且,即時取等號
14．答案：
解析：展開式的通項公式,令,解得:,則,所以的系數(shù)為.
故答案為:
15．答案：（1）方式一
（2）
解析：（1）設(shè)甲乙兩組員工受訓的平均時間分別為,,則
（小時）
（小時）
據(jù)此可估計用方式一與方式二培訓,員工受訓的平均時間分別為10小時和10.9小時,因,據(jù)此可判斷培訓方式一比方式二效率更高;
（2）從第三周培訓后達標的員工中采用分層抽樣的方法抽取6人,
則這6人中來自甲組的人數(shù)為:,
來自乙組的人數(shù)為:,
記來自甲組的2人為:a,b;來自乙組的4人為:c,d,e,f,則從這6人中隨機抽取
2人的不同方法數(shù)有:,,,,,,,,,,,,,,,共15種,
其中至少有1人來自甲組的有:,,,,,,,,
共9種,故所求的概率.
16．答案：（1）
（2）
解析:（1）若選條件①,由及正弦定理,得
即,化簡得,
因為,所以,所以,因為,所以.
若選條件②,由及正弦定理,得,即,化簡得,
因為,所以,所以,因為,所以.
若選條件③,由化簡得,,由余弦定理得,即,因為,所以,
所以三個條件,都能得到.
由余弦定理得,即,解得,
所以的面積.
（2）因為,,由正弦定理得,
因為,
所以,
因為,所以,
所以,即,所以周長l的取值范圍為.
17．答案：（1）(i);
(ii);
（2）分布列見解析,.
解析：設(shè)事件“任取一個乒乓球是合格品”,事件“產(chǎn)品取自第一批”,事件“產(chǎn)品取自第二批”,則且,互斥;
（1）(i)由全概率公式可知:,
所以;
(ii)由貝葉斯公式可知:;
（2）由條件可知:X的可取值為0,1,2,
,
,
,
所以X的分布列為:
所以.
18．答案：（1）證明見解析
（2）
（3）
解析：（1）證明:因為底面ABCD,AB,平面ABCD,
所以,,
因為,所以AD,AB,AS兩兩垂直,
所以以A為坐標原點,AD,AB,AS所在的直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
則,,,,,
因為M是棱SB的中點,所以,
所以,,,
設(shè)平面的法向量為,則
,令,則,
所以,所以,
因為平面ABCD,所以平面SCD;
（2）因為,,,AB,平面SAB,
所以平面SAB,
所以為平面SAB的一個法向量,
設(shè)平面SCD與平面SAB所成的角為,則
,
即平面SCD與平面SAB所成的角的余弦值為;
（3）設(shè),則,
因為點N是線段CD上的動點,所以,得,
所以,則,
由（2）知為平面SAB的一個法向量,
因為MN與平面SAB所成的角為,
所以
,
當,即時,取得最大值,
所以的最大值為.
19．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）由題意可知，解得，
所以橢圓C的方程為.
（2）證明：設(shè)，，，
由得，
所以，
所以當k為任何實數(shù)時，都有，
所以，，
因為線段的中點為M，
所以，，
因為B(1，0)，所以，，
所以
，
又因為，，
所以，所以點M不在以為直徑的圓上.
第一周
第二周
第三周
第四周
甲組
20
25
10
5
乙組
8
16
20
16
X
0
1
2
P
0.36
0.48
0.16

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