一、選擇題
1．設(shè)集合，，則( )
A.B.C.D.
2．若，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
3．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( )
A.B.C.D.
4．比爾-朗伯定律是一條有關(guān)光吸收的物理定律，常用來描述光在透明介質(zhì)中傳播時的衰減規(guī)律，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫為，其中和I表示光在穿過介質(zhì)前、后的強(qiáng)度（單位：lx），x是光在介質(zhì)中傳播的距離（單位：m），其中k是取決于介質(zhì)特性的常數(shù).若某處湖面的陽光強(qiáng)度為，對于此湖中的水取，則此湖中20 m深處的陽光強(qiáng)度約為（參考數(shù)據(jù)：）( )
A.1500 lxB.2000 lxC.3000 lxD.4000 lx
5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的所有可能取值的集合為( )
A.B.C.D.
6．若，且，則( )
A.B.C.D.
7．已知，，，則( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，若，則實(shí)數(shù)( )
A.0B.1C.2D.3
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知，，若，則( )
A.B.
C.的最小值為8D.的最大值為
10．已知函數(shù)，則( )
A.的最小正周期為π
B.的圖象關(guān)于直線對稱
C.的零點(diǎn)是
D.的單調(diào)遞增區(qū)間為
11．古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，a，b，c分別為的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點(diǎn).已知在中，，且的面積為，則( )
A.角A，B，C構(gòu)成等差數(shù)列B.的周長為36
C.的內(nèi)切圓面積為D.邊上的中線長度為
12．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則( )
A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C.
D.
三、填空題
13．已知函數(shù)（），寫出一個同時滿足下列性質(zhì)①②的的值：___________.
①當(dāng)時，；②在上單調(diào)遞減.
14．已知，則___________.
15．設(shè)且，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是___________.
16．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個不相等的實(shí)數(shù)根、、、，則的取值范圍是___________.
四、解答題
17．在數(shù)列中，，是的前n項(xiàng)和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
18．國務(wù)院于2023年開展第五次全國經(jīng)濟(jì)普查，為更好地推動第五次全國經(jīng)濟(jì)普查工作，某地充分利用信息網(wǎng)絡(luò)開展普查宣傳，向基層普查人員、廣大普查對象及社會公眾宣傳經(jīng)濟(jì)普查知識.為了解宣傳進(jìn)展情況，現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求圖中a的值；
（2）求這200人年齡的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)（精確到0.1）；
（3）現(xiàn)要從年齡在與的兩組中按照人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人，再從這5人中任選3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求從中至少抽到2人進(jìn)行問卷調(diào)查的概率.
19．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
（1）求B的值；
（2）若，且的面積為1，求的周長.
20．如圖，在直三棱柱中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，，，，.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值.
21．已知拋物線（）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離是.
（1）求p的值；
（2）已知過點(diǎn)F的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，線段的中垂線與E的準(zhǔn)線l交于點(diǎn)P，且線段的中點(diǎn)為M，設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
22．已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，函數(shù)，且對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
參考答案
1．答案：A
解析：由題意知，
，所以.
故選：A.
2．答案：B
解析：因?yàn)?，使得，又因?yàn)?，所以?br>所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：B.
3．答案：C
解析：易知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
又，，
由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是.
故選：C.
4．答案：D
解析：由，得，所以，代入所給數(shù)據(jù)得.
故選：D
5．答案：B
解析：由圖可知，的最小正周期為，所以.
當(dāng)時，，得，此時；
當(dāng)時，，得，此時.
故只有一個值.
故選：B.
6．答案：D
解析：，，即，，
，得，，
或，
，且，由三角函數(shù)定義知，
，故.
故選：D.
7．答案：C
解析：由題意可得，，，
，
，故.
故選：C.
8．答案：B
解析：由題意知，
因?yàn)榕c曲線相切，
所以，整理得，
同理，
則a，b是方程的兩個實(shí)數(shù)根，
所以，
所以.
故選：B.
9．答案：ABC
解析：對于A和B中，因?yàn)?，且，可得且?br>即，所以，且，，所以A、B正確；
對于C中，由，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取“=”號，所以C正確；
對于D中，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取“=”號，所以D錯誤.
故選：ABC.
10．答案：AC
解析：.
對于A，的最小正周期為，故A正確；
對于B，當(dāng)時，，所以不是的圖象的對稱軸，故B錯誤；
對于C，由，可得，所以，
所以，故C正確；
對于D，由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D錯誤.
故選：AC.
11．答案：ACD
解析：對于A，由正弦定理可知，
設(shè)，，，
由余弦定理可得，
所以，，故角A，B，C構(gòu)成等差數(shù)列，故A正確；
對于B，根據(jù)海倫公式得，，得，
所以，，，所以的周長為，故B錯誤；
對于C，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，得，
所以的內(nèi)切圓面積為，故C正確；
對于D，設(shè)的中點(diǎn)為D，則，
在中，，故D正確.
故選：ACD.
12．答案：BCD
解析：對于A中，由為奇函數(shù)得，
因此，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以A錯誤；
對于B中，由為偶函數(shù)得，于是，即，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以B正確；
對于C中，，
從而，所以以4為周期，可得，
由中，令，得，所以C正確；
對于D中，由前面的分析可得，，
所以，
所以D正確.
故選：BCD.
13．答案：（負(fù)奇數(shù)均可）
解析：由①：當(dāng)時，，則為奇數(shù)，由②：在上單調(diào)遞減，則，所以可以取任意負(fù)奇數(shù)，不妨取.
故答案為：（負(fù)奇數(shù)均可）.
14．答案：/0.6
解析：因?yàn)?，則.
故答案為：.
15．答案：
解析：由題意知：，
當(dāng)時，，，所以，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，，要使，則，整理得，
所以，解得.
故答案為：.
16．答案：
解析：由的解析式作出的大致圖象，如圖所示：
方程有4個不等實(shí)數(shù)根等價于的圖象與直線有4個不同的公共點(diǎn)，
則，不妨令，
則由圖可知，，，
所以，，
由，得.
所以，
設(shè)，則，
根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
即的取值范圍是.
故答案為：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知得，，
所以，①
當(dāng)時，，②
，得，
也符合該式，
所以.
（2）由（1）得，
所以，③
，④
，得
.
故.
18．答案：（1）
（2）平均數(shù)為；中位數(shù)約為42.1
（3）
解析：（1）由圖可知，
解得.
（2）平均數(shù)為.
設(shè)中位數(shù)為x，由已知可得.
且，
解得，即中位數(shù)約為42.1.
（3）年齡在和這兩組的人數(shù)分別為30，20，
則年齡在的應(yīng)抽取3人，年齡在的應(yīng)抽取2人，
設(shè)“從這5人中任選3人，年齡在內(nèi)的至少有2人”為事件A，
則.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
，
由余弦定理知，
又，.
（2）由（1）得，
.
由余弦定理可得，
，.
，
，
的周長為.
20．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）在直三棱柱中，平面，
又平面，，
又，，，平面，
平面.
又平面，.
，N分別為，的中點(diǎn)，
，.
，，
，
，，
又，，平面.
平面.
（2）平面，，以A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.
，，，，
，，.
設(shè)平面的法向量為，
則即可取.
由（1）知平面，
故可取平面的法向量.
，
二面角的正弦值為.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）E的焦點(diǎn)為，
雙曲線的漸近線方程為，不妨取，即.
由點(diǎn)到直線的距離公式得，
得.
（2）由（1）知，，l：.
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立消去x并整理，得，
設(shè)，，則，，
，
.
易得M點(diǎn)的坐標(biāo)為，
的中垂線方程為，
令得，
，
從而，
，
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
22．答案：（1）在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增
（2）
解析：（1）（1）.
令，得或，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時，，
.
.
當(dāng)時，，所以恒成立，等價于恒成立.
由（1）知，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，所以，即.
令函數(shù)，，則，
所以，
所以m的取值范圍是.

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