數(shù)學(xué)
考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）
A. B.3 C. D.5
2.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（ ）
A. B. C. D.
3.某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了1000名演員的學(xué)歷情況，制作出如圖所示的餅狀圖，其中本科學(xué)歷的人數(shù)為630.現(xiàn)按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學(xué)歷的人數(shù)為（ ）
A.11 B.13 C.22 D.26
4.已知等比數(shù)列的公比為，則（ ）
A.20 B.24 C.28 D.32
5.已知，且，則（ ）
A. B. C. D.
6.當(dāng)飛機(jī)超音速飛行時(shí)，聲波會(huì)形成一個(gè)以飛機(jī)前端為頂點(diǎn)，飛機(jī)的飛行方向?yàn)檩S的圓錐（如圖），稱為“馬赫錐”.馬赫錐的軸截面頂角與飛機(jī)的速度?音速滿足關(guān)系式.若一架飛機(jī)以2倍音速沿直線飛行，則該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)處的截面圓面積為（ ）
A. B. C. D.
7.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
8.已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），，則（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.若，則點(diǎn)的軌跡為橢圓
B.若，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線
C.若，則點(diǎn)的軌跡為一條直線
D.若，則點(diǎn)的軌跡為圓
10.已知函數(shù)的一個(gè)最大值點(diǎn)為，與之相鄰的一個(gè)零點(diǎn)為，則（ ）
A.的最小正周期為 B.為奇函數(shù)
C.在上單調(diào)遞增 D.在上的值域?yàn)?br>11.在正方體中，點(diǎn)滿足，其中，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.若在同一球面上，則
B.若平面，則
C.若點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等，則
D.若平面，則
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知集合，若，則__________.
13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.
14.已知函數(shù)若對(duì)任意恒成立，則__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）求；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
16.（15分）
如圖，已知四棱錐的體積為平面，四邊形為矩形，為棱的中點(diǎn)，且的面積為.
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.
17.（15分）
如果一雙曲線的實(shí)軸及虛軸分別為另一雙曲線的虛軸及實(shí)軸，則這兩雙曲線互為“共軛雙曲線”.已知雙曲線的共軛雙曲線的離心率為.
（1）求的方程；
（2）若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓與軸相切，求的值.
18.（17分）
某學(xué)校有甲?乙?丙三名保安，每天由其中一人管理停車場(chǎng)，相鄰兩天管理停車場(chǎng)的人不相同.若某天是甲管理停車場(chǎng)，則下一天有的概率是乙管理停車場(chǎng)；若某天是乙管理停車場(chǎng)，則下一天有的概率是丙管理停車場(chǎng)；若某天是丙管理停車場(chǎng)，則下一天有的概率是甲管理停車場(chǎng).已知今年第1天管理停車場(chǎng)的是甲.
（1）求第4天是甲管理停車場(chǎng)的概率；
（2）求第天是甲管理停車場(chǎng)的概率；
（3）設(shè)今年甲?乙?丙管理停車場(chǎng)的天數(shù)分別為，判斷的大小關(guān)系.（給出結(jié)論即可，不需要說(shuō)明理由）
19.（17分）
已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.
海南省2023—2024學(xué)年高三學(xué)業(yè)水平診斷（三）
數(shù)學(xué)·答案
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分
1.答案C
命題意圖本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念.
解析由題知.
2.答案A
命題意圖本題考查正弦定理的應(yīng)用.
解析由正弦定理得.
3.答案D
命題意圖本題考查分層隨機(jī)抽樣的概念.
解析由題知，樣本中本科學(xué)歷占比為，碩士學(xué)歷占比為，故抽取的碩士學(xué)歷的人數(shù)為.
4.答案D
命題意圖本題考查等比數(shù)列的基本性質(zhì).
解析由題意知，所以.
5.答案A
命題意圖本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與三角恒等變換.
解析，又，
.
6.答案B
命題意圖本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征.
解析由條件知，則，則該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)處的截面圓半徑為，截面圓面積為.
7.答案D
命題意圖本題考查指數(shù)函數(shù)?對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).
解析在同一平面直角坐標(biāo)系中作出的圖象，由圖得.
8.答案C
命題意圖本題考查拋物線與直線的位置關(guān)系.
解析如圖，分別過(guò)點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，分別過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，設(shè)交軸于點(diǎn)，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn).由題知的傾斜角為，則，又.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.答案BCD
命題意圖本題考查曲線與方程.
解析對(duì)于，則點(diǎn)的軌跡為線段，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故B正確；
對(duì)于，設(shè)，由，可得，化簡(jiǎn)得，表示一條直線，故C正確；
對(duì)于，由，可得，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，故正確.
10.答案BC
命題意圖本題考查三角函數(shù)的性質(zhì).
解析設(shè)最小正周期為，則，故A錯(cuò)誤.不妨令，則.再由五點(diǎn)法知，此函數(shù)為奇
函數(shù)，故B正確.當(dāng)時(shí)，，由余弦函數(shù)的性質(zhì)知C正確.當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.
11.答案ABD
命題意圖本題考查空間位置關(guān)系的判斷.
解析由題意知點(diǎn)在線段上（不包含點(diǎn)）.
對(duì)于A，若在同一球面上，則此球?yàn)檎襟w的外接球，所以與重合，所以，故A正確；
對(duì)于，如圖（1），設(shè)的中點(diǎn)為，則平面與平面的交線為直線，要使平面，則需，則為的中點(diǎn)，此時(shí)，故B正確；
對(duì)于，點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等，則為正方體外接球的球心，即的中點(diǎn)，此時(shí)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，如圖（2），設(shè)正方形的中心為，連接與交于點(diǎn)，在對(duì)角面內(nèi)，易知是上靠近的三等分點(diǎn)，且，若平面，則，由對(duì)稱性易知，則，從而是的靠近的三等分點(diǎn)，此時(shí)，故D正確.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.答案2
命題意圖本題考查集合的關(guān)系.
解析因?yàn)椋?，則，且，所以.
13.答案-480
命題意圖本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.
解析由題知可將看成6個(gè)相乘，先從6個(gè)因式中選2個(gè)因式取，有種不同的取法，再?gòu)氖Ｓ?個(gè)因式中選3個(gè)因式取，則的系數(shù)為，最后1個(gè)因式取1，所以的系數(shù)為.
14.答案
命題意圖本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.
解析由題知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.注意到，因此若
對(duì)任意恒成立，則，即對(duì)任意恒成立.由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，且值域?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且值域?yàn)?，因此?duì)恒成立時(shí).
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15.命題意圖本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和.
解析（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
.
（2）由（1）知，
，①
，②
①-②得，
，
.
16.命題意圖本題考查空間中的位置關(guān)系以及空間向量的應(yīng)用.
解析（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
又四邊形是矩形，所以，從而.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，得，
因此點(diǎn)到平面的距離為.
（2）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，為的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，所?
即是等腰直角三角形.
設(shè)，則.
由條件知解得
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以.
設(shè)是平面的法向量
則可取.
平面的一個(gè)法向量為.
，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
17.命題意圖本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系.
解析（1）由題可得，
因?yàn)榈碾x心率為，所以，得，
所以的方程為.
（2）過(guò)的右頂點(diǎn)，不妨設(shè)，由的方程可得其漸近線方程為，因?yàn)榫诘挠抑?，所以?
由得，
所以.
，
以線段為直徑的圓的圓心橫坐標(biāo)為，半徑為，
由題意知，
整理得，
解得（負(fù)值舍去）.
18.命題意圖本題考查全概率公式的應(yīng)用，以及數(shù)列與概率的綜合問(wèn)題.
解析（1）由題意，前4天管理停車場(chǎng)的順序?yàn)椤凹滓冶住被颉凹妆壹住保?br>所以.
（2）設(shè)事件表示“第天甲管理停車場(chǎng)”，事件表示“第天乙管理停車場(chǎng)”，事件表示“第天丙管理停車場(chǎng)”，記，則.
由題意知，
當(dāng)時(shí)，，
即，
整理得，
所以，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，故，
即第天是甲管理停車場(chǎng)的概率為.
（3）.
19.命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).
解析（1）.
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）不等式對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.
令，則.
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，.
①若，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
則，所以，所以
②若，則，又當(dāng)時(shí)，，所以，使得，即.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
則，
所以，所以.
由，令函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，
所以，所以.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

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