重慶市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知向量，則（）
A. 1B. 2C. 6D. 1或者2
【答案】D
【解析】
【分析】求出坐標(biāo)，再根據(jù)列方程求解.
【詳解】由已知，
又，
所以，
解得1或者2
故選：D.
2. 在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用的圖形關(guān)系并依據(jù)平面向量基本定理即可利用向量表示向量.
【詳解】中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
則，
所以，所以.

故選：B
3. 若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）
A. B. 且C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)實(shí)部為零，虛部不為零列式計(jì)算.
【詳解】由題意可得：，解得或，又，所以.
故選：A
4. 若，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?，所以，?br>所以.
故選：A
5. 如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是（）
A. B. 1C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)模的幾何意義轉(zhuǎn)化復(fù)數(shù)z滿足的限制條件，進(jìn)而求得的最大值.
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為：
由可知：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)
到兩點(diǎn)的距離之和為2，
而，所以點(diǎn)在線段上，故，
則，
當(dāng)時(shí)，的最大值為，
故選：D
6. 在中，，則的最大角與最小角的和是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，，，則，由余弦定理求角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和求，即得的最大角與最小角之和.
【詳解】結(jié)合，不妨設(shè)，，，根據(jù)大邊對(duì)大角可知：，
由余弦定理可得：，
又因?yàn)?，所以，所以?br>所以的最大角與最小角之和為.
故選：C
7. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算和除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及虛部的概念求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
所以，其共軛復(fù)數(shù)為，虛部為.
故選：B
8. 在中，，，則的形狀為（）
A. 直角三角形B. 三邊均不相等的三角形
C. 等邊三角形D. 等腰（非等邊）三角形
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合條件利用數(shù)量積的運(yùn)算律得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求得，即可判斷三角形的形狀.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以，即，
又，所以，所以，
所以為等腰非等邊三角形.
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，在每個(gè)給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 滿足下列條件的三角形有兩個(gè)解的是（）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】BD
【解析】
【分析】利用正弦定理，逐項(xiàng)判斷計(jì)算作答
【詳解】對(duì)于A，，又，只有一解，不合題意；
對(duì)于B，，又，則有兩解，符合題意；
對(duì)于C，，則不存在，無解，不合題意；
對(duì)于D，，又，則有兩解，符合題意.
故選：BD
10. 銳角三角形的內(nèi)角分別是A，B，C，.則下列不等式中成立的是（）.
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正弦函數(shù)單調(diào)性比較大小判斷A，利用余弦函數(shù)單調(diào)性比較大小判斷B，結(jié)合銳角三角形的性質(zhì)，利用正弦函數(shù)單調(diào)性及不等式性質(zhì)判斷CD.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，正確；
對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，錯(cuò)誤；
對(duì)于C和D，因?yàn)殇J角三角形，可得，則，
因?yàn)?，所以?br>又在上單調(diào)遞增，所以，同理可得，
所以，故C正確，D錯(cuò)誤
故選：AC
11. 如圖，正方形的中心與圓的圓心重合，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）
A. 是定值
B. 是定值
C. 是定值
D. 是定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】依題意建立以為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為，圓的半徑為，點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)選項(xiàng)中的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得選項(xiàng)ABD中的表達(dá)式可寫成只含有和的式子，結(jié)果為定值，而C選項(xiàng)中的結(jié)果最終含有，即與點(diǎn)位置有關(guān)，不是定值.
【詳解】根據(jù)題意，以坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
不妨設(shè)正方形邊長為，圓的半徑為，點(diǎn)坐標(biāo)為；
則可得，且；
易知；
所以對(duì)于A選項(xiàng)，，為定值，即A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，
，為定值，所以B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，易知表達(dá)式中不能表示成只含有邊長和半徑式子，
即與有關(guān)，故其不是定值，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，
，定值，故D正確；
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將向量坐標(biāo)化，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解是否為定值.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 在中，，，，且O是的外心，則______.
【答案】
【解析】
【分析】由題意畫圖，結(jié)合數(shù)量積幾何意義和定義求解即可.
【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，
則在方向上的投影向量為，
因?yàn)闉榈耐庑?，所以?br>所以.
故答案為：.
13. 若滿足條件，，的有兩個(gè)，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理可得，再確定的范圍即可作答.
【詳解】在中，由正弦定理得：，
因有兩解，即給定x值，由求出的角B有兩個(gè)，它們互補(bǔ)，
當(dāng)時(shí)，，角B唯一確定，只有一解，
則，即有，而當(dāng)時(shí)，是直角三角形，只有一解，
有兩解，則必有，即，有，
所以的取值范圍是.
故答案為：
14. 已知關(guān)于的方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根記為，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理求解即可.
【詳解】由韋達(dá)定理可得，，故.
故答案為：
四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 已知向量與的夾角為60°，＝1，．
（1）求及；
（2）求.
【答案】（1）2，1；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用模長坐標(biāo)公式求，再由數(shù)量積的定義求；
（2）應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求即可.
【小問1詳解】
由題設(shè)，則
【小問2詳解】
由，
所以.
16. 已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量，且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量平行得到，利用正弦定理化簡(jiǎn)得到答案.
（2）利用余弦定理計(jì)算得到，再計(jì)算面積即可.
【小問1詳解】
因?yàn)橄蛄?，且，所以?br>由正弦定理可知：，
又，所以，所以，則，
又，所以；
【小問2詳解】
因?yàn)?，，?br>由余弦定理可得，可得，解得或（舍），
所以的面積為.
17. 在中，.
（1）求的大??；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理和特殊角的三角函數(shù)值求解即可；
（2）根據(jù)內(nèi)角和關(guān)系，結(jié)合兩角差的余弦公式和兩角和的正弦公式，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求其范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以由余弦定理可得?br>所以，又，
所以；
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
即的取值范圍為.
18. 如圖，已知點(diǎn)是邊長為1的正三角形的中心，線段經(jīng)過點(diǎn)，并繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，分別交邊于點(diǎn)，設(shè)，其中．
（1）求的值；
（2）求面積的最小值，并指出相應(yīng)的的值．
【答案】（1）
（2）時(shí)，取得最小值．
【解析】
【分析】（1）由正三角形的中心的性質(zhì)，有，又三點(diǎn)共線，所以；
（2）面積表示為的函數(shù)，通過換元和基本不等式，求最小值.
【小問1詳解】
延長交與，由是正三角形的中心，得為的中點(diǎn)，
則，
由，，得，
又三點(diǎn)共線，所以，即．
【小問2詳解】
是邊長為1的正三角形，則，
．
由，則，
，，解得，
．
設(shè)，則，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．求算式的限值范圍，根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.
19. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，邊上的中線長為6.
（1）若，求；
（2）求面積的最大值.
【答案】（1）
（2）24
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理與正弦定理化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)直角三角形中勾股定理求解即可；
（2）設(shè)，由余弦定理與同角三角和的關(guān)系可得，再根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可.
【小問1詳解】
由有，故，
由正弦定理可得，故，
即，又，故.
若，則，故，則為直角三角形.
設(shè)，則，則，解得.
故.
【小問2詳解】
由（1）可得，則.
設(shè)，則，由余弦定理可得，
即，由可得，
故.
故，當(dāng)時(shí)取得最大值，
為.

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