上海市部分學校2023-2024學年高三下學期3月學科素養(yǎng)測試數(shù)學試卷（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

【答案】
【解析】
【詳解】因為，所以
考點：集合運算
2. 若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則_________．
【答案】
【解析】
【詳解】設，則
考點：復數(shù)相等，共軛復數(shù)
3. 圓柱的底面半徑為3，高為4，其側面積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由圓柱的側面積公式直接計算即可.
【詳解】因為圓柱的底面半徑為3，高為4，
所以其側面積為
故答案為：
4. 函數(shù)的最大值為__________.
【答案】5
【解析】
分析】借助輔助角公式計算即可得.
【詳解】，其中，
由，故的最大值為5.
故答案為：5.
5. 二項式的展開式中，系數(shù)最大的項為______．
【答案】
【解析】
【分析】先得到展開式的通項公式，進而得到要想系數(shù)最大，則為偶數(shù)，比較后得到答案.
【詳解】展開式通項公式為，且為整數(shù).
要想系數(shù)最大，則為偶數(shù)，
其中，，，
，
顯然系數(shù)最大項為.
故答案為：
6. 若滿足，則曲線在點處切線的傾斜角為__________.
【答案】
【解析】
【分析】結合導數(shù)定義與導數(shù)的幾何意義計算即可得.
【詳解】，
設其傾斜角為，則有，又，故.
故答案為：.
7. 在平面直角坐標系中，已知點、，、是軸上的兩個動點，且，則的最小值為____．
【答案】-3
【解析】
【分析】據(jù)題意可設E（0，a），F(xiàn)（0，b），從而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，將a=b+2帶入上式即可求出最小值，同理將b=a+2帶入，也可求出的最小值．
【詳解】根據(jù)題意，設E（0，a），F(xiàn)（0，b）；
∴；
∴a=b+2，或b=a+2；
且；
∴；
當a=b+2時，；
∵b2+2b﹣2的最小值為；
∴的最小值為﹣3，同理求出b=a+2時，的最小值為﹣3．
故答案為：﹣3．
【點睛】考查根據(jù)點的坐標求兩點間的距離，根據(jù)點的坐標求向量的坐標，以及向量坐標的數(shù)量積運算，二次函數(shù)求最值的公式．
8. 若直線經(jīng)過雙曲線的一個焦點，且與該雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可以求出雙曲線的焦點坐標以及漸近線方程，進而列出方程組解出的值，從而求出雙曲線方程.
【詳解】解：雙曲線焦點在軸上，漸近線方程為：，
直線經(jīng)過點，所以，且直線的斜率為，
所以，解得，所以雙曲線方程為.
故答案為：
9. 已知實數(shù)的平均數(shù)為4，則這四個數(shù)的中位數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平均數(shù)及中位數(shù)的概念計算即可.
【詳解】由題意可知，
若該四個數(shù)按大小排列，位于中間，則位于兩側，此時中位數(shù)是；
若該四個數(shù)按大小排列，位于中間，則位于兩側，此時，不符合題意；
若該四個數(shù)按大小排列，位于中間，則位于兩側，同上，不符合題意；
若該四個數(shù)按大小排列，位于中間，則位于兩側，則有；
若該四個數(shù)按大小排列，位于中間，則位于兩側，同上；
若該四個數(shù)按大小排列，位于中間，則位于兩側，可知；
此時中位數(shù)是；
綜上所述這四個數(shù)的中位數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
10. 設a＞0,b＞0．若關于x,y的方程組無解，則的取值范圍是．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：方程組無解等價于直線與直線平行，所以且．又，為正數(shù)，所以（），即取值范圍是．
考點：方程組的思想以及基本不等式的應用．
11. 三位好友進行乒乓球循環(huán)賽，先進行一局決勝負，負者下，由挑戰(zhàn)?的勝者，繼續(xù)進行一局決勝負，負者下，勝者下一局再接受第三人的挑戰(zhàn)，依此進行.假設三人水平接近，任意兩人的對決獲勝的概率都是且不受體力影響，已知三人共比賽了3局，那么這3局中三人各勝一局的概率為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)相互獨立事件和概率的加法公式進行計算可得答案.
【詳解】設比賽A獲勝為事件M，比賽C獲勝為事件N，比賽B獲勝為事件Q，
且相互獨立，則，
設三人共比賽了3局，三人各勝一局的概率為D，
則
.
故答案為：.
12. 如圖，平面內(nèi)一條長度為的線段恰好能通過直角拐角，拐角點到所在直線的距離為，到所在直線的距離為，若恰好過點才能通過拐角，則的值約為__________.（結果精確到）
【答案】
【解析】
【分析】由題意可知，的值為過點的線段的最小值，設，則可得，借助導數(shù)研究單調(diào)性即可得其最小值.
【詳解】由題意可知，的值為過點的線段的最小值，
設，則有，，則，
設，，
則
，
令，由，故有，
有，即，
則，，
當時，，當時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
借助計算器可得.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點構造函數(shù)，借助，求出其在上的單調(diào)性以求其最小值即可得解.
二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中第13~14題每題滿分4分，第15~16題每題滿分5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.
13. 若正數(shù)、、均不為1，則下列不等式中與“”等價的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷即可得.
【詳解】對A：當時，由可得，故A錯誤；
對B：由，則可能有或，故B錯誤；
對C：由為正數(shù)且不為，故函數(shù)在時單調(diào)遞增，
故當時，有，故C正確；
對D：當時，由可得，故D錯誤.
故選：C.
14. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，當時，的表達式為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義，結合的解析式直接求解即可.
【詳解】當時，，，
又為奇函數(shù)，，
即當時，.
故選：B.
15. 有下列幾何對象：①長度為的短棍（粗細忽略不計）；②面積為的正方形紙片（厚度忽略不計，不可折疊）；③體積為的正四面體木塊.關于上述幾何對象能否單獨完全裝入一個棱長為的正方體盤子（壁厚度忽略不計），正確的結論是（）
A. 僅①②能B. 僅②③能
C. 僅①③能D. ①②③均能
【答案】D
【解析】
【分析】通過比較正方體體對角線的長可以判斷①，通過比較正方體對角面的面積可以判斷②，計算正四面體的棱長，與正方體中最大的正四面體的棱長比較，可以判斷③.
【詳解】①棱長為的正方體盤子，體對角線長為，
所以長度為的短棍（粗細忽略不計）放入正方體體對角線的位置就可以裝入；
②棱長為的正方體盤子，對角面的面積為，
所以面積為的正方形紙片（厚度忽略不計，不可折疊）放入正方體對角面的位置就可以裝入；
③設正四面體棱長為，如圖正四面體，是面中心，是四面體的高，
則，，
體積為,所以，
棱長為的正方體中最大的正四面體為面對角線構成的正四面體，此時正四面體的邊長為，，所以可以裝入.
故選：D
16. 對于命題：①存在、、的某個排列，使得對任意，這三個數(shù)均不能成等比數(shù)列；②對、、的任意排列，均存在相應的，使得這三個數(shù)成等差數(shù)列.下列判斷正確的是（）
A. ①和②均為真命題B. ①和②均為假命題
C. ①為真命題，②為假命題D. ①為假命題，②為真命題
【答案】C
【解析】
【分析】對①：假設、、成等比數(shù)列，則有，借助三角函數(shù)間的關系結合定義域可得其不成立，即可得①正確；對②：假設、、成等差數(shù)列，則有，結合定義域可得，即可得該等式不成立，故②錯誤.
【詳解】對①，若、、成等比數(shù)列，則有，
由，即有，
可得或，又，故，不符合要求，
故存在、、，使得對任意，這三個數(shù)均不能成等比數(shù)列，
故①正確；
對②，若、、成等差數(shù)列，則有，
即，即，
當時，該等式不成立，故，
則，
由，故，
則，又，
故該等式不成立，故②錯誤.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于利用反證法，假設成立時，借助三角函數(shù)及數(shù)列的性質，找出其矛盾之處，從而證明假設不成立.
三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
17. 如圖，在正四棱錐中，點為的中點.
（1）若為的中點，判斷直線與的位置關系，并說明理由；
（2）正四棱錐的各棱長均為2，求直線與底面所成角的大小.
【答案】（1）相交，理由見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意可得且，從而得到四邊形是梯形，即可得解；
（2）依題意可得點到平面的距離為正四棱錐高的一半，求出棱錐的高與，再由銳角三角函數(shù)計算可得.
小問1詳解】
由、分別為側棱、的中點，
所以且，
又且，故且，
所以四邊形是梯形，因此直線與相交.
【小問2詳解】
由為的中點，得點到平面的距離為正四棱錐高的一半，
設，連接，則平面，
由正四棱錐的各棱長均為，所以，
則
即正四面體的高為，
所以點到平面的距離為，又，
設直線與底面所成角為，則，
故直線與底面所成角的大小為.
18. 袋中有大小和質地均相同的10個球，其中4個黃球，6個白球，從中隨機地摸出3個球，用表示其中黃球的個數(shù).
（1）采用不放回摸球，求的分布；
（2）采用有放回摸球，求的分布?期望和方差.
【答案】（1）分布列見解析
（2）分布列見解析，，.
【解析】
【分析】（1）服從超幾何分布，依據(jù)超幾何分布的公式計算即可；
（2），依據(jù)二項分布寫出分布列，計算期望和方差即可
【小問1詳解】
各次試驗的結果不獨立，故服從超幾何分布.
，其中.
的分布為
【小問2詳解】每次摸到黃球的概率為，且各次試驗的結果是獨立的，故.
，其中.
的分布為，
期望，方差.
19. 如圖，某公園有一三角形的花壇，已知圍欄長5米，長7米，，擬在該花壇中修建一條直圍欄（即線段，點分別在三角形的兩邊上），以種植兩種不同顏色的菊花供游客觀賞，花壇設計者希望通過圍欄實現(xiàn)兩種菊花的種植面積相等且同一時刻花壇邊游客近距離賞花的人數(shù)的最大值相等.試問：在的邊上是否存在兩點，使得線段既平分的面積又平分其周長？若存在，求出所有滿足要求的點的位置（結果精確到0.1米）；若不存在，請說明理由.
【答案】存在，長約米，長約米
【解析】
【分析】由余弦定理可計算的長，進而求出的面積以及周長，分情況討論點在上，在上，在上，列方程組計算可求出結果.
【詳解】由余弦定理，，可得：，解得：.
所以，周長為20.
由余弦定理可知：，，
則，，
若點分別在上，設，于是有，則，該方程組無解.

若點分別在上，設，于是有，則，解得.
若點分別在上，設，，于是有，則，該方程組無解.
綜上，存在上點和上點，其中長約7.2米，長約2.8米滿足題意.
20. 已知函數(shù)滿足：在定義域內(nèi)存在實數(shù)，使得.設集合是滿足上述性質的函數(shù)的全體.
（1）若，判斷函數(shù)是否屬于集合，并說明理由；
（2）設，若函數(shù)屬于集合，求的取值范圍；
（3）設，求證：對任意實數(shù)，函數(shù)均屬于集合.
【答案】（1）不屬于，理由見解析
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）代入以及計算并判斷即可證明；
（2）由，代入計算可得，即關于的方程有實數(shù)解.分類討論一元二次方程有實根即可求解的范圍；
（3）代入建立等量關系可得，令，零點存在性定理分類討論當時以及時解的情況即可證明.
【小問1詳解】
.
對任意實數(shù)，故函數(shù)不屬于集合.
【小問2詳解】
顯然函數(shù)的定義域為，
因為，可得：，
整理得.
即關于的方程有實數(shù)解.
當時，方程有實數(shù)解；
當時，由，得或.
綜上，的取值范圍是.
【小問3詳解】
由，得.
令.
當時，；
當時，.
根據(jù)零點存在定理，方程有實數(shù)解.
因此，對任意實數(shù)，函數(shù)均屬于集合.
21. 如圖，設橢圓為的左?右焦點，過點的直線與交于兩點.
（1）若橢圓的離心率為的周長為6，求橢圓的方程；
（2）求證：為定值；
（3）是否存在直線，使得為等腰直角三角形？若存在，求出的離心率的值，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率以及焦點三角形的周長即可求，
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)點點距離公式，結合韋達定理即可求解，
（3）分類討論直角，結合橢圓定義以及邊角關系，利用（2）的結論即可求解.
【小問1詳解】
設橢圓的焦距為.
由題意，，解得，
故橢圓的方程為.
【小問2詳解】
橢圓左焦點的坐標為.
當直線的斜率為0時，為定值.
當直線的斜率不為0時，設的方程為.
點的坐標為方程組的實數(shù)解，消，得.
于是有，異號，故.
為定值.
綜上，為定值.
【小問3詳解】
根據(jù)對稱性，若等腰直角三角形，只需考慮為直角或為直角.
設.
若為直角，由于,故軸，將代入橢圓方程中可得，解得，
則，,進而可得,故離心率；
若為直角，則，
可解得，，
由（2），，代入可得，
又
故離心率.
綜上，可以為等腰直角三角形，此時離心率為或
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關于的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
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