注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自已的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版必修第一冊，必修第二冊第一章第1節(jié)至第5節(jié).
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 下列各角中，與的終邊相同的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
3. 設(shè)，則（ ）
A. B.
C. D.
4. 某人用手機記錄了他連續(xù)10周每周的走路里程（單位：公里），其數(shù)據(jù)分別為,，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（ ）
A. 7B. 12C. 13D. 14
5. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，，且，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知甲袋中有標號分別為的四個小球，乙袋中有標號分別為的四個小球，這些球除標號外完全相同，第一次從甲袋中取出一個小球，第二次從乙袋中取出一個小球，事件表示“第一次取出的小球標號為3”，事件表示“第二次取出的小球標號為偶數(shù)”，事件表示“兩次取出的小球標號之和為7”，事件表示“兩次取出的小球標號之和為偶數(shù)”，則（ ）
A. 與相互獨立B. 與是對立事件
C. 與是對立事件D. 與相互獨立
8. 已知函數(shù)在上有且只有一個最大值點（即取得最大值對應的自變量），則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知角的終邊經(jīng)過點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
10. 已知是定義在上的函數(shù)，，且，則（ ）
A.
B. 是偶函數(shù)
C. 的最小值是1
D. 不等式的解集是
11. 某班語文老師對該班甲?乙?丙?丁4名同學連續(xù)7周每周閱讀的天數(shù)（每周閱讀天數(shù)可以是）進行統(tǒng)計，根據(jù)統(tǒng)計所得數(shù)據(jù)對這4名同學這7周每周的閱讀天數(shù)分別做了如下描述：
甲：中位數(shù)為3，眾數(shù)為5；
乙：中位數(shù)為4，極差為3；
丙：中位數(shù)為4，平均數(shù)為3；
?。浩骄鶖?shù)為3，方差為3.
那么可以判斷一周閱讀天數(shù)一定沒有出現(xiàn)7天的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 甲?乙兩人下象棋，已知甲獲勝概率是，平局的概率是，則乙獲勝的概率是__________.
13. 一扇環(huán)形磚雕如圖所示，該扇環(huán)形磚雕可視為扇形截去同心扇形所得的部分，已知分米，弧長為分米，弧長為分米，則______分米，此扇環(huán)形磚雕的面積為______平方分米.
14. 已知是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 某環(huán)保小組共有5名成員，其中男成員有2人，現(xiàn)從這5人中隨機選出3人去某社區(qū)進行環(huán)保宣傳.
（1）求所選的3人中恰有1名男成員的概率；
（2）求所選的3人中至少有2名女成員的概率.
16. 已知函數(shù).
（1）求單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求在上的值域.
17. 某校為了解該校高三年級學生的物理成績，從某次高三年級物理測試中隨機抽取名男生和名女生的測試試卷，記錄其物理成績（單位：分），得到如下數(shù)據(jù)：
名男生的物理成績分別為、、、、、、、、、、、；
名女生的物理成績分別為、、、、、、、.
（1）求這名男生物理成績平均分與方差；
（2）經(jīng)計算得這名女生物理成績平均分，方差，求這名學生物理成績的平均分與方差.
附：分層隨機抽樣的方差公式：，表示第層所占的比例.
18. 已知定義在上的奇函數(shù).
（1）求的值；
（2）證明：在上單調(diào)遞增；
（3）若對任意的，都有，求的最大值.
19. 已知函數(shù).
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3）若存在，使得，求的取值范圍.
高一年級2024年春季學期入學聯(lián)合檢測卷
數(shù)學
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自已的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版必修第一冊，必修第二冊第一章第1節(jié)至第5節(jié).
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 下列各角中，與的終邊相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用終邊相同的角的概念即可求出.
【詳解】因為，所以與的終邊相同，其他選項經(jīng)檢驗不合題意.
故選：C
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化簡集合A，再求交集.
【詳解】由題意可得，則.
故選：A
3. 設(shè)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知條件和不等式的性質(zhì)，分別判斷各選項中的結(jié)論是否正確．
【詳解】因，所以，則，則A選項錯誤；
因為，所以，又0，則，即，所以，即，則B選項正確；
當時，，則C選項錯誤；
因為，由B選項可知，所以，則D選項錯誤.
故選：B
4. 某人用手機記錄了他連續(xù)10周每周的走路里程（單位：公里），其數(shù)據(jù)分別為,，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（ ）
A. 7B. 12C. 13D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】先將數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，再利用百分位計算.
【詳解】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為.
因為，
則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是這組數(shù)據(jù)中的第6個和第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.
故選：C.
5. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合中間量即可比較大小.
【詳解】因為，
所以．
故選：D.
6. 已知，，且，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題干等式變形得出，可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因為且，，所以，
則，
當且僅當時，即當，時，等號成立.
因此，的最小值是.
故選：C.
7. 已知甲袋中有標號分別為的四個小球，乙袋中有標號分別為的四個小球，這些球除標號外完全相同，第一次從甲袋中取出一個小球，第二次從乙袋中取出一個小球，事件表示“第一次取出的小球標號為3”，事件表示“第二次取出的小球標號為偶數(shù)”，事件表示“兩次取出的小球標號之和為7”，事件表示“兩次取出的小球標號之和為偶數(shù)”，則（ ）
A. 與相互獨立B. 與是對立事件
C. 與是對立事件D. 與相互獨立
【答案】D
【解析】
【分析】利用互斥，對立，獨立事件的定義逐項判斷即可.
【詳解】由題意可得基本事件總數(shù)為，
設(shè)
，

由題意可得與可以同時發(fā)生，故不是對立事件，
易知與不同時發(fā)生，為互斥事件，但不是對立事件，比如還可以有發(fā)生，則錯誤.
，
則，
從而與不相互獨立，與相互獨立，故A錯誤，D正確.
故選：D
8. 已知函數(shù)在上有且只有一個最大值點（即取得最大值對應的自變量），則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)最值性質(zhì)列式求解即可.
【詳解】由，得，由題意可得，解得，
即的取值范圍是.
故選：B
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知角的終邊經(jīng)過點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)定義逐項求解判斷.
【詳解】由，得，解得（負值舍去），則正確.
由，得，則B，D正確.
由，得，解得，則錯誤.
故選：ABD
10. 已知是定義在上的函數(shù)，，且，則（ ）
A.
B. 偶函數(shù)
C. 的最小值是1
D. 不等式的解集是
【答案】BCD
【解析】
【分析】賦值法判斷ABC,利用單調(diào)性解不等式判斷D.
【詳解】對于A，令，得，解得或2.
因為，所以，則A錯誤.
對于BC，令，得，則，
從而是偶函數(shù)，且，故B，C正確.
對于D，因為是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，
所以不等式等價于，
所以，解得，則正確.
故選：BCD.
11. 某班語文老師對該班甲?乙?丙?丁4名同學連續(xù)7周每周閱讀的天數(shù)（每周閱讀天數(shù)可以是）進行統(tǒng)計，根據(jù)統(tǒng)計所得數(shù)據(jù)對這4名同學這7周每周的閱讀天數(shù)分別做了如下描述：
甲：中位數(shù)為3，眾數(shù)為5；
乙：中位數(shù)為4，極差為3；
丙：中位數(shù)為4，平均數(shù)為3；
丁：平均數(shù)為3，方差為3.
那么可以判斷一周閱讀天數(shù)一定沒有出現(xiàn)7天的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，極差的意義結(jié)合舉反例判斷ABC,計算方差并且討論求解.
【詳解】對于A，因為中位數(shù)為3，眾數(shù)為5，所以這7個數(shù)從小到大排列后，第4個數(shù)是3，所
以中一定有一個數(shù)出現(xiàn)2次，5出現(xiàn)3次，所以這7個數(shù)中一定沒有出現(xiàn)7，則正確.
對于B，因為中位數(shù)為4，極差為3，所以這7個數(shù)可以是，則B錯誤.
對于C，若出現(xiàn)1個7，則這7個數(shù)從小到大排列后，后4個數(shù)之和最小為19，前3個數(shù)之和最小為3，
從而這7個數(shù)的平均數(shù)最小為，即這7個數(shù)的平均數(shù)不可能為3，故C正確.
對于，設(shè)這7個數(shù)分別為，則，
.
若7，則
,
從而這6個數(shù)可能是或或
或或或或或
或或，這與矛盾，
即這7個數(shù)中一定沒有出現(xiàn)7，故D正確.
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點睛,本題考查數(shù)據(jù)的數(shù)字特征,關(guān)鍵是對D選項列舉所有可能值推出矛盾.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 甲?乙兩人下象棋，已知甲獲勝的概率是，平局的概率是，則乙獲勝的概率是__________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】利用對立事件概率求解.
【詳解】設(shè)事件表示“乙獲勝”，則，
則.
故答案為：.
13. 一扇環(huán)形磚雕如圖所示，該扇環(huán)形磚雕可視為扇形截去同心扇形所得的部分，已知分米，弧長為分米，弧長為分米，則______分米，此扇環(huán)形磚雕的面積為______平方分米.
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)弧長公式計算得，然后利用扇形面積公式求解磚雕面積即可.
【詳解】設(shè)圓心角，則，解得分米，所以分米，
則此扇環(huán)形磚雕的面積為平方分米.
故答案為：6，
14. 已知是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】函數(shù)分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種情況結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性列不等式求解.
【詳解】若在上單調(diào)遞增，則解得.
若在上單調(diào)遞減，則解得.
故的取值范圍是.
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 某環(huán)保小組共有5名成員，其中男成員有2人，現(xiàn)從這5人中隨機選出3人去某社區(qū)進行環(huán)保宣傳.
（1）求所選的3人中恰有1名男成員的概率；
（2）求所選的3人中至少有2名女成員的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）利用古典概型公式求解.
【小問1詳解】
由題意可知該環(huán)保小組女成員有3人，記為；男成員有2人，記為.
從5名成員隨機選出3人的情況有，共10種.
所選的3人中恰有1名男成員的情況有，共6種，
則所選的3人中恰有1名男成員的概率.
【小問2詳解】
所選的3人中至少有2名女成員的情況有，共7種，
則所選的3人中至少有2名女成員的概率.
16. 已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦函數(shù)單調(diào)性列不等式求單調(diào)增區(qū)間；
（2）整體換元法求值域.
小問1詳解】
令，
解得，
則的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】
因為，所以.
當，即時，
取得最小值；
當，即時，
取得最大值.
故在上的值域為.
17. 某校為了解該校高三年級學生的物理成績，從某次高三年級物理測試中隨機抽取名男生和名女生的測試試卷，記錄其物理成績（單位：分），得到如下數(shù)據(jù)：
名男生的物理成績分別為、、、、、、、、、、、；
名女生的物理成績分別為、、、、、、、.
（1）求這名男生物理成績的平均分與方差；
（2）經(jīng)計算得這名女生物理成績的平均分，方差，求這名學生物理成績的平均分與方差.
附：分層隨機抽樣的方差公式：，表示第層所占的比例.
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用平均數(shù)和方差公式可求得、的值；
（2）利用分層抽樣的平均數(shù)和方差公式可求得和的值.
【小問1詳解】
解：這名男生物理成績的平均分為，
方差為.
【小問2詳解】
解：這名學生物理成績的平均分為，
方差為
18. 已知定義在上的奇函數(shù).
（1）求的值；
（2）證明：在上單調(diào)遞增；
（3）若對任意的，都有，求的最大值.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）4
【解析】
【分析】（1）利用奇函數(shù)定義賦值得的方程組求解即可；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明；
（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在上恒成立求解.
【小問1詳解】
題意可得，解得.
因為，所以，解得.
經(jīng)驗證，符合題意.
【小問2詳解】
證明：由（1）可知.
任取，則.
因為，所以，則，即.
故在上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
不等式等價于.
因為為奇函數(shù)，所以.
因為在上單調(diào)遞增，所以，即.
因為，所以，
解得，即的最大值為4.
19. 已知函數(shù).
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3）若存在，使得，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用換元法可求得函數(shù)的解析式；
（2）利用二次不等式解法可得出不等式的解集；
（3）由已知可得出，令，，可得出，對實數(shù)的取值進行分類討論，求出函數(shù)在上的最大值，根據(jù)可求得實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
解：設(shè)，則.
因為，所以，
則.
【小問2詳解】
解：不等式，即，即，
則，解得，即不等式的解集為.
【小問3詳解】
解：因為，所以，
則不等式等價于不等式.
設(shè)，則函數(shù)，
故二次函數(shù)圖象的對稱軸方程為.
當時，即時，在上單調(diào)遞增，
則，解得，故符合題意；
當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，解得或，
故或符合題意；
當時，即時，在上單調(diào)遞減，
則，解得，故符合題意.
綜上，的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：“動軸定區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：
（1）根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時需要結(jié)合區(qū)間端點對應的函數(shù)值進行分析；
（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.

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