1.已知集合A={x|x2?3x?10≤0}，B={x||x|≥1}，則A∩B=( )
A. [?2,?1]B. [?2,?1]∪[1,5]C. (?2,?1)∪(1,5)D. R
2.在復平面內(nèi)，復數(shù)2+i1?i對應(yīng)的點位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
3.在等差數(shù)列{an}中，a2、a4是方程x2?3x?4=0的兩根，則a3的值為( )
A. 2B. 3C. ±2D. 32
4.已知空間向量a=(?1,2,?3)，b=(4,2,m)，若(a+b)⊥a，則m=( )
A. 143B. 133C. 113D. 173
5.已知橢圓的中心在原點，離心率e=12，且它的一個焦點與拋物線y2=?4x的焦點重合，則此橢圓方程為( )
A. x24+y23=1B. x28+y26=1C. x22+y2=1D. x24+y2=1
6.如圖，在四面體OABC中，AM=2MB，ON=NC且OA=a,OB=b,OC=c，用a,b,c表示NM，則NM等于( )
A. 13a+23b+12c
B. 23a+13b?12c
C. 13a+23b?12c
D. 23a+13b+12c
7.在△ABC中，AB=1，AC=5，csA2= 55，則BC=( )
A. 4 2B. 30C. 29D. 2 5
8.已知圓C ?1：x ?2+y ?2+4ax+4a 2?4=0和圓C ?2：x ?2+y ?2?2by+b ?2?1=0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則1a2+1b2的最小值為( )
A. 2B. 4C. 8D. 9
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.關(guān)于曲線y24+x|x|=1的以下描述，正確的是( )
A. 該曲線的范圍為：y∈R，x≤1
B. 該曲線既關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱
C. 該曲線與直線2x+y=0有兩個公共點
D. 該曲線上的點到坐標原點的距離的最小值為1
10.已知直線l1：x+my?1=0，l2：(m?2)x+3y+3=0，則下列說法正確的是( )
A. 若l1//l2，則m=?1或m=3B. 若l1//l2，則m=3
C. 若l1⊥l2，則m=?12D. 若l1⊥l2，則m=12
11.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且S6>S7>S5，則下列四個命題正確的是( )
A. d0
C. S12b>0)的離心率為 63，橢圓的長軸長為2 5．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線y=k(x+1)與橢圓C相交于A、B兩點，點M(?73,0)，求證：MA?MB為定值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：x2?3x?10≤0?(x?5)(x+2)≤0??2≤x≤5?A=[?2,5]．
|x|≥1?x2≥1?x≤?1或x≥1?B=(?∞,?1]?[1,+∞)，
則A?B=[?2,?1]∪[1,5]．
故選：B．
解相應(yīng)不等式化簡集合，后由交集的定義可得答案．
本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．
【解答】
解：在復平面內(nèi)，復數(shù)2+i1?i=(2+i)(1+i)(1?i)(1+i)
=1+3i2對應(yīng)的點(12,32)位于第一象限．
故選：A．
3.【答案】D
【解析】解：等差數(shù)列{an}中，a2、a4是方程x2?3x?4=0的兩根，
所以a2+a4=3，
所以a3=12(a2+a4)=32．
故選：D．
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和等差數(shù)列中項的性質(zhì)，即可求出a3的值．
本題考查了等差數(shù)列中項的性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
4.【答案】A
【解析】解：∵空間向量a=(?1,2,?3)，b=(4,2,m)，(a+b)⊥a，
∴(a+b)?a=a2+a?b=1+4+9+(?1×4+2×2?3×m)=0，
則m=143，
故選：A．
由題意，利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標形式的運算法則，計算求得m值．
本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標形式的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，以及求橢圓的標準方程的方法，屬于基礎(chǔ)題．
先求出焦點的坐標，再由離心率求得a，從而得到b2，寫出橢圓的標準方程．
【解答】
解：拋物線y2=?4x的焦點為(?1,0)，∴橢圓的焦點在x軸上且c=1，設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1，由離心率e=12，可得a=2，∴b2=a2?c2=3，故橢圓的標準方程為x24+y23=1．
故選：A．
6.【答案】C
【解析】解：因為AM=2MB，ON=NC，
所以AM=23AB，NC=12OC，
故NM=NC+CM=12OC+CA+AM=12OC+OA?OC+23AB=?12OC+OA+23OB?23OA=13OA+23OB?12OC=13a+23b?12c．
故選：C．
根據(jù)空間向量基本定理，用a,b,c表示出NM．
本題主要考查空間向量及其線性運算，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】A
【解析】解：csA2= 55，
則csA=2cs2A2?1=2×15?1=?35，
故BC 2=AB2+AC2?2AB?AC?csA=25+1?2×1×5×(?35)=32，解得BC=4 2．
故選：A．
根據(jù)已知條件，結(jié)合二倍角公式，先求出csA，再結(jié)合余弦定理，即可求解．
本題主要考查二倍角公式，以及余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)，圓的標準方程的特征，基本不等式的應(yīng)用，得到4a2+b2=1是解題的關(guān)鍵和難點，屬于基礎(chǔ)題．
由題意可得兩圓相內(nèi)切，根據(jù)兩圓的標準方程求出圓心和半徑，可得4a2+b2=1，再利用“1”的代換，使用基本不等式求得1a2+1b2的最小值．
【解答】
解：由題意可得兩圓相內(nèi)切，
兩圓的標準方程分別為(x+2a)2+y2=4，x2+(y?b)2=1，
圓心分別為(?2a,0)，(0,b)，
半徑分別為2和1，故有 4a2+b2=1，
∴4a2+b2=1，
∴1a2+1b2=(1a2+1b2)(4a2+b2)=5+b2a2+4a2b2≥5+4=9，
當且僅當b2a2=4a2b2時，等號成立，
∴1a2+1b2的最小值為9．
故選：D．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
先利用絕對值的定義進行分類討論去掉絕對值，得到曲線方程對應(yīng)的圖象，然后利用圖象對四個選項進行逐一分析判斷即可．
本題考查了曲線與方程的應(yīng)用，涉及了橢圓的標準方程以及雙曲線的標準方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用絕對值的定義去掉絕對值化簡曲線方程，屬于中檔題．
【解答】解：曲線y24+x|x|=1，
當x≥0時，曲線方程可化為y24+x2=1，此時曲線為橢圓的右半部分，
當xS7，得a7=S7?S6S5，得a6+a7>0，則a6>0，所以d=a7?a60，選項B正確；
S12=122(a1+a12)=6(a6+a7)>0，選項C不正確；
由于d0，a70，a70)，然后根據(jù)題意列方程可求出q，從而可求出an；
(2)由(1)可得bn=n+1，從而可證得{bn}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，進而可求出Sn．
本題考查等比數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的前n項和，考查運算求解能力，是中檔題．
18.【答案】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵a1=1，又a3+a7=18，
∴a1+2d+a1+6d=18，
解得d=2，
∴an=1+(n?1)×2=2n?1；
(2)由(1)可得bn=1(2n?1)(2n+1)=12(12n?1?12n+1)，
∴Tn=12(1?13)+12(13?15)+???+12(12n?1?12n+1)
=12(1?12n+1)=n2n+1．
【解析】(1)首先根據(jù)已知條件列方程求出d，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式求an即得；
(2)由題可得bn=12(12n?1?12n+1)，再利用裂項相消法求和即得．
本題考查等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，裂項求和法的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
19.【答案】解：(1)因為cacsB+bcsA=2csC，
所以sinCsinAcsB+sinBcsA=sinCsinC=1=2csC，
可得csC=12，
又C∈(0,π)，
所以C=π3；
(2)因為在△ABC中，csC=a2+b2?c22ab，
所以12=a2+b2?122ab①，
又S△ABC=S△ACD+S△BCD，

得：12absinπ3=12a?4 33?sinπ6+12b?4 33?sinπ6，
化簡得：ab=43(a+b)②，
由①②得：ab=8，
所以S△ABC=12absinC=2 3．
【解析】(1)由正弦邊角關(guān)系及已知得csC=12，即可得角C；
(2)由余弦定理得12=a2+b2?122ab，由S△ABC=S△ACD+S△BCD及面積公式得ab=43(a+b)，求得ab=8，進而應(yīng)用面積公式求面積．
本題主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
20.【答案】(1)證明：因為PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
則AC⊥PC，
因為AB=2，AD=CD=1，
則AC=BC= 2，
故AC 2+BC2=AB2，
所以AC⊥BC，
又BC∩PC=C，BC，PC?平面PBC，
則AC⊥平面PBC，
又AC?平面EAC，
故平面EAC⊥平面PBC；
(2)解：以點C為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，
則C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1,?1,0)，
設(shè)P(0,0,a)(a>0)，
則E(12,?12,a2)，
故CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=(12,?12,a2)，
設(shè)平面PAC的法向量為m=(x,y,z)，
則m?CA=0m?CP=0，即x+y=0az=0，
取x=1，則y=?1，
故m=(1,?1,0)，
設(shè)平面EAC的法向量為n=(p,q,r)，
則n?CA=0n?CE=0，即p+q=012p?12q+a2r=0，
令r=?2，則p=a，q=?a，
故n=(a,?a,?2)，
因為二面角P?AC?E的余弦值為 63，
所以|m?n||m||n|=a a2+2= 63，解得a=2，
故n=(2,?2,?2)，
所以PA=(1,1,?2)，
則|cs|=|PA?n||PA||n|=4 4+4+4× 1+1+4= 23，
故直線PA與平面EAC所成角的正弦值為 23．
【解析】(1)利用PC⊥平面ABCD，得到AC⊥PC，結(jié)合AC⊥BC，可證明AC⊥平面PBC，由面面垂直的判定定理證明即可；
(2)建立合適的空間直角坐標系，設(shè)P(0,0,a)(a>0)，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出平面PAC和平面ACE的法向量，由向量的夾角公式列式求解，求解a的值，然后再利用線面角的計算公式求解即可．
本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的應(yīng)用以及線面角的求解，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題．
21.【答案】解：(1)依題意ca= 632a=2 5a2=b2+c2，解得a= 5,b= 153,c= 303，
所以橢圓C的方程為x25+y253=1．
(2)證明：由于直線y=k(x+1)過定點(?1,0)，該點在橢圓C內(nèi)，
所以直線y=k(x+1)與橢圓C必有兩個交點，
由y=k(x+1)x25+y253=1，消去y并化簡得(1+3k2)x2+6k2x+3k2?5=0，
設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=?6k21+3k2,x1x2=3k2?51+3k2，MA?MB=(x1+73,y1)?(x2+73,y2)
=x1x2+73(x1+x2)+499+k(x1+1)?k(x2+1)
=x1x2+73(x1+x2)+k2x1x2+k2(x1+x2)+k2+499=3k2?51+3k2+73×?6k21+3k2+k23k2?51+3k2+k2×?6k21+3k2+k2+499
=?5?15k21+3k2+499=?5+499=49．
【解析】(1)根據(jù)已知條件求得a，b，c，由此求得橢圓C的方程．
(2)聯(lián)立直線y=k(x+1)的方程與橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，進而計算出MA?MB為定值．
本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．

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