（1）方案選擇問題
1． (2023?內(nèi)蒙古）某商店決定購進A、B兩種北京冬奧會紀念品．若購進A種紀念品10件，B種紀念品5件，需要1000元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品3件，需要550元．
（1）求購進A、B兩種紀念品的單價；
（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮市場需求，要求購進A種紀念品的數(shù)量不少于B種紀念品數(shù)量的6倍，且購進B種紀念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進貨方案？
（3）若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．
2． (2023?東莞市校級二模）某移動通訊公司推出兩種移動電話計費方式：
方式一：月租費60元，主叫150分鐘內(nèi)不再收費，超過限定時間的部分a元/分鐘；被叫免費．
方式二：月租費100元，主叫380分鐘內(nèi)不再收費，超過限定時間的部分0.25元/分鐘；被叫免費．
兩種方式的月計費y（單位：元）關于主叫時間t（單位：分鐘）的函數(shù)圖象如圖．
（1）求a的值；
（2）結合題意和函數(shù)圖象，分別求出函數(shù)圖象中，射線BC和射線EF對應的月計費y（單位：元）關于主叫時間t（單位：分鐘）的函數(shù)關系式，并寫出對應的t的取值范圍；
（3）通過計算，寫出當月主叫通話時間y（單位：分鐘）滿足什么條件時，選擇方式一省錢．
最大利潤問題
3． (2023?襄陽）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，我市某鎮(zhèn)鼓勵廣大農(nóng)戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產(chǎn)品、某經(jīng)銷商購進甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品進價為8元/kg；乙種產(chǎn)品的進貨總金額y（單位：元）與乙種產(chǎn)品進貨量x（單位：kg）之間的關系如圖所示．已知甲、乙兩種產(chǎn)品的售價分別為12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000時，y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）若該經(jīng)銷商購進甲、乙兩種產(chǎn)品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產(chǎn)品的進貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設銷售完甲、乙兩種產(chǎn)品所獲總利潤為w元（利潤＝銷售額﹣成本），請求出w（單位：元）與乙種產(chǎn)品進貨量x（單位：kg）之間的函數(shù)關系式，并為該經(jīng)銷商設計出獲得最大利潤的進貨方案；
（3）為回饋廣大客戶，該經(jīng)銷商決定對兩種產(chǎn)品進行讓利銷售．在（2）中獲得最大利潤的進貨方案下，甲、乙兩種產(chǎn)品售價分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤不低于15000元，求a的最大值．
4．某農(nóng)場的一個家電商場為了響應國家家電下鄉(xiāng)的號召，準備用不超過10.57萬元購進40臺電腦，其中A型電腦每臺進價2500元，B型電腦每臺進價2800元，A型每臺售價3000元，B型每臺售價3200元，預計銷售額不低于12.32萬元．設A型電腦購進x臺、商場的總利潤為y（元）．
（1）請你設計出進貨方案；
（2）求出總利潤y（元）與購進A型電腦x（臺）的函數(shù)關系式，并利用關系式說明哪種方案的利潤最大，最大利潤是多少元？
（3）行程問題
5． (2023?牡丹江）在一條平坦筆直的道路上依次有A，B，C三地，甲從B地騎電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到A地，到達A地后因故停留1分鐘，然后立即掉頭（掉頭時間忽略不計）按原路原速前往C地，結果乙比甲早2分鐘到達C地，兩人均勻速運動，如圖是兩人距B地路程y（米）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象．
請解答下列問題：
（1）填空：甲的速度為 米/分鐘，乙的速度為 米/分鐘；
（2）求圖象中線段FG所在直線表示的y（米）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）出發(fā)多少分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米？請直接寫出答案．
6． (2023?長春）已知A、B兩地之間有一條長440千米的高速公路．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，沿此公路相向而行，甲車先以100千米/時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，再以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時到達B地；乙車勻速行駛至A地，兩車到達各自的目的地后停止，兩車距A地的路程y（千米）與各自的行駛時間x（時）之間的函數(shù)關系如圖所示．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求兩車相遇后，甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)關系式；
（3）當乙車到達A地時，求甲車距A地的路程．
類型二 反比例函數(shù)的實際應用
7． (2023?廣州）某燃氣公司計劃在地下修建一個容積為V（V為定值，單位：m3）的圓柱形天然氣儲存室，儲存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示．
（1）求儲存室的容積V的值；
（2）受地形條件限制，儲存室的深度d需要滿足16≤d≤25，求儲存室的底面積S的取值范圍．
8． (2023?臺州）如圖，根據(jù)小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數(shù)，當x＝6時，y＝2．
（1）求y關于x的函數(shù)解析式．
（2）若火焰的像高為3cm，求小孔到蠟燭的距離．
類型三 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運用
9． (2023?臥龍區(qū)模擬）通過心理專家實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學課上聽課注意力指標指標）隨上課時間的變化而變化，指標達到36為認真聽講，學生注意力指標y隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示．當0≤x＜10和10≤x＜20時，圖象是線段，當20≤x≤45時是反比例函數(shù)的一部分．
（1）求點A對應的指標值．
（2）李老師在一節(jié)課上講一道數(shù)學綜合題需17分鐘，他能否經(jīng)過適當安排．使學生在認真聽講時，進行講解，請說明理由．
10． (2023秋?東平縣校級月考）教室里的飲水機接通電源就進入自動程序，開機加熱時每分鐘上升10℃，加熱到100℃停止加熱，水溫開始下降，此時水溫y（℃）與開機后用時x（min）成反比例關系，直至水溫降至30℃，飲水機關機，飲水機關機后即刻自動開機，重復上述自動程序．若在水溫為30℃時接通電源，水溫y（℃）與時間x（min）的關系如圖所示：
（1）分別寫出水溫上升和下降階段y與x之間的函數(shù)關系式并注明自變量的取值范圍；
（2）怡萱同學想喝高于50℃的水，請問她最多需要等待 min？
專題提優(yōu)訓練
1． (2023?淮安）當矩形面積一定時，下列圖象中能表示它的長y和寬x之間函數(shù)關系的是（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023?宜昌）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量m的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（單位：kPa）是氣體體積V（單位：m3）的反比例函數(shù)：p=mV，能夠反映兩個變量p和V函數(shù)關系的圖象是（ ）
A． B． C． D．
4． (2023?鄂州一模）已知A、B兩地之間有一條270千米的公路，甲、乙兩車同時出發(fā)，甲車以60千米/時的速度沿此公路從A地勻速開往B地，乙車從B地沿此公路勻速開往A地，兩車分別到達目的地后停止．甲、乙兩車相距的路程y（千米）與甲車的行駛時間x（時）之間的函數(shù)關系如圖所示．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）求甲、乙兩車相遇后y與x之間的函數(shù)關系式．
（3）當甲車到達距B地90千米處時，求甲、乙兩車之間的路程．
4． (2023春?孝感期末）民生超市計劃購進甲、乙兩種商品共90件進行銷售，有關信息如表，
設乙種商品有x（件），銷售完兩種商品的總銷售額為y（元）．
（1）求y與x的函數(shù)關系式；
（2）若購進乙種商品不超過45件，且該超市購進這兩種商品的總進貨費用不超過5000元．
①問共有多少種購進方案？
②直接寫出總利潤的最大值（總利潤＝總銷售額﹣總進貨費用）．
商品
甲
乙
進價（元/件）
60
50
售價（元/件）
100
100（其中一次性銷售超過20件時，超出部分每件再讓利20元）
專題08 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應用（解析版）
類型一 一次函數(shù)的實際應用
（1）方案選擇問題
1． (2023?內(nèi)蒙古）某商店決定購進A、B兩種北京冬奧會紀念品．若購進A種紀念品10件，B種紀念品5件，需要1000元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品3件，需要550元．
（1）求購進A、B兩種紀念品的單價；
（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮市場需求，要求購進A種紀念品的數(shù)量不少于B種紀念品數(shù)量的6倍，且購進B種紀念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進貨方案？
（3）若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．
思路引領：（1）設某商店購進A種紀念品每件需a元，購進B種紀念品每件需b元，根據(jù)條件建立二元一次方程組求出其解即可；
（2）設某商店購進A種紀念品x個，購進B種紀念品y個，根據(jù)條件的數(shù)量關系建立不等式組求出其解即可；
（3）設總利潤為W元，根據(jù)總利潤＝兩種商品的利潤之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求值即可．
解：（1）設該商店購進A種紀念品每件需a元，購進B種紀念品每件需b元，
由題意，得10a+5b=10005a+3b=550，
解得a=50b=100，
∴該商店購進A種紀念品每件需50元，購進B種紀念品每件需100元；
（2）設該商店購進A種紀念品x個，購進B種紀念品y個，
根據(jù)題意，得50x+100y＝10000，
由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，
把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，
∵y≥20，
∴20≤y≤25且為正整數(shù)，
∴y可取得的正整數(shù)值是20，21，22，23，24，25，
與y相對應的x可取得的正整數(shù)值是160，158，156，154，152，150，
∴共有6種進貨方案；
（3）設總利潤為W元，
則W＝20x+30y＝﹣10y+4000，
∵﹣10＜0，
∴W隨y的增大而減小，
∴當y＝20時，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），
∴當購進A種紀念品160件，B種紀念品20件時，可獲得最大利潤，最大利潤是3800元．
總結提升：本題考查了一次函數(shù)、一元一次不等式解實際問題的運用，解答時求出A，B兩種紀念品的單價是關鍵．
2． (2023?東莞市校級二模）某移動通訊公司推出兩種移動電話計費方式：
方式一：月租費60元，主叫150分鐘內(nèi)不再收費，超過限定時間的部分a元/分鐘；被叫免費．
方式二：月租費100元，主叫380分鐘內(nèi)不再收費，超過限定時間的部分0.25元/分鐘；被叫免費．
兩種方式的月計費y（單位：元）關于主叫時間t（單位：分鐘）的函數(shù)圖象如圖．
（1）求a的值；
（2）結合題意和函數(shù)圖象，分別求出函數(shù)圖象中，射線BC和射線EF對應的月計費y（單位：元）關于主叫時間t（單位：分鐘）的函數(shù)關系式，并寫出對應的t的取值范圍；
（3）通過計算，寫出當月主叫通話時間y（單位：分鐘）滿足什么條件時，選擇方式一省錢．
思路引領：（1）利用待定系數(shù)法可求出BC的解析式，再根據(jù)“方式一”的計費方式，也可求得BC的解析式，比較系數(shù)即可．
（2）根據(jù)兩種計費方式可求出射線BC和射線EF對應的月計費y（單位：元）關于主叫時間t（單位：分鐘）的函數(shù)關系式．
（3）根據(jù)（2）所求即可得出結論．
解：（1）由題圖可知，M（350，100），
設BC所在直線為y＝kt+b，
把B（150，60），M（350，100）代入，
得：150k+b=60350k+b=100，
解得：k=15b=30．
∴y=15t+30（t≥150）．
當t＞150時，y＝a（t﹣150）+60＝at+60﹣150a，
∴a＝0.2．
（2）由（1）可知射線BC對應的月計費y關于主叫時間t的關系式為，
y1＝0.2t+30，t≥150min，
又∵方式二中超過限定時間的部分0.25元/分鐘，
∴y2＝0.25（t﹣380）+100＝0.25t+5．
∴射線EF對應的月計費y關于主叫時間t的關系式為，
y2＝0.25t+5，t≥380min．
（3）①0≤t≤150min時，y1＝60＜y2＝100；
②150≤t≤350min時，y1＝0.2t+30＜y2＝100；
③t≥500min時，y1＝0.2t+30＜y2＝0.25t+5．
綜上所述，通話時間0≤t≤350min或t≥500min時，方式一省錢．
總結提升：考查了一元一次不等式的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．
最大利潤問題
3． (2023?襄陽）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，我市某鎮(zhèn)鼓勵廣大農(nóng)戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產(chǎn)品、某經(jīng)銷商購進甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品進價為8元/kg；乙種產(chǎn)品的進貨總金額y（單位：元）與乙種產(chǎn)品進貨量x（單位：kg）之間的關系如圖所示．已知甲、乙兩種產(chǎn)品的售價分別為12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000時，y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）若該經(jīng)銷商購進甲、乙兩種產(chǎn)品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產(chǎn)品的進貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設銷售完甲、乙兩種產(chǎn)品所獲總利潤為w元（利潤＝銷售額﹣成本），請求出w（單位：元）與乙種產(chǎn)品進貨量x（單位：kg）之間的函數(shù)關系式，并為該經(jīng)銷商設計出獲得最大利潤的進貨方案；
（3）為回饋廣大客戶，該經(jīng)銷商決定對兩種產(chǎn)品進行讓利銷售．在（2）中獲得最大利潤的進貨方案下，甲、乙兩種產(chǎn)品售價分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤不低于15000元，求a的最大值．
思路引領：（1）分當0≤x≤2000時，當x＞2000時，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)題意可知，分當1600≤x≤2000時，當2000＜x≤4000時，分別列出w與x的函數(shù)關系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結論；
（3）根據(jù)題意可知，降價后，w與x的關系式，并根據(jù)利潤不低于15000，可得出a的取值范圍．
解：（1）當0≤x≤2000時，設y＝k′x，根據(jù)題意可得，2000k′＝30000，
解得k′＝15，
∴y＝15x；
當x＞2000時，設y＝kx+b，
根據(jù)題意可得，2000k+b=300004000k+b=56000，
解得k=13b=4000，
∴y＝13x+4000．
∴y=15x(0≤x≤2000)13x+4000(x＞2000)．
（2）根據(jù)題意可知，購進甲種產(chǎn)品（6000﹣x）千克，
∵1600≤x≤4000，
當1600≤x≤2000時，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）?x＝﹣x+24000，
∵﹣1＜0，
∴當x＝1600時，w的最大值為﹣1×1600+24000＝22400（元）；
當2000＜x≤4000時，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，
∵1＞0，
∴當x＝4000時，w的最大值為4000+20000＝24000（元），
綜上，w=?x+24000(1600≤x≤2000)x+20000(2000＜x≤4000)；
當購進甲產(chǎn)品2000千克，乙產(chǎn)品4000千克時，利潤最大為24000元．
（3）根據(jù)題意可知，降價后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a，
當x＝4000時，w取得最大值，
∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．
∴a的最大值為0.9．
總結提升：本題考查了一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出函數(shù)關系式．
4．某農(nóng)場的一個家電商場為了響應國家家電下鄉(xiāng)的號召，準備用不超過10.57萬元購進40臺電腦，其中A型電腦每臺進價2500元，B型電腦每臺進價2800元，A型每臺售價3000元，B型每臺售價3200元，預計銷售額不低于12.32萬元．設A型電腦購進x臺、商場的總利潤為y（元）．
（1）請你設計出進貨方案；
（2）求出總利潤y（元）與購進A型電腦x（臺）的函數(shù)關系式，并利用關系式說明哪種方案的利潤最大，最大利潤是多少元？
思路引領：（1）設A型電腦購進x臺，則B型電腦購進（40﹣x）臺，根據(jù)總進價不超過105700元和銷售額不低于123200元建立不等式組，求出其解即可；
（2）根據(jù)利潤等于售價﹣進價的數(shù)量關系分別表示出購買A型電腦的利潤和B型電腦的利潤就求其和就可以得出結論．
解：（1）設A型電腦購進x臺，則B型電腦購進（40﹣x）臺，由題意，得
2500x+2800(40?x)≤1057003000x+3200(40?x)≥123200，
解得：21≤x≤24，
∵x為整數(shù)，
∴x＝21，22，23，24
∴有4種購買方案：
方案1：購A型電腦21臺，B型電腦19臺；
方案2：購A型電腦22臺，B型電腦18臺；
方案3：購A型電腦23臺，B型電腦17臺；
方案4：購A型電腦24臺，B型電腦16臺；
（2）由題意，得
y＝（3000﹣2500）x+（3200﹣2800）（40﹣x），
＝500x+16000﹣400x，
＝100x+16000．
∵k＝100＞0，
∴y隨x的增大而增大，
∴x＝24時，y最大＝18400元．
答：采用方案4，即購A型電腦24臺，B型電腦16臺的利潤最大，最大利潤是18400元．
總結提升：此題考查一次函數(shù)的應用以及一元一次不等式組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．
（3）行程問題
5． (2023?牡丹江）在一條平坦筆直的道路上依次有A，B，C三地，甲從B地騎電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到A地，到達A地后因故停留1分鐘，然后立即掉頭（掉頭時間忽略不計）按原路原速前往C地，結果乙比甲早2分鐘到達C地，兩人均勻速運動，如圖是兩人距B地路程y（米）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象．
請解答下列問題：
（1）填空：甲的速度為 米/分鐘，乙的速度為 米/分鐘；
（2）求圖象中線段FG所在直線表示的y（米）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）出發(fā)多少分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米？請直接寫出答案．
思路引領：（1）利用速度＝路程÷時間，找準甲乙的路程和時間即可得出結論；
（2）根據(jù)（1）中的計算可得出點G的坐標，設直線FG的解析式為：y＝kx+b，將F，G的坐標代入，求解方程組即可；
（3）根據(jù)題意可知存在三種情況，然后分別計算即可．
解：（1）根據(jù)題意可知D（1，800），E（2，800），
∴乙的速度為：800÷1＝800（米/分鐘），
∴乙從B地到C地用時：2400÷800＝3（分鐘），
∴G（6，2400）．
∴H（8，2400）．
∴甲的速度為2400÷8＝300（米/分鐘），
故答案為：300；800；
（2）設直線FG的解析式為：y＝kx+b（k≠0），且由圖象可知F（3，0），
由（1）知G（6，2400）．
∴3k+b=06k+b=2400，
解得，k=800b=?2400．
∴直線FG的解析式為：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）由題意可知，AB相距800米，BC相距2400米．
∵O（0，0），H（8，2400），
∴直線OH的解析式為：y＝300x，
∵D（1，800），
∴直線OD的解析式為：y＝800x，
當0≤x≤1時，甲從B地騎電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到A地，即甲乙朝相反方向走，
∴令800x+300x＝600，解得x=611．
∵當2≤x≤3時，甲從B繼續(xù)往C地走，乙從A地往B地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600解得x=185（不合題意，舍去）
∵當x＞3時，甲從B繼續(xù)往C地走，乙從B地往C地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，
解得x=185或x＝6．
綜上，出發(fā)611分鐘或185分鐘或6分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米．
總結提升：本題考查一次函數(shù)的應用、路程＝速度×時間的關系等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，將圖象中的信息轉(zhuǎn)化為實際行程問題，屬于中考?？碱}型．
6． (2023?長春）已知A、B兩地之間有一條長440千米的高速公路．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，沿此公路相向而行，甲車先以100千米/時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，再以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時到達B地；乙車勻速行駛至A地，兩車到達各自的目的地后停止，兩車距A地的路程y（千米）與各自的行駛時間x（時）之間的函數(shù)關系如圖所示．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求兩車相遇后，甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)關系式；
（3）當乙車到達A地時，求甲車距A地的路程．
思路引領：（1）由甲車先以100千米/時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇可求出m＝2，根據(jù)以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時到達B地知n＝6；
（2）用待定系數(shù)法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所用時間，即可求得甲車距A地的路程為300千米．
解：（1）由題意知：m＝200÷100＝2，
n＝m+4＝2+4＝6，
故答案為：2，6；
（2）設y＝kx+b，將（2，200），（6，440）代入得：
2k+b=2006k+b=440，
解得k=60b=80，
∴y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）乙車的速度為（440﹣200）÷2＝120（千米/小時），
∴乙車到達A地所需時間為440÷120=113（小時），
當x=113時，y＝60×113+80＝300，
∴甲車距A地的路程為300千米．
總結提升：本題考查一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能正確識圖．
類型二 反比例函數(shù)的實際應用
7． (2023?廣州）某燃氣公司計劃在地下修建一個容積為V（V為定值，單位：m3）的圓柱形天然氣儲存室，儲存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示．
（1）求儲存室的容積V的值；
（2）受地形條件限制，儲存室的深度d需要滿足16≤d≤25，求儲存室的底面積S的取值范圍．
思路引領：（1）設底面積S與深度d的反比例函數(shù)解析式為S=Vd，把點（20，500）代入解析式求出V的值；
（2）由d的范圍和圖像的性質(zhì)求出S的范圍．
解：（1）設底面積S與深度d的反比例函數(shù)解析式為S=Vd，把點（20，500）代入解析式得500=V20，
∴V＝10000．
（2）由（1）得S=10000d，
∵S隨d的增大而減小，
∴當16≤d≤25時，400≤S≤625，
總結提升：此題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)和概念，解答此題的關鍵是找出變量之間的函數(shù)關系，難易程度適中．
8． (2023?臺州）如圖，根據(jù)小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數(shù)，當x＝6時，y＝2．
（1）求y關于x的函數(shù)解析式．
（2）若火焰的像高為3cm，求小孔到蠟燭的距離．
思路引領：（1）根據(jù)待定法得出反比例函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)解析式代入數(shù)值解答即可．
解：（1）由題意設：y=kx，
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
∴y關于x的函數(shù)解析式為：y=12x；
（2）把y＝3代入y=12x，得，x＝4，
∴小孔到蠟燭的距離為4cm．
總結提升：此題考查反比例函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)待定系數(shù)法得出反比例函數(shù)的解析式解答．
類型三 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運用
9． (2023?臥龍區(qū)模擬）通過心理專家實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學課上聽課注意力指標指標）隨上課時間的變化而變化，指標達到36為認真聽講，學生注意力指標y隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示．當0≤x＜10和10≤x＜20時，圖象是線段，當20≤x≤45時是反比例函數(shù)的一部分．
（1）求點A對應的指標值．
（2）李老師在一節(jié)課上講一道數(shù)學綜合題需17分鐘，他能否經(jīng)過適當安排．使學生在認真聽講時，進行講解，請說明理由．
思路引領：（1）設反比例函數(shù)的解析式為y=kx，由C（20，45）求出k，可得D坐標，從而求出A的指標值；
（2）求出AB解析式，得到y(tǒng)≥36時，x≥325，由反比例函數(shù)y=900x可得y≥36時，x≤25，根據(jù)25?325=935＞17，即可得到答案．
解：（1）設當20≤x≤45時，反比例函數(shù)的解析式為y=kx，將C（20，45）代入得：
45=k20，
解得k＝900，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=900x，
當x＝45時，y＝20，
∴D（45，20），
∴A（0，20），
即A對應的指標值為20；
（2）設當0≤x＜10時，AB的解析式為y＝mx+n，將A（0，20）、B（10，45）代入得：
20=n45=10m+n，
解得m=52n=20，
∴AB的解析式為y=52x+20，
當y≥36時，52x+20≥36，解得x≥325，
由（1）得反比例函數(shù)的解析式為y=900x，
當y≥36時，900x≥36，解得x≤25，
∴325≤x≤25時，注意力指標都不低于36，
∵指標達到36為認真聽講，
而25?325=935＞17，
∴李老師能經(jīng)過適當?shù)陌才?，使學生在認真聽講時，進行講解．
總結提升：本題考查函數(shù)圖象的應用，涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)及不等式等知識，解題的關鍵是求出0≤x＜10和20≤x≤45時的解析式．
10． (2023秋?東平縣校級月考）教室里的飲水機接通電源就進入自動程序，開機加熱時每分鐘上升10℃，加熱到100℃停止加熱，水溫開始下降，此時水溫y（℃）與開機后用時x（min）成反比例關系，直至水溫降至30℃，飲水機關機，飲水機關機后即刻自動開機，重復上述自動程序．若在水溫為30℃時接通電源，水溫y（℃）與時間x（min）的關系如圖所示：
（1）分別寫出水溫上升和下降階段y與x之間的函數(shù)關系式并注明自變量的取值范圍；
（2）怡萱同學想喝高于50℃的水，請問她最多需要等待 min？
思路引領：（1）根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以求得a的值；根據(jù)函數(shù)圖象和題意可以求得y關于x的函數(shù)關系式，注意函數(shù)圖象是循環(huán)出現(xiàn)的；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式可以解答本題．
解：（1）觀察圖象，可知：當x＝7（min）時，水溫y＝100（℃），
當0≤x≤7時，設y關于x的函數(shù)關系式為：y＝kx+b，
b=307k+b=100，
解得k=10b=30，
即當0≤x≤7時，y關于x的函數(shù)關系式為y＝10x+30，
當x＞7時，設y=ax，
100=a7，得a＝700，
即當x＞7時，y關于x的函數(shù)關系式為y=700x，
當y＝30時，x=703，
∴y與x的函數(shù)關系式為：y=10x+30(0≤x≤7)700x(7＜x≤703)，y與x的函數(shù)關系式每703分鐘重復出現(xiàn)一次；
（2）將y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，
將y＝50代入y=700x，得x＝14，
∵14﹣2＝12，703?12=343，
∴怡萱同學想喝高于50℃的水，她最多需要等待343min，
故答案為：343．
總結提升：本題考查反比例函數(shù)的應用、一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想和函數(shù)的思想解答．
專題提優(yōu)訓練
1． (2023?淮安）當矩形面積一定時，下列圖象中能表示它的長y和寬x之間函數(shù)關系的是（ ）
A．B．
C．D．
思路引領：根據(jù)題意得到xy＝矩形面積（定值），故y與x之間的函數(shù)圖象為反比例函數(shù)，且根據(jù)x、y實際意義x、y應＞0，其圖象在第一象限；于是得到結論．
解：∵根據(jù)題意xy＝矩形面積（定值），
∴y是x的反比例函數(shù)，（x＞0，y＞0）．
故選：B．
總結提升：本題考查了反比例函數(shù)的應用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系，然后利用實際意義確定其所在的象限．
2． (2023?宜昌）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量m的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（單位：kPa）是氣體體積V（單位：m3）的反比例函數(shù)：p=mV，能夠反映兩個變量p和V函數(shù)關系的圖象是（ ）
A．B．
C．D．
思路引領：直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，結合p，V的取值范圍得出其函數(shù)圖象分布在第一象限，即可得出答案．
解：∵氣球內(nèi)氣體的氣壓p（單位：kPa）是氣體體積V（單位：m3）的反比例函數(shù)：p=mV（V，p都大于零），
∴能夠反映兩個變量p和V函數(shù)關系的圖象是：．
故選：B．
總結提升：此題主要考查了反比例函數(shù)的應用，正確掌握反比例函數(shù)圖象分布規(guī)律是解題關鍵．
3． (2023?鄂州一模）已知A、B兩地之間有一條270千米的公路，甲、乙兩車同時出發(fā)，甲車以60千米/時的速度沿此公路從A地勻速開往B地，乙車從B地沿此公路勻速開往A地，兩車分別到達目的地后停止．甲、乙兩車相距的路程y（千米）與甲車的行駛時間x（時）之間的函數(shù)關系如圖所示．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）求甲、乙兩車相遇后y與x之間的函數(shù)關系式．
（3）當甲車到達距B地90千米處時，求甲、乙兩車之間的路程．
思路引領：（1）根據(jù)圖象可知兩車2小時后相遇，根據(jù)路程和為270千米即可求出乙車的速度；然后根據(jù)“路程、速度、時間”的關系確定a、b的值；
（2）運用待定系數(shù)法解得即可；
（3）求出甲車到達距B地90千米處時行駛的時間，代入（2）的結論解答即可．
解：（1）乙車的速度為：（270﹣60×2）÷2＝75千米/時，
a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．
故答案為：3.6；4.5；
（2）60×3.6＝216（千米），
當2＜x≤3.6時，設y＝kx+b，根據(jù)題意得：
2k+b=03.6k+b=216，解得k=135b=?270，
∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；
當3.6＜x≤4.5時，y＝60x，
∴y=135x?270(2＜x≤3.6)60x(3.6＜x≤4.5)．
（3）∵甲車到達距B地90千米處時，x=270?9060=3，
∴將x＝3代入y＝135x﹣270，
得y＝135×3﹣270＝135，
即當甲車到達距B地90千米處時，甲、乙兩車之間的路程是135千米．
總結提升：本題考查一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結合的思想解答．
4． (2023春?孝感期末）民生超市計劃購進甲、乙兩種商品共90件進行銷售，有關信息如表，
設乙種商品有x（件），銷售完兩種商品的總銷售額為y（元）．
（1）求y與x的函數(shù)關系式；
（2）若購進乙種商品不超過45件，且該超市購進這兩種商品的總進貨費用不超過5000元．
①問共有多少種購進方案？
②直接寫出總利潤的最大值（總利潤＝總銷售額﹣總進貨費用）．
思路引領：（1）分兩種情況：當0≤x≤20時和當20＜x≤90時，分別根據(jù)已知列出函數(shù)關系式即可；
（2）①由購進乙種商品不超過45件，且該超市購進這兩種商品的總進貨費用不超過5000元，得x≤4560(90?x)+50x≤5000，即可解得共有6種購進方案；
②設總利潤為w元，可得w＝（﹣20x+9400）﹣[60（90﹣x）+50x]＝﹣10x+4000，由一次函數(shù)性質(zhì)可得總利潤的最大值是3600元．
解：（1）當0≤x≤20時，y＝100（90﹣x）+100x＝9000，
當20＜x≤90時，y＝100（90﹣x）+20×100+（100﹣20）×（x﹣20）＝﹣20x+9400，
∴y=9000(0≤x≤20)?20x+9400(20＜x≤90)；
（2）①∵購進乙種商品不超過45件，且該超市購進這兩種商品的總進貨費用不超過5000元，
∴x≤4560(90?x)+50x≤5000，
解得40≤x≤45，
∵x是整數(shù)，
∴x可取40，41，42，43，44，45，
∴共有6種購進方案；
②設總利潤為w元，
∵40≤x≤45，
∴總銷售額y＝﹣20x+9400，
∴w＝（﹣20x+9400）﹣[60（90﹣x）+50x]＝﹣10x+4000，
∵﹣10＜0，
∴w隨x的增大而減小，
∴x＝40時，w取最大值，最大值為﹣10×40+4000＝3600（元），
答：總利潤的最大值是3600元．
總結提升：本題考查一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關系式．商品
甲
乙
進價（元/件）
60
50
售價（元/件）
100
100（其中一次性銷售超過20件時，超出部分每件再讓利20元）

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