類型一 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用
1． (2023?蓬江區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)y=?8x的圖象交于A，B（﹣2，a）兩點，過原點O的另一條直線l與雙曲線y=kx交于P，Q兩點（Q點在第四象限），若以點A，B，P，Q為頂點的四邊形面積為24，則點P的坐標是 ．

第1題圖 第2題圖
2． (2023?荊州中考）邊長為1的8個正方形如圖擺放在直角坐標系中，直線y＝k1x平分這8個正方形所組成的圖形的面積，交其中兩個正方形的邊于A，B兩點，過B點的雙曲線y=k2x的一支交其中兩個正方形的邊于C，D兩點，連接OC，OD，CD，則S△OCD＝ ．
類型二 反比例函數(shù)與二次函數(shù)的綜合運用
3． (2023秋?賽罕區(qū)校級期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)y=ax與一次函數(shù)y＝﹣cx+b在同一平面直角坐標系內的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
4．（遂寧中考）如圖，已知拋物線y＝ax2﹣4x+c（a≠0）與反比例函數(shù)y=9x的圖象相交于點B，且B點的橫坐標為3，拋物線與y軸交于點C（0，6），A是拋物線y＝ax2﹣4x+c的頂點，P點是x軸上一動點，當PA+PB最小時，P點的坐標為 ．
類型三 反比例函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)的綜合運用
5． (2023?棗莊模擬）在平面直角坐標系xOy中，對于橫、縱坐標相等的點稱為“好點”給出下列函數(shù)①y＝﹣x；②y=2x；③y＝x+2；④y＝x2﹣2x．其圖象中不存在“好點”的函數(shù)個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
6． (2023?平原縣模擬）在下列函數(shù)圖象上任取不同兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立的是（ ）
A．y＝﹣3x+1B．y＝﹣x2﹣2x﹣3（x＜1）
C．y＝﹣x2+4x+1（x＜0）D．y=?6x
7．（宜昌中考）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OADB的頂點A，B的坐標分別為A（﹣6，0），B（0，4）．過點C（﹣6，1）的雙曲線y=kx（k≠0）與矩形OADB的邊BD交于點E．
（1）填空：OA＝ ，k＝ ，點E的坐標為 ；
（2）當1≤t≤6時，經(jīng)過點M（t﹣1，?12t2+5t?32）與點N（﹣t﹣3，?12t2+3t?72）的直線交y軸于點F，點P是過M，N兩點的拋物線y=?12x2+bx+c的頂點．
①當點P在雙曲線y=kx上時，求證：直線MN與雙曲線y=kx沒有公共點；
②當拋物線y=?12x2+bx+c與矩形OADB有且只有三個公共點，求t的值；
③當點F和點P隨著t的變化同時向上運動時，求t的取值范圍，并求在運動過程中直線MN在四邊形OAEB中掃過的面積．
專題提優(yōu)訓練
1． (2023春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級月考）下列各曲線中不能表示y是x的函數(shù)是（ ）
A．B．C． D．
2． (2023秋?蕭山區(qū)期中）已知點A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一個函數(shù)的圖象上，則這個函數(shù)可能是（ ）
A．y＝xB．y=?2xC．y＝x2D．y＝﹣x2
3． (2023秋?雞西期末）已知一次函數(shù)y＝2x﹣3與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于點P（a﹣2，3），則k＝ ．
4． (2023?成華區(qū)）如圖，直線y=3x﹣8交x軸于點A，交y軸于點B，點C是反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象上位于直線AB上方的一點，CD∥x軸交AB于點D，CE⊥CD交AB于點E，若AD?BE＝4，則k的值為 ．
5． (2023秋?興義市期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則一次函數(shù)y＝ax+b和反比例函數(shù)y=cx的圖象為（ ）
A．B．C．D．
6． (2023秋?龍灣區(qū)期中）如圖，拋物線y＝ax2+4x+c（a≠0）與反比例函數(shù)y=5x的圖象相交于點B，且點B的橫坐標為5，拋物線與y軸交于點C（0，6），A是拋物線的頂點，P和Q分別是x軸和y軸上的兩個動點，則AQ+QP+PB的最小值為 ．
7． (2023秋?沙坪壩區(qū)校級月考）閱讀材料：在平面直角坐標系中，我們把橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的點稱為“星之點”，例如：點（1，﹣1），（2，﹣2），（2，?2）都是“星之點”，顯然“星之點“有無數(shù)個，我們知道關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式x=?b±b2?4ac2a，故有x1=?b+b2?4ac2a，x2=?b?b2?4ac2a
兩根之和x1+x2=?b+b2?4ac2a+?b?b2?4ac2a=?ba
兩根之積x1x2＝（?b+b2?4ac2a）?（?b?b2?4ac2a）=ca
根據(jù)以上信息，回答下列的問題：
（1）若點P（?3，m）是反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象上的”星之點”，求這個反比例函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)y＝4kx+s﹣2（k，s為常數(shù)）的圖象上存在“星之點”嗎？若存在，請求出“星之點”的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a、b是常數(shù)，且a＞0）的圖象上存在兩個“星之點”A（x1，﹣x1），B（x2，﹣x2），且滿足﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2+2b+15748，試求t的取值范圍．
專題11 反比例函數(shù)與一次函數(shù)二次函數(shù)的綜合運用（解析版）
第一部分 典例剖析
類型一 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用
1． (2023?蓬江區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)y=?8x的圖象交于A，B（﹣2，a）兩點，過原點O的另一條直線l與雙曲線y=kx交于P，Q兩點（Q點在第四象限），若以點A，B，P，Q為頂點的四邊形面積為24，則點P的坐標是 ．
思路引領：先將B（﹣2，a）代入y=?8x，可得出a＝4，求得點B（﹣2，4），再根據(jù)點A與B關于原點對稱，得出A點坐標，由于雙曲線是關于原點的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點的四邊形應該是平行四邊形，那么△POB的面積就應該是四邊形面積的四分之一即6．可根據(jù)雙曲線的解析式設出P點的坐標，然后表示出△POB的面積，由于△POB的面積為6，由此可得出關于P點橫坐標的方程，即可求出P點的坐標．
解：∵B（﹣2，a）在反比例函數(shù)y=?8x的圖象上，
∴a=?8?2=4，
∴點B（﹣2，4），
∵點A與B關于原點對稱，
∴A點坐標為（2，﹣4），
∵反比例函數(shù)圖象是關于原點O的中心對稱圖形，
∴OP＝OQ，OA＝OB，
∴四邊形AQBP是平行四邊形，
∵OP＝OQ，OA＝OB，
∴S△POA＝S△QOA，S△POB＝S△QOB，S△POB＝S△POA，S△AOQ＝S△BOQ，
∴S△POA＝S△QOA＝S△QOB＝S△POB=14S平行四邊形AQBP，
∴S△POB＝S平行四邊形AQBP×14=14×24＝6，
設點P的橫坐標為m（m＜0且m≠﹣2），
得P（m，?8m），
過點P、B分別做x軸的垂線，垂足為M、N，
∵點P、B在雙曲線上，
∴S△POM＝S△BON＝4，
若m＜﹣2，如圖1，
∵S△BON+S梯形PMNB＝S△POB+S△POM，
∴S梯形PMNB＝S△POB＝6．
∴12（4?8m）?（﹣2﹣m）＝6．
∴m1＝﹣4，m2＝1（舍去），
∴P（﹣4，2）；
若﹣2＜m＜0，如圖2，
∵S△POM+S梯形BNMP＝S△BOP+S△BON，
∴S梯形BNMP＝S△POB＝6．
∴12（4?8m）?（m+2）＝6，
解得m1＝﹣1，m2＝4（舍去），
∴P（﹣1，8）．
∴點P的坐標是P（﹣4，2）或P（﹣1，8），
故答案為（﹣4，2）或（﹣1，8）．
總結提升：本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)y=kx中k的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．利用數(shù)形結合的思想，求得三角形的面積．
2． (2023?荊州）邊長為1的8個正方形如圖擺放在直角坐標系中，直線y＝k1x平分這8個正方形所組成的圖形的面積，交其中兩個正方形的邊于A，B兩點，過B點的雙曲線y=k2x的一支交其中兩個正方形的邊于C，D兩點，連接OC，OD，CD，則S△OCD＝ ．
思路引領：設A（4，t），利用面積法得到12×4×t＝4+1，解方程得到A（4，52），利用待定系數(shù)法求出直線解析式為y=58x，再確定B（2，54），接著利用待定系數(shù)法確定雙曲線的解析式為y=52x，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出C（54，2），D（3，56），然后用一個矩形的面積分別減去三個三角形的面積計算S△OCD．
解：設A（4，t），
∵直線y＝k1x平分這8個正方形所組成的圖形的面積，
∴12×4×t＝4+1，解得t=52，
∴A（4，52），
把A（4，52）代入直線y＝k1x得4k1=52，解得k1=58，
∴直線解析式為y=58x，
當x＝2時，y=58x=54，則B（2，54），
∵雙曲線y=k2x經(jīng)過點B，
∴k2＝2×54=52，
∴雙曲線的解析式為y=52x=52x，
當y＝2時，52x=2，解得x=54，則C（54，2）；
當x＝3時，y=52x=56，則D（3，56），
∴S△OCD＝3×2?12×3×56?12×2×54?12（2?56）×（3?54）=11948．
故答案為11948．
總結提升：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
類型二 反比例函數(shù)與二次函數(shù)的綜合運用
3． (2023秋?賽罕區(qū)校級期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)y=ax與一次函數(shù)y＝﹣cx+b在同一平面直角坐標系內的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
思路引領：首先根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸的交點可得c＞0，根據(jù)拋物線開口向下可得a＜0，由對稱軸在y軸右邊可得a、b異號，故b＞0，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質與一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系畫出圖象可得答案．
解：根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸的交點可得c＞0，根據(jù)拋物線開口向下可得a＜0，由對稱軸在y軸右邊可得a、b異號，故b＞0，
則反比例函數(shù)y=ax的圖象在第二、四象限，
一次函數(shù)y＝﹣cx+b經(jīng)過第一、二、四象限，
故選：C．
總結提升：此題主要考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，關鍵是根據(jù)二次函數(shù)圖象確定出a、b、c的符號．
4．（遂寧中考）如圖，已知拋物線y＝ax2﹣4x+c（a≠0）與反比例函數(shù)y=9x的圖象相交于點B，且B點的橫坐標為3，拋物線與y軸交于點C（0，6），A是拋物線y＝ax2﹣4x+c的頂點，P點是x軸上一動點，當PA+PB最小時，P點的坐標為 ．
思路引領：根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后求出點B的坐標，從而可以求得二次函數(shù)解析式，然后求出點A的坐標，進而求得A′的坐標，從而可以求得直線A′B的函數(shù)解析式，進而求得與x軸的交點，從而可以解答本題．
解：作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′B，則A′B與x軸的交點即為所求，
∵拋物線y＝ax2﹣4x+c（a≠0）與反比例函數(shù)y=9x的圖象相交于點B，且B點的橫坐標為3，拋物線與y軸交于點C（0，6），
∴點B（3，3），
∴a×32?4×3+c=3c=6，
解得，a=1c=6，
∴y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴點A的坐標為（2，2），
∴點A′的坐標為（2，﹣2），
設過點A′（2，﹣2）和點B（3，3）的直線解析式為y＝mx+n，
2m+n=?23m+n=3，得m=5n=?12，
∴直線A′B的函數(shù)解析式為y＝5x﹣12，
令y＝0，則0＝5x﹣12得x=125，
故答案為：（125，0）．
總結提升：本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、最短路徑問題，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答．
類型三 反比例函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)的綜合運用
5． (2023?棗莊模擬）在平面直角坐標系xOy中，對于橫、縱坐標相等的點稱為“好點”給出下列函數(shù)①y＝﹣x；②y=2x；③y＝x+2；④y＝x2﹣2x．其圖象中不存在“好點”的函數(shù)個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
思路引領：根據(jù)題意可得x＝y(tǒng)，然后代入每一個解析式進行計算即可判斷．
解：∵橫、縱坐標相等的點稱為“好點”，
∴x＝y(tǒng)，
∴①x＝﹣x，解得x＝0，所以y＝﹣x圖象中存在“好點”，
②x=2x，解得x＝±2，所以y=2x圖象中存在“好點”，
③x＝x+2，此方程無解，所以y＝x+2圖象中不存在“好點”，
④x＝x2﹣2x，解得x＝0或x＝3，所以y＝x2﹣2x圖象中存在“好點”，
上述圖象中不存在“好點”的函數(shù)個數(shù)為：1，
故選：A．
總結提升：本題考查了函數(shù)的概念，根據(jù)題意得出x＝y(tǒng)，然后代入每一個解析式進行計算是解題的關鍵．
6． (2023?平原縣模擬）在下列函數(shù)圖象上任取不同兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立的是（ ）
A．y＝﹣3x+1B．y＝﹣x2﹣2x﹣3（x＜1）
C．y＝﹣x2+4x+1（x＜0）D．y=?6x
思路引領：根據(jù)各函數(shù)的增減性依次進行判斷即可．
解：A、∵k＝﹣3＜0，
∴y隨x的增大而減小，即當x1＞x2時，必有y1＜y2，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
故A選項不符合；
B、∵a＝﹣1＜0，對稱軸為直線x＝﹣1，
∴當﹣1＜x＜1時，y隨x的增大而減小，當x＜﹣1時y隨x的增大而增大，
∴當x＜﹣1時，能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立，
故B選項不符合；
C、∵a＝﹣1＜0，對稱軸為直線x＝2，
∴當x＜2時，y隨x的增大而增大，
∴當x＜0時，能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立，
故C選項符合；
D、∵﹣6＜0，
∴當x＞0或x＜0時，y隨x的增大而增大，
∴當P1（x1，y1）、P2（x2，y2）不在同一象限時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0不成立，
故D選項不符合；
故選：C．
總結提升：本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質，需要結合圖象去一一分析，熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質是解題的關鍵．
7．（宜昌中考）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OADB的頂點A，B的坐標分別為A（﹣6，0），B（0，4）．過點C（﹣6，1）的雙曲線y=kx（k≠0）與矩形OADB的邊BD交于點E．
（1）填空：OA＝ ，k＝ ，點E的坐標為 ；
（2）當1≤t≤6時，經(jīng)過點M（t﹣1，?12t2+5t?32）與點N（﹣t﹣3，?12t2+3t?72）的直線交y軸于點F，點P是過M，N兩點的拋物線y=?12x2+bx+c的頂點．
①當點P在雙曲線y=kx上時，求證：直線MN與雙曲線y=kx沒有公共點；
②當拋物線y=?12x2+bx+c與矩形OADB有且只有三個公共點，求t的值；
③當點F和點P隨著t的變化同時向上運動時，求t的取值范圍，并求在運動過程中直線MN在四邊形OAEB中掃過的面積．
思路引領：（1）根據(jù)題意將先關數(shù)據(jù)代入
（2）①用t表示直線MN解析式，及b，c，得到P點坐標代入雙曲線y=kx解析式，證明關于t的方程無解即可；
②根據(jù)拋物線開口和對稱軸，分別討論拋物線過點B和在BD上時的情況；
③由②中部分結果，用t表示F、P點的縱坐標，求出t的取值范圍及直線MN在四邊形OAEB中所過的面積．
解：（1）∵A點坐標為（﹣6，0）
∴OA＝6
∵過點C（﹣6，1）的雙曲線y=kx
∴k＝﹣6
y＝4時，x=?64=?32
∴點E的坐標為（?32，4）
故答案為：6，﹣6，（?32，4）
（2）①設直線MN解析式為：y1＝k1x+b1
由題意得：?12t2+5t?32=k1(t?1)+b1?12t2+3t?72=k1(?t?3)+b1
解得k1=1b=?12t2+4t?12
∵拋物線y=?12x2+bx+c過點M、N
∴?12t2+5t?32=?12(t?1)2+b(t?1)+c?12t2+3t?72=?12(?t?3)2+b(?t?3)+c
解得b=?1c=5t?2
∴拋物線解析式為：y=?12x2﹣x+5t﹣2=?12（x+1）2+5t?32
∴頂點P坐標為（﹣1，5t?32）
∵P在雙曲線y=?6x上
∴（5t?32）×（﹣1）＝﹣6
∴t=32
此時直線MN解析式為：
聯(lián)立y=x+358y=?6x
∴8x2+35x+49＝0
∵△＝352﹣4×8×48＝1225﹣1536＜0
∴直線MN與雙曲線y=?6x沒有公共點．
②當拋物線過點B，此時拋物線y=?12x2+bx+c與矩形OADB有且只有三個公共點
∴4＝5t﹣2，得t=65
當拋物線的頂點在線段DB上，此時拋物線與矩形OADB有且只有三個公共點
∴10t?32=4，得t=1110
∴t=65或t=1110
③∵點P的坐標為（﹣1，5t?32）
∴yP＝5t?32
當1≤t≤6時，yP隨t的增大而增大
此時，點P在直線x＝﹣1上向上運動
∵點F的坐標為（0，?12t2+4t?12）
∴yF=?12(t?4)2+152
∴當1≤t≤4時，隨者yF隨t的增大而增大
此時，隨著t的增大，點F在y軸上向上運動
∴1≤t≤4
當t＝1時，直線MN：y＝x+3與x軸交于點G（﹣3，0），與y軸交于點H（0，3）
當t＝4?3時，直線MN過點A．
當1≤t≤4時，直線MN在四邊形AEBO中掃過的面積為
S=12×(32+6)×4?12×3×3=212
總結提升：本題為二次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，考查了數(shù)形結合思想和分類討論的數(shù)學思想．解題過程中，應注意充分利用字母t表示相關點坐標．
專題提優(yōu)訓練
1． (2023春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級月考）下列各曲線中不能表示y是x的函數(shù)是（ ）
A．B．C． D．
思路引領：根據(jù)函數(shù)的概念，對于自變量x的每一個值，y都有唯一的值和它對應，判斷即可．
解：上列曲線中，A、B、D選項，對于自變量x的每一個值，y都有唯一的值和它對應，
所以A、B、D能表示y是x的函數(shù)，
C選項，對于自變量x的每一個值，y不是有唯一的值和它對應，
所以C不能表示y是x的函數(shù)，
故選：C．
總結提升：本題考查了函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)的概念是解題的關鍵．
2． (2023秋?蕭山區(qū)期中）已知點A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一個函數(shù)的圖象上，則這個函數(shù)可能是（ ）
A．y＝xB．y=?2xC．y＝x2D．y＝﹣x2
思路引領：由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在y軸的右側，y隨x的增大而減小，據(jù)此判斷即可．
解：∵點A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一個函數(shù)的圖象上，
∴在y軸的右側，y隨x的增大而減小，
A、對于函數(shù)y＝x，y隨x的增大而增大，故不可能；
B、對于函數(shù)y=?2x，圖象位于二、四象限，每個象限內y隨x的增大而增大，故不可能；
C、對于函數(shù)y＝x2，當x＞0時，y隨x的增大而增大，故不可能；
D、對于函數(shù)y＝﹣x2，當x＞0時，y隨x的增大而減小，故有可能；
故選：D．
總結提升：考查正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質，可以采用排除法，直接法得出答案．
3． (2023秋?雞西期末）已知一次函數(shù)y＝2x﹣3與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于點P（a﹣2，3），則k＝ ．
思路引領：先把P（a﹣2，3）代入y＝2x﹣3，求得P的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．
解：∵一次函數(shù)y＝2x﹣3經(jīng)過點P（a﹣2，3），
∴3＝2（a﹣2）﹣3，
解得a＝5，
∴P（3，3），
∵點P在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，
∴k＝3×3＝9，
故答案為9．
總結提升：本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，求得交點坐標是解題的關鍵．
4． (2023?成華區(qū)模擬）如圖，直線y=3x﹣8交x軸于點A，交y軸于點B，點C是反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象上位于直線AB上方的一點，CD∥x軸交AB于點D，CE⊥CD交AB于點E，若AD?BE＝4，則k的值為 ．
思路引領：過D作DF⊥AO于F，過EG⊥OB于G，則DF∥OB，GE∥AO，設C（x，y），則GE＝x，DF＝﹣y，由△ADF∽△ABO，可得AD=?233y，由△BEG∽△BAO，可得BE＝2x，再根據(jù)AD?BE＝4，即可得到k＝xy=3．
解：如圖，過D作DF⊥AO于F，過EG⊥OB于G，則DF∥OB，GE∥AO，
由直線y=3x﹣8，可得A（833，0），B（0，﹣8），
∴AO=833，BO＝8，AB=1633，
設C（x，y），則GE＝x，DF＝﹣y，
由△ADF∽△ABO，可得ADAB=DFBO，
即AD1633=?y8，
∴AD=?233y，
由△BEG∽△BAO，可得BEBA=GEOA，
即BE1633=x833，
∴BE＝2x，
∵AD?BE＝4，
∴?233y×2x＝4，
∴xy=?3，
∴k＝xy=?3，
故答案為：?3．
總結提升：本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關鍵是作輔助線構造相似三角形，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求出AD、BE．
5． (2023秋?興義市期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則一次函數(shù)y＝ax+b和反比例函數(shù)y=cx的圖象為（ ）
A．B．
C．D．
思路引領：直接利用二次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限得出a，b，c的取值范圍，進而利用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質得出答案．
解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下，
∴a＜0，
∵該拋物線對稱軸位于y軸的右側，
∴a、b異號，即b＞0．
∵拋物線交y軸的負半軸，
∴c＜0，
∴一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)y=cx（c≠0）在二、四象限．
故選：C．
總結提升：此題主要考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，正確把握相關性質是解題關鍵．
6． (2023秋?龍灣區(qū)期中）如圖，拋物線y＝ax2+4x+c（a≠0）與反比例函數(shù)y=5x的圖象相交于點B，且點B的橫坐標為5，拋物線與y軸交于點C（0，6），A是拋物線的頂點，P和Q分別是x軸和y軸上的兩個動點，則AQ+QP+PB的最小值為 ．
思路引領：根據(jù)題意求得B的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，從而求得頂點A的坐標，求得A關于y軸的對稱點A′（﹣2，10），B點關于x軸的對稱點B′為（5，﹣1），根據(jù)兩點之間線段最短，即可判斷AQ+QP+PB＝A′B′是AQ+QP+PB的最小值，利用勾股定理求得即可．
解：∵點B在反比例函數(shù)y=5x的圖象，且點B的橫坐標為5，
∴點B的縱坐標為：y=55=1，
∴B（5，1），
∵拋物線y＝ax2+4x+c（a≠0）與反比例函數(shù)y=5x的圖象相交于點B，與y軸交于點C（0，6），
∴25a+20+c=1c=6，解得a=?1c=6，
∴拋物線為y＝﹣x2+4x+6，
∵y＝﹣x2+4x+6＝﹣（x﹣2）2+10，
∴A（2，10），
∴A關于y軸的對稱點A′（﹣2，10），
∵B（5，1），
∴B點關于x軸的對稱點B′為（5，﹣1），
連接A′B′交x軸于P，交y軸于Q，此時AQ+QP+PB的值最小，即AQ+QP+PB＝A′B′，
A′B′=(5+2)2+(?1?10)2=170，
故AQ+QP+PB的最小值為170．
總結提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質，軸對稱的性質，勾股定理的應用，明確AQ+QP+PB＝A′B′是AQ+QP+PB的最小值是解題的關鍵．
7． (2023秋?沙坪壩區(qū)校級月考）閱讀材料：在平面直角坐標系中，我們把橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的點稱為“星之點”，例如：點（1，﹣1），（2，﹣2），（2，?2）都是“星之點”，顯然“星之點“有無數(shù)個，我們知道關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式x=?b±b2?4ac2a，故有x1=?b+b2?4ac2a，x2=?b?b2?4ac2a
兩根之和x1+x2=?b+b2?4ac2a+?b?b2?4ac2a=?ba
兩根之積x1x2＝（?b+b2?4ac2a）?（?b?b2?4ac2a）=ca
根據(jù)以上信息，回答下列的問題：
（1）若點P（?3，m）是反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象上的”星之點”，求這個反比例函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)y＝4kx+s﹣2（k，s為常數(shù)）的圖象上存在“星之點”嗎？若存在，請求出“星之點”的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a、b是常數(shù)，且a＞0）的圖象上存在兩個“星之點”A（x1，﹣x1），B（x2，﹣x2），且滿足﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2+2b+15748，試求t的取值范圍．
思路引領：（1）由“星之點”定義得到點P坐標為（?3，3），用待定系數(shù)法即求得反比例函數(shù)解析式．
（2）把“星之點”（x，﹣x）代入函數(shù)解析式，化簡得到關于x的一元一次方程．討論x的一次項系數(shù)：①若一次項系數(shù)和常數(shù)項都為0，則方程有無數(shù)解，故有無數(shù)個“星之點”；②若一次項系數(shù)為0而常數(shù)項不為0，則方程無解，不存在“星之點”；③若一次項系數(shù)和常數(shù)項均不為0，方程有唯一解，則求得“星之點”坐標．
（3）把點A、B坐標代入二次函數(shù)并化簡，可得x1、x2即為方程ax2+（b+1）x+1＝0的兩個不相等實數(shù)根．根據(jù)韋達定理可得x1+x2=?b+1a，x1?x2=1a，利用|x1﹣x2|＝2和完全平方公式變形|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1?x2可得a與b的關系式，化簡得b2+2b＝4a2+4a﹣1＝4（a+12）2﹣2．根據(jù)﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2與x1?x2=1a（a＞0）討論得a＞18，根據(jù)拋物線性質可求得b2+2b的取值范圍，代入t即求得t的取值范圍．
解：（1）∵點P（?3，m）是“星之點”
∴P（?3，3）
∵點P是反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象上的點
∴3=k?3 解得：k＝﹣3
∴這個反比例函數(shù)的解析式為y=?3x
（2）函數(shù)y＝4kx+s﹣2（k，s為常數(shù)）的圖象上存在“星之點”．
設“星之點”（x，﹣x）在函數(shù)y＝4kx+s﹣2（k，s為常數(shù)）的圖象上
∴﹣x＝4kx+s﹣2
整理得：（4k+1）x＝2﹣s
①當4k+1＝0，即k=?14時，若2﹣s＝0，即s＝2，方程有無數(shù)解，此時有無數(shù)個“星之點”
②當4k+1＝0，即k=?14時，若s≠2，則方程無解，沒有“星之點”
③當4k+1≠0，即k≠?14時，x=2?s4k+1
∴“星之點”坐標為（2?s4k+1，s?24k+1）
綜上所述，函數(shù)y＝4kx+s﹣2（k，s為常數(shù)）的圖象上存在“星之點”，坐標為（2?s4k+1，s?24k+1）或無數(shù)個．
（3）依題意得：﹣x1＝ax12+bx1+1，﹣x2＝ax22+bx2+1
整理得：ax12+（b+1）x1+1＝0，ax22+（b+1）x2+1＝0
∴x1、x2是方程ax2+（b+1）x+1＝0的兩個不相等實數(shù)根
∴x1+x2=?b+1a，x1?x2=1a
∵a＞0
∴x1?x2=1a＞0，即x1、x2同號
∵﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2
i）當x1﹣x2＝2時，x1＝x2+2
∴﹣2≤x2+2＜2，即﹣4≤x2＜0
∴﹣2≤x1＜0
∴x1?x2=1a＜8
ii）當x1﹣x2＝﹣2時，x1＝x2﹣2
∴﹣2≤x2﹣2＜2，即0≤x2＜4
∴0＜x1＜2
∴x1?x2=1a＜8
綜上，a＞18
∵|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1?x2＝（?b+1a）2?4a=b2+2b+1?4aa2=4
∴b2+2b+1﹣4a＝4a2
∴b2+2b＝4a2+4a﹣1＝4（a+12）2﹣2
∵當a＞?12時，b2+2b的值隨a的增大而增大
∴當a＞18時，b2+2b＞4（18+12）2﹣2=?716
∴t＝b2+2b+15748＞?716+15748=176
∴t的取值范圍為t＞176．
總結提升：本題考查了新定義的理解和應用，反比例函數(shù)的性質，一次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的圖象與性質，一元二次方程根與系數(shù)的關系，不等式的性質．第（3）題的解題關鍵是由點A、B代入二次函數(shù)后得到以x1、x2為根的方程，利用韋達定理列得關于a、b的等式，進而根據(jù)a的范圍確定含b的二次項式子取值范圍，最終求得t的取值范圍．

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