（1）利用判別式判斷方程根的情況
1． (2023?濟(jì)源校級模擬）定義運(yùn)算：m△n＝mn2﹣2mn﹣1．例如：4△2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．則方程2△x＝0的根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．以上結(jié)論都不對
2． (2023春?平潭縣期末）對于任意實(shí)數(shù)k，關(guān)于x的方程x2﹣2（k+5）x+2k2+4k+50＝0的根的情況為（ ）
A．有兩個相等的實(shí)數(shù)根B．無實(shí)數(shù)根
C．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根D．無法判定
（2）利用判別式求字母系數(shù)的值或取值范圍
3． (2023春?文登區(qū)期中）已知關(guān)于x的方程（k﹣1）x2?kx+2＝0有兩個實(shí)數(shù)解，求k的取值范圍 ．
4．（2018?南通）若關(guān)于x的一元二次方程12x2﹣2mx﹣4m+1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值為 ．
（3）根據(jù)字母系數(shù)判斷方程根的情況
5． (2023?焦作模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線y＝2x+m不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程x2+2x+m＝0的實(shí)數(shù)根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法判斷
6． (2023秋?福鼎市期中）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：
①若a﹣b+c＝0，則它有一根為﹣1；
②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實(shí)根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；
④若b＝2a+3c，則一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
其中正確的 ．
類型二 根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用
（1）利用根與系數(shù)關(guān)系求代數(shù)式的值
7． (2023秋?電白區(qū)期中）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2+2m+n的值等于（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
8． (2023秋?余干縣校級月考）已知α，β是一元二次方程x2﹣2020x+1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式（α﹣2020）（β﹣2020）＝ ．
9．（2001?咸寧）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣2＝0的兩實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x2x1+x1x2= ．
10． (2023秋?新田縣期中）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x12﹣2x1+2x2的值等于（ ）
A．2026B．2027C．2028D．2029
11． (2023秋?羅莊區(qū)校級月考）閱讀理解：法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)在研究一元二次方程時有一項重大發(fā)現(xiàn)：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根分別是x1和x2，那么x1+x2=?ba，x1x2=ca．
例如：方程2x2+3x﹣5＝0的兩根分別是x1和x2，則x1+x2=?ba=?32，x1x2=ca=?52．
請同學(xué)們閱讀后利用上述結(jié)論完成下列問題：
（1）已知方程3x2﹣7＝11x的兩根分別是x1和x2，則x1+x2＝ 113 ，x1x2＝ ?73 ；
（2）已知方程x2+5x﹣3＝0的兩根分別是x1和x2．
①求x12+x22的值；
②求x12﹣5x2+1的值．
（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求待定系數(shù)的值或取值范圍
12． (2023秋?荔灣區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一個根比另一個根大2，則m的值為（ ）
A．2B．m＞0C．1D．0
13． (2023秋?博白縣期中）已知a≥3，m，n為x2﹣2ax+2＝0的兩個根，則（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是 ．
14．（2018秋?海淀區(qū)期中）已知xy≠1，且有3x2+2018x+9＝0及9y2+2018y+3＝0，則xyx2+y2的值為（ ）
A．12018B．2018C．3D．310
類型三 一元二次的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用
15． (2023秋?黔東南州期末）關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）﹣p2＝0（p為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．兩個正根B．兩個負(fù)根
C．一個正根，一個負(fù)根D．無實(shí)數(shù)根
16． (2023?泰山區(qū)校級二模）如果關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝k，則直線y＝kx+b必定經(jīng)過的象限是（ ）
A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四
17． (2023秋?岫巖縣月考）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根分別為x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2=?ba，x1x2=ca可得利用上述結(jié)論來解答下列問題：
（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的兩個根為m，n，則m+n＝ ，mn＝ ；
（2）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．
18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求證：無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩根x1、x2是斜邊長為5的直角三角形兩直角邊長，求k的值．
19． (2023秋?郾城區(qū)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：
（2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實(shí)數(shù)根，第二邊BC的長為4，當(dāng)△ABC是等腰三角形時，求k的值．
20．（2018秋?嘉善縣期末）已知實(shí)數(shù)a、b，滿足a2（b2+1）+b（b+2a）＝40，a（b+1）+b＝8．
（1）求a+b和ab的值；
（2）求1a2+1b2的值．
21． (2023?浙江自主招生）已知關(guān)于x的方程（a2﹣1）（xx?1）2﹣（2a+7）（xx?1）+1＝0有實(shí)根．
（1）求a取值范圍；
（2）若原方程的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1x1?1+x2x2?1=311，求a的值．
22． (2023秋?城關(guān)區(qū)校級期中）閱讀理解：
材料1：對于一個關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求該多項式的取值范圍外，愛思考的小川同學(xué)還想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y(tǒng)（a≠0），然后移項可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判別式來確定y的取值范圍，請仔細(xì)閱讀下面的例子：
例：求x2+2x+5的取值范圍；
解：令x2+2x+5＝y(tǒng)
∴x2+2x+（5﹣y）＝0
∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0
∴y≥4∴x2+2x+5≥4．
材料2：在學(xué)習(xí)完一元二次方程的解法后，愛思考的小川同學(xué)又想到仿造一元二次方程的解法來解決一元二次不等式的解集問題，他的具體做法如下：
若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2（x1＞x2）
則關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集為：x≥x1或x≤x2
則關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集為：x2≤x≤x1
請根據(jù)上述材料，解答下列問題：
（1）若關(guān)于x的二次三項式x2+ax+3（a為常數(shù)）的最小值為﹣6，則a＝ ；
（2）求出代數(shù)式3x2+6x?21?3x的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的代數(shù)式5mx?nx2?x+2（其中m、n為常數(shù)且m≠0）的最小值為﹣4，最大值為7，請求出滿足條件的m、n的值．
專題04 一元二次方程根的判別式的應(yīng)用及根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用（解析版）
類型一 根的判別式的應(yīng)用
（1）利用判別式判斷方程根的情況
1． (2023?濟(jì)源校級模擬）定義運(yùn)算：m△n＝mn2﹣2mn﹣1．例如：4△2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．則方程2△x＝0的根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．以上結(jié)論都不對
思路引領(lǐng)： 已知等式利用題中的新定義化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定出方程解的情況即可．
解：根據(jù)題中的新定義化簡得：2△x＝2x2﹣4x﹣1＝0，
∵b2﹣4ac
＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）
＝16+8
＝24＞0，
∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
總結(jié)提升： 此題考查了根的判別式，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．
2． (2023春?平潭縣期末）對于任意實(shí)數(shù)k，關(guān)于x的方程x2﹣2（k+5）x+2k2+4k+50＝0的根的情況為（ ）
A．有兩個相等的實(shí)數(shù)根B．無實(shí)數(shù)根
C．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根D．無法判定
思路引領(lǐng)： 先計算根的判別式的值得到Δ＝﹣4（k﹣3）2﹣64＜0，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況．
解：∵Δ＝4（k+5）2﹣4（2k2+4k+50）
＝﹣4（k﹣3）2﹣64＜0，
∴方程無實(shí)數(shù)根．
故選：B．
總結(jié)提升： 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．
（2）利用判別式求字母系數(shù)的值或取值范圍
3． (2023春?文登區(qū)期中）已知關(guān)于x的方程（k﹣1）x2?kx+2＝0有兩個實(shí)數(shù)解，求k的取值范圍 ．
思路引領(lǐng)： 根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．
解：∵關(guān)于x的方程（k﹣1）x2?kx+2＝0有兩個實(shí)數(shù)解，
∴k?1≠0△=(?k)2?4(k?1)×2≥0，且k≥0，
解得：k≤87且k≠1，
故答案為0≤k≤87且k≠1．
總結(jié)提升： 本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式△≥0，列出關(guān)于k的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
4．（2018?南通）若關(guān)于x的一元二次方程12x2﹣2mx﹣4m+1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值為 ．
思路引領(lǐng)： 根據(jù)根的判別式即可求出答案．
解：由題意可知：Δ＝4m2﹣2（1﹣4m）＝4m2+8m﹣2＝0，
∴m2+2m=12，
∴（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）
＝﹣m2﹣2m+4
=?12+4
=72，
故答案為：72
總結(jié)提升： 本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是正確理解根的判別式的作用，本題屬于基礎(chǔ)題型．
（3）根據(jù)字母系數(shù)判斷方程根的情況
5． (2023?焦作模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線y＝2x+m不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程x2+2x+m＝0的實(shí)數(shù)根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法判斷
思路引領(lǐng)： 先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到m≤0，再計算根的判別式的意義得到Δ＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況．
解：∵直線y＝2x+m不經(jīng)過第二象限，
∴m≤0，
∴Δ＝22﹣4m＝4﹣4m＞0，
∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
總結(jié)提升： 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．
6． (2023秋?福鼎市期中）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：
①若a﹣b+c＝0，則它有一根為﹣1；
②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實(shí)根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；
④若b＝2a+3c，則一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
其中正確的 ．
思路引領(lǐng)： 先計算出根的判別式，再利用求根公式解方程可對①進(jìn)行判斷；根據(jù)根的判別式的意義，由方程ax2+c＝0有兩個不相等的實(shí)根得到Δ＝﹣4ac＞0，則可判斷Δ＝b2﹣4ac＞0，于是可對②進(jìn)行判斷；由c是方程ax2+bx+c＝0的一個根得到ac2+bc+c＝0，只有c≠0時由ac+b+1＝0，則可對③進(jìn)行判斷；利用b＝2a+3c計算根的判別式得到Δ＝4（a+c）2+5c2＞0，則根據(jù)根的判別式的意義可對④進(jìn)行判斷．
解：若a﹣b+c＝0時，則b＝a+c，則Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2，
x=?b±(a?c)2a=?(a+c)±(a?c)2a，
解得x1=?ca，x2＝﹣1，所以①正確；
若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實(shí)根，則Δ＝﹣4ac＞0，
因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c＝0的根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，
所以方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實(shí)根，所以②正確；
若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則ac2+bc+c＝0，當(dāng)c≠0時，ac+b+1＝0，所以③錯誤；
若b＝2a+3c，則Δ＝b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4a2+8ac+9c2＝4（a+c）2+5c2＞0，所以一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確；
故答案為：①②④．
總結(jié)提升： 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．
類型二 根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用
（1）利用根與系數(shù)關(guān)系求代數(shù)式的值
7． (2023秋?電白區(qū)期中）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2+2m+n的值等于（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
思路引領(lǐng)： 利用一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，可得出m2+m＝2022，m+n＝﹣1，再將其代入m2+2m+n＝m2+m+（m+n）中，即可求出結(jié)論．
解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的實(shí)數(shù)根，
∴m2+m﹣2022＝0，
∴m2+m＝2022．
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的兩個實(shí)數(shù)根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝m2+m+（m+n）＝2022﹣1＝2021．
故選：C．
總結(jié)提升： 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，牢記“兩根之和等于?ba，兩根之積等于ca”是解題的關(guān)鍵．
8． (2023秋?余干縣校級月考）已知α，β是一元二次方程x2﹣2020x+1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式（α﹣2020）（β﹣2020）＝ ．
思路引領(lǐng)： 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出α+β＝2020，αβ＝1，將代數(shù)式（α﹣2020）（β﹣2020）展開，再將α+β＝2020，αβ＝1代入其中即可得出結(jié)論．
解：∵α，β是一元二次方程x2﹣2020x+1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，
∴α+β＝2020，αβ＝1，
∴（α﹣2020）（β﹣2020）
＝αβ﹣2020α﹣2020β+20202
＝αβ﹣（α+β）×2020+20202
＝1﹣2020×2020+20202
＝1．
故答案為：1．
總結(jié)提升： 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握兩根之和為?ba、兩根之積為ca是解題的關(guān)鍵．
9．（2001?咸寧）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣2＝0的兩實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x2x1+x1x2= ．
思路引領(lǐng)： 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=?ba、x1?x2=ca，然后將其代入由x2x1+x1x2變形后的代數(shù)式求值．
解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣2＝0的兩實(shí)數(shù)根，
∴由韋達(dá)定理，得
x1+x2＝2，x1?x2＝﹣2，
∴x2x1+x1x2=(x1+x2)2x1x2?2=4?2?2＝﹣4．
故答案是：﹣4．
總結(jié)提升： 此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
10． (2023秋?新田縣期中）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x12﹣2x1+2x2的值等于（ ）
A．2026B．2027C．2028D．2029
思路引領(lǐng)： 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=?ba，x1x2=ca，將x12?2x1+2x2變形后得到2（x1+x2）﹣x1x2，由此即可求解．
解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的兩個實(shí)數(shù)根，且a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2020，
∴x1+x2=?ba=4，x1x2=ca=?2020，
∴x1＝4﹣x2，
∵x12?2x1+2x2=x1(x1?2)+2x2，
∴x1（4﹣x2﹣2）+2x2＝2x1﹣x1x2+2x2＝2（x1+x2）﹣x1x2，
∴2（x1+x2）﹣x1x2＝2×4﹣（﹣2020）＝2028，
故選：C．
總結(jié)提升： 本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
11． (2023秋?羅莊區(qū)校級月考）閱讀理解：法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)在研究一元二次方程時有一項重大發(fā)現(xiàn)：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根分別是x1和x2，那么x1+x2=?ba，x1x2=ca．
例如：方程2x2+3x﹣5＝0的兩根分別是x1和x2，則x1+x2=?ba=?32，x1x2=ca=?52．
請同學(xué)們閱讀后利用上述結(jié)論完成下列問題：
（1）已知方程3x2﹣7＝11x的兩根分別是x1和x2，則x1+x2＝ 113 ，x1x2＝ ?73 ；
（2）已知方程x2+5x﹣3＝0的兩根分別是x1和x2．
①求x12+x22的值；
②求x12﹣5x2+1的值．
思路引領(lǐng)： （1）先把方程化為一般式，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求解；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3，
①利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整體代入的方法計算；
②先根據(jù)一元二次方程根的定義得到x12＝﹣5x1+3，則x12﹣5x2+1變形為﹣5（x1+x2）+4，然后利用整體代入的方法計算．
解：（1）3x2﹣11x﹣7＝0，
x1+x2=113，x1x2=?73；
故答案為：113，x?73；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3，
①x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣5）2﹣2×（﹣3）＝31；
②∵x1為方程x2+5x﹣3＝0的根，
∴x12+5x1﹣3＝0，
∴x12＝﹣5x1+3，
∴x12﹣5x2+1＝﹣5x1+3﹣5x2+1
＝﹣5（x1+x2）+4
＝﹣5×（﹣5）+4
＝29．
總結(jié)提升： 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2=ca．
（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求待定系數(shù)的值或取值范圍
12． (2023秋?荔灣區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一個根比另一個根大2，則m的值為（ ）
A．2B．m＞0C．1D．0
思路引領(lǐng)： 設(shè)方程的兩根分別為t，t+2，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，利用代入消元法得到（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，然后解關(guān)于m的方程得到滿足條件的m的值．
解：設(shè)方程的兩根分別為t，t+2，
根據(jù)題意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，
整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值為1．
法二：∵x2﹣4mx+3m2＝（x﹣m）（x﹣3m），
∴關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的兩根分別為x1＝m，x2＝3m，且x2＞x1，
∴x2﹣x1＝2m＝2，
∴m＝1，
故選：C．
總結(jié)提升： 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2=ca．
13． (2023秋?博白縣期中）已知a≥3，m，n為x2﹣2ax+2＝0的兩個根，則（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是 ．
思路引領(lǐng)： 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
解：由題意可知：m+n＝2a，mn＝2，
∴原式＝（m﹣1）2+（n﹣1）2+2（m﹣1）（n﹣1）﹣2（m﹣1）（n﹣1）
＝（m﹣1+n﹣1）2﹣2（m﹣1）（n﹣1）
＝（2a﹣2）2﹣2（mn﹣m﹣n+1）
＝（2a﹣2）2﹣2（2﹣2a+1）
＝4a2﹣4a﹣2，
令y＝4a2﹣4a﹣2，
其對稱軸為：a=12
∴a＝3時，原式的最小值為22
故答案為：22
總結(jié)提升： 本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．
14．（2018秋?海淀區(qū)校級期中）已知xy≠1，且有3x2+2018x+9＝0及9y2+2018y+3＝0，則xyx2+y2的值為（ ）
A．12018B．2018C．3D．310
思路引領(lǐng)： 把9y2+2018y+3＝0兩邊都除以y2，得3×（1y）2+2018?1y+9＝0，從而知x、1y是3x2+2018x+9＝0的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理可得答案．
解：∵9y2+2018y+3＝0，
∴3×（1y）2+2018?1y+9＝0，
則x、1y是3x2+2018x+9＝0的兩根，
∴x?1y=xy=3，
∵x2+y2xy=xy+yx=3+13=103，
∴xyx2+y2=310，
故選：D．
總結(jié)提升： 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)已知條件得到x、1y是關(guān)于x的方程3x2+2018x+9＝0的兩根是解題的難點(diǎn)．
類型三 一元二次的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用
15． (2023秋?黔東南州期末）關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）﹣p2＝0（p為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．兩個正根B．兩個負(fù)根
C．一個正根，一個負(fù)根D．無實(shí)數(shù)根
思路引領(lǐng)： 先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化為x2+x﹣2﹣p2＝0，再根據(jù)b2﹣4ac＝1+8+4p2＞0可得方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，由﹣2﹣p2＜0即可得出結(jié)論．
解：∵關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）﹣p2＝0（p為常數(shù)），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，方程的兩個根的積為﹣2﹣p2＜0，
∴一個正根，一個負(fù)根，
故選：C．
總結(jié)提升： 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2=ca．也考查了根的判別式．
16． (2023?泰山區(qū)校級二模）如果關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝k，則直線y＝kx+b必定經(jīng)過的象限是（ ）
A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四
思路引領(lǐng)： 由方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根可得出根的判別式Δ＝0，解之即可得出b值，由根與系數(shù)的關(guān)系可得出k的值，再結(jié)合一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系即可得出直線y＝kx+b所經(jīng)過的象限．
解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝k，
∴Δ＝22﹣4×（6﹣b）＝0，2k＝﹣2，
∴k＝﹣1，b＝5，
∴直線y＝kx+b經(jīng)過第一、二、四象限．
故選：B．
總結(jié)提升： 本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)根的判別式結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求出k、b的值是解題的關(guān)鍵．
17． (2023秋?岫巖縣月考）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根分別為x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2=?ba，x1x2=ca可得利用上述結(jié)論來解答下列問題：
（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的兩個根為m，n，則m+n＝ 12 ，mn＝ ?12 ；
（2）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．
思路引領(lǐng)： （1）根據(jù)方程的系數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出m+n，mn的值；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k，結(jié)合（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2可得出關(guān)于k的一元二次方程，利用公式法解該方程即可得出k值，再將k值分別代入原方程中，驗(yàn)證根的判別式是否大于等于0．
解：（1）∵一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的兩個根為m，n，
∴m+n=12，mn=?12．
故答案為：12；?12．
（2）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k．
∵（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，即（x1+x2）2﹣4+2x1x2＝﹣2，
∴（k﹣1）2﹣4+2（2﹣k）＝﹣2，
整理，得：k2﹣4k+3＝0，
∴k=4±(?4)2?4×1×32，
∴k1＝3，k2＝1．
當(dāng)k＝3時，原方程為x2﹣2x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，
∴k＝3符合題意；
當(dāng)k＝1時，原方程為x2+1＝0，
∵Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴k＝1不符合題意，舍去．
∴k的值為3．
總結(jié)提升： 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“x1+x2=?ba，x1x2=ca”；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，找出關(guān)于k的一元二次方程．
18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求證：無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩根x1、x2是斜邊長為5的直角三角形兩直角邊長，求k的值．
思路引領(lǐng)： （1）先根據(jù)判別式的值得到Δ＝1，然后根據(jù)判別式的意義可判斷方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+k，再根據(jù)勾股定理得到x12+x22＝52，接著利用完全平方公式變形得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝25，則（2k+1）2﹣2（k2+k）＝25，然后解方程后利用方程的兩根為正數(shù)確定k的值．
（1）證明：Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）
＝1＞0，
所以無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+k，
∵x12+x22＝52，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝25，
∴（2k+1）2﹣2（k2+k）＝25，
整理得k2+k﹣12＝0，解得k1＝3，k2＝﹣4，
∵x1+x2＝2k+1＞0，x1x2＝k2+k＞0，
∴k的值為3．
總結(jié)提升： 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2=ca，反過來也成立．也考查了根的判別式．
19． (2023秋?郾城區(qū)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：
（2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實(shí)數(shù)根，第二邊BC的長為4，當(dāng)△ABC是等腰三角形時，求k的值．
思路引領(lǐng)： （1）先計算出Δ＝1，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）先利用公式法求出方程的解為x1＝k，x2＝k+1，然后分類討論：AB＝k，AC＝k+1，當(dāng)AB＝BC或AC＝BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．
（1）證明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解：∵Δ＝1＞0，
∴AB≠AC，
∴AB、AC中有一個數(shù)為4．
當(dāng)x＝4時，原方程為：16﹣42（k+1）+k2+k＝0，
即k2﹣7k+12＝0，解得：k1＝3，k2＝4．
當(dāng)k＝3時，原方程為x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4．
由三角形的三邊關(guān)系，可知3、4、4能圍成等腰三角形，
∴k＝3符合題意；
當(dāng)k＝4時，原方程為x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．
由三角形的三邊關(guān)系，可知4、4、5能圍成等腰三角形，
∴k＝4符合題意．
綜上所述：k的值為3或4．
總結(jié)提升： 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)．
20．（2018秋?嘉善縣期末）已知實(shí)數(shù)a、b，滿足a2（b2+1）+b（b+2a）＝40，a（b+1）+b＝8．
（1）求a+b和ab的值；
（2）求1a2+1b2的值．
思路引領(lǐng)： （1）根據(jù)完全平方公式以及配方法即可求出答案．
（2）根據(jù)配方法對該分式進(jìn)行變形，然后將a+b與ab的值代入即可求出答案．
解：（1）由題意可知：a2b2+a2+2ab+b2＝40，
（a+b）2+a2b2＝40，ab+a+b＝8，
令a+b＝m，ab＝n，
∴m2+n2＝40，m+n＝8，
∴m2+（8﹣m）2＝40，
∴解得：m＝2或m＝6，
∴n＝6或n＝2，
∴a+b＝2，ab＝6或a+b＝6，ab＝2；
設(shè)a、b是方程x2﹣mx+n＝0的兩個實(shí)根，
∴△＝m2﹣4n，
當(dāng)m＝2，n＝6時，
△＝4﹣24＝﹣20，
當(dāng)m＝6，n＝2時，
△＝36﹣8＞0，
∴a+b＝6，ab＝2；
（2）原式=a2+b2a2b2=(a+b)2?2aba2b2，
當(dāng)a+b＝6，ab＝2時，
原式=36?44
＝8．
總結(jié)提升： 本題考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則以及完全平方公式，本題屬于中等題型．
21． (2023?浙江自主招生）已知關(guān)于x的方程（a2﹣1）（xx?1）2﹣（2a+7）（xx?1）+1＝0有實(shí)根．
（1）求a取值范圍；
（2）若原方程的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1x1?1+x2x2?1=311，求a的值．
思路引領(lǐng)： （1）設(shè)xx?1=y，分兩種情況討論，①方程為一元一次方程，②方程為二元一次方程，那么有（a2﹣1）y2﹣（2a+7）y+11＝0，根據(jù)△≥0即可求解；
（2）設(shè)y1=x1x1?1，y2=x2x2?1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
解：（1）設(shè)xx?1=y，則原方程化為：（a2﹣1）y2﹣（2a+7）y+1＝0 （2），
①當(dāng)方程（2）為一次方程時，即a2﹣1＝0，a＝±1．
若a＝1，方程（2）的解為y=19，原方程的解為x=?18滿足條件；
若a＝﹣1，方程（2）的解為y=15，原方程的解為x=?14滿足條件；
∴a＝±1．
②當(dāng)方程為二次方程時，a2﹣1≠0，則a≠±1，
要使方程（a2﹣1）y2﹣（2a+7）y+1＝0 （2）有解，則Δ＝（2a+7）2﹣4（a2﹣1）＝28a+53≥0，
解得：a≥?5328，此時原方程沒有增根，
∴a取值范圍是a≥?5328．
綜上，a的取值范圍是a≥?5328．
（2）設(shè)x1x1?1=y1，x2x2?1=y2，則
則y1、y2是方程（a2﹣1）y2﹣（2a+7）y+1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，
由韋達(dá)定理得：y1+y2=2a+7a2?1，
∵y1+y2=311，
∴2a+7a2?1=311，
解得：a=?83或10，
又∵a≥?5328，
∴a＝10．
總結(jié)提升： 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行解題．
22． (2023秋?城關(guān)區(qū)校級期中）閱讀理解：
材料1：對于一個關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求該多項式的取值范圍外，愛思考的小川同學(xué)還想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y(tǒng)（a≠0），然后移項可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判別式來確定y的取值范圍，請仔細(xì)閱讀下面的例子：
例：求x2+2x+5的取值范圍；
解：令x2+2x+5＝y(tǒng)
∴x2+2x+（5﹣y）＝0
∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0
∴y≥4∴x2+2x+5≥4．
材料2：在學(xué)習(xí)完一元二次方程的解法后，愛思考的小川同學(xué)又想到仿造一元二次方程的解法來解決一元二次不等式的解集問題，他的具體做法如下：
若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2（x1＞x2）
則關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集為：x≥x1或x≤x2
則關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集為：x2≤x≤x1
請根據(jù)上述材料，解答下列問題：
（1）若關(guān)于x的二次三項式x2+ax+3（a為常數(shù)）的最小值為﹣6，則a＝ 6或﹣6 ；
（2）求出代數(shù)式3x2+6x?21?3x的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的代數(shù)式5mx?nx2?x+2（其中m、n為常數(shù)且m≠0）的最小值為﹣4，最大值為7，請求出滿足條件的m、n的值．
思路引領(lǐng)： （1）根據(jù)材料一設(shè)y＝x2+ax+3，化為x的一元二次方程用△≥0得y的范圍，再列出a的方程求解；
（2）設(shè)y=3x2+6x?21?3x，用△≥0求解，再根據(jù)材料二得到結(jié)論；
（3）用△≥0得到代數(shù)式值的不等式，已知代數(shù)式值的最大、最小值，實(shí)質(zhì)是已知和這個不等式對應(yīng)的方程的二根，代入便可以求解．
解：（1）設(shè)y＝x2+ax+3，變形為x2+ax+3﹣y＝0，
∵△≥0，
∴a2﹣4（3﹣y）≥0可得y≥3?14a2，
而由已知y≥﹣6，故3?14a2=?6，
∴a＝6或a＝﹣6．
（2）設(shè)y=3x2+6x?21?3x，變形為3x2+（6+3y）x﹣2﹣y＝0，
∵△≥0，
∴（6+3y）2﹣4×3×（﹣2﹣y）≥0，化簡得3y2+16y+20≥0，
先求出3y2+16y+20＝0的二根y1＝﹣2，y2=?103，
∴根據(jù)材料二得y≤?103或y≥﹣2．
（3）設(shè)y=5mx?nx2?x+2，變形得yx2﹣（y+5m）x+2y+n＝0，
∵△≥0，
∴（y+5m）2﹣4y（2y+n）≥0，
整理得7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2≤0，
由已知可得﹣4≤y≤7，
根據(jù)材料二知7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2＝0的二根是y1＝﹣4，y2＝7，
代入整理得25m2?40m+16n?112=025m2+70m?28n?343=0，
解得m=145n=74或m=?145n=?494．
總結(jié)提升： 本題難度較大，主要考查閱讀能力，能靈活運(yùn)用閱讀材料，涉及方程、不等式解的關(guān)系，對計算要求也較高．

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中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)專題提優(yōu)拓展訓(xùn)練專題08一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(原卷版+解析)：

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中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)專題提優(yōu)拓展訓(xùn)練專題05函數(shù)圖像信息題(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)專題提優(yōu)拓展訓(xùn)練專題05函數(shù)圖像信息題(原卷版+解析)，共21頁。試卷主要包含了函數(shù)圖象共存問題，函數(shù)圖象與字母系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)問題情境判斷函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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