一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．不等式的解集是（ ）
A． B．C．D．或
2．下列命題中，正確的是（ ）
A．的最小值是4B．的最小值是2
C．如果，，那么D．如果，那么
3．滿足條件a=4，b=5，A=45°的△ABC的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．無數(shù)個(gè)D．不存在
4．若數(shù)列滿足：，而數(shù)列的前項(xiàng)和最大時(shí)，的值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．一船向正北方向航行,看見正西方向有兩個(gè)相距10海里的燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后, 看見一燈塔在船的南偏西60°方向上,另一燈塔在船的南偏西75°方向上,則這艘船的速度是 ( )
A．5海里/時(shí)B．海里/時(shí)C．10海里/時(shí)D．海里/時(shí)
6．在區(qū)間上，不等式有解，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．定義“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積，已知數(shù)列是等積數(shù)列且，前61項(xiàng)的和為113，則這個(gè)數(shù)列的公積為（ ）
A．2B．3C．6D．8
8．在△ABC中，已知A，B，C成等差數(shù)列，且b=3，則=（ ）
A． B．2 C．3 D．6
9．已知數(shù)列中，對(duì)于，且，有，若（，且互質(zhì)），則等于（ ）
A．8089B．8088C．8087D．8086
10．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思是“有一個(gè)人走378里，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”請(qǐng)問第三天走了（ ）
A．60里B．48里C．36里D．24里
11．已知，，且，則的最小值為（ ）
A．9B．10C．11D．
12．在中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．等比數(shù)列中， 則= ________．
14．已知,,則的取值范圍為__________．
15．在中，為中點(diǎn)，，且，則________．
16．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列：．
則；若存在正整數(shù)，使，則．
三．解答題：本大題共6小題，共70分．
17.（本小題滿分10分）
如圖，在中，，D是BC邊上的一點(diǎn)，，，.
（1）求的大?。?br>（2）求邊的長(zhǎng).
18．（本小題滿分12分）
已知不等式的解集為或．
（1）求，的值；
（2）解不等式（為常數(shù)）．
19．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，成等比數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
20．（本小題滿分12分）
在中，設(shè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，．
（1）求角的值;
（2）若三角形的面積為，求的周長(zhǎng)．
21．（本小題滿分12分）
2020年是充滿挑戰(zhàn)的一年，但同時(shí)也是充滿機(jī)遇?蓄勢(shì)待發(fā)的一年．突如其來的疫情給世界帶來了巨大的沖擊與改變，也在客觀上使得人們更加重視科技的力量和潛能．某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．假設(shè)該企業(yè)第一年年初有資金5000萬元，并將其全部投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%，預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬元．
（1）寫出與的關(guān)系式，并判斷是否為等比數(shù)列；
（2）若企業(yè)每年年底上繳資金，第年年底企業(yè)的剩余資金超過萬元，求的最小值．
22．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令，稱數(shù)列是數(shù)列的“中程數(shù)數(shù)列”．
①求“中程數(shù)數(shù)列”的前項(xiàng)和；
②若（且），求所有滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)．
江科附中2020-2021學(xué)年第二學(xué)期期中考試
高一數(shù)學(xué)理科試卷參考答案
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．不等式的解集是（ ）
A． B．C．D．或
【答案】C
2．下列命題中，正確的是（ ）
A．的最小值是4B．的最小值是2
C．如果，，那么D．如果，那么
【答案】D
3．滿足條件a=4，b=5，A=45°的△ABC的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．無數(shù)個(gè)D．不存在
【答案】D
4．若數(shù)列滿足：，而數(shù)列的前項(xiàng)和最大時(shí)，的值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
5．一船向正北方向航行,看見正西方向有兩個(gè)相距10海里的燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后, 看見一燈塔在船的南偏西60°方向上,另一燈塔在船的南偏西75°方向上,則這艘船的速度是 ( )
A．5海里/時(shí)B．海里/時(shí)C．10海里/時(shí)D．海里/時(shí)
【答案】C
6．在區(qū)間上，不等式有解，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
7．定義“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積，已知數(shù)列是等積數(shù)列且，前61項(xiàng)的和為113，則這個(gè)數(shù)列的公積為（ ）
A．2B．3C．6D．8
【答案】A
8．在△ABC中，已知A，B，C成等差數(shù)列，且b=3，則=（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】B
9．已知數(shù)列中，對(duì)于，且，有，若（，且互質(zhì)），則等于（ ）
A．8089B．8088C．8087D．8086
【答案】D
10．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思是“有一個(gè)人走378里，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”請(qǐng)問第三天走了（ ）
A．60里B．48里C．36里D．24里
【答案】B
11．已知，，且，則的最小值為（ ）
A．9B．10C．11D．
【答案】B
12．在中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．等比數(shù)列中， 則= ________．
【答案】4
14．已知,,則的取值范圍為__________．
【答案】
15．在中，為中點(diǎn)，，且，則________．
【答案】4
16．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列：．
則；若存在正整數(shù)，使，則．
【答案】； ．
三．解答題：本大題共6小題，共70分．
17．如圖，在中，，D是BC邊上的一點(diǎn)，，，.
（1）求的大小；
（2）求邊的長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）在中，，，，
由余弦定理可得,
又，即；
（2）由（1）得，在中，，，
由正弦定理 可得：，即.
18．已知不等式的解集為或．
（1）求，的值；
（2）解不等式（為常數(shù)）．
【答案】（1），．（2）見解析
【詳解】（1）依題意可知即的解為或，
于是知1，是方程的兩根，且，∴解得，．
（2）將，代入不等式，整理得．
解得，或．則當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．
19．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，成等比數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列成等比數(shù)列，
，則，解得，
；
（2），，
因此，．
20．在中，設(shè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，．
（1）求角的值;
（2）若三角形的面積為，求的周長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，，得，，．
（2）因?yàn)槿切蔚拿娣e為，所以，則，
又，，由余弦定理可得，
即，所以，
因此的周長(zhǎng)為．
21． 2020年是充滿挑戰(zhàn)的一年，但同時(shí)也是充滿機(jī)遇?蓄勢(shì)待發(fā)的一年．突如其來的疫情給世界帶來了巨大的沖擊與改變，也在客觀上使得人們更加重視科技的力量和潛能．某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．假設(shè)該企業(yè)第一年年初有資金5000萬元，并將其全部投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%，預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬元
（1）寫出與的關(guān)系式，并判斷是否為等比數(shù)列；
（2）若企業(yè)每年年底上繳資金，第年年底企業(yè)的剩余資金超過萬元，求的最小值．
【答案】（1）答案見解析；（2）6．
【解析】
（1）由題意得，．
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
當(dāng)，即時(shí)， 不是等比數(shù)列
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，,，即，易知單調(diào)遞增，又，，，，的最小值為6
22．已知數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令，稱數(shù)列是數(shù)列的“中程數(shù)數(shù)列”．
①求“中程數(shù)數(shù)列”的前項(xiàng)和；
②若（且），求所有滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)．
【答案】（1）證明見解析，；（2）①；②．
解：（1）證明：依題意，，即，故，故數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，即；
（2）因?yàn)?，即?br>故時(shí)，即，時(shí)，，即，
故，故，，
所以.
①設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，
，
兩式作差得，，
即，故；
②因?yàn)?，，?br>所以，即，
又因?yàn)椋?，，且?br>可知且，即，由知，
時(shí)，，故，即，但，故符合題意；
時(shí)，，故，即，但，故無解；
時(shí)，，故，即，又，故符合題意；
綜上，所有滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)有．
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